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(江苏专用)高考数学总复习 第十篇 圆锥曲线与方程《第60讲 抛物线》课件 理 苏教版_图文

第60讲 抛物线 基础梳理 1.抛物线的定义: 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离 相等 的点的 轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线 的 准线 . 其数学表达式: |MF|=d(其中d为点M到准线的距离) . 2.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2=2px y2=-2px (p>0) (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0) p的几何意义:焦点F到准线l的距离 图形 顶点 对称 轴 焦点 离心 率 y=0 ?p ? F?2,0? ? ? O(0,0) x=0 ? p? F?0,2? ? ? ? p? F?0,-2? ? ? ? p ? F?-2,0? ? ? e=1 续表 准线 方程 p x=- 2 p x= 2 p y=- 2 p y= 2 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 开口 方向 焦半 径 向右 |PF|= p x0+2 向左 |PF|= p -x0+2 向上 |PF|= p y0+2 向下 |PF|= p -y0+2 两种方法 (1)定义法:根据条件确定动点满足的几何特征,从而确定p的 值,得到抛物线的标准方程. (2)待定系数法:根据条件设出标准方程,再确定参数p的值, 这里要注意抛物线标准方程有四种形式.从简单化角度出发, 焦点在x轴的,设为y2=ax(a≠0),焦点在y轴的,设为x2= by(b≠0). 双基自测 1.(教材改编)抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是________. 解析 由2p=8得p=4,即焦点到准线的距离为4. 答案 4 2.已知抛物线的焦点坐标是(0,-3),则抛物线的标准方程 是________. p 解析:2=3,∴p=6,∴x2=-12y. 答案:x2=-12y 3.(2011· 陕西)设抛物线的顶点在原点,准线方程x=-2,则 抛物线的方程是( ). 解析 由准线方程x=-2,顶点在原点,可得两条信息:①该 抛物线焦点为F(2,0);②该抛物线的焦准距p=4.故所求抛物线 方程为y2=8x. 答案 y2=8x 4.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物 线焦点的距离是________. 解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x=-2,又由点P 到y轴的距离为4,可得点P的横坐标xP=4,由抛物线定义可知 p 点P到焦点的距离等于其到准线的距离,即|PF|=xP+ =xP+2 2 =4+2=6. 答案 8 5.抛物线y2=8x的焦点坐标是________. 解析 ∵抛物线方程为y2=8x,∴2p=8,即p=4.∴焦点坐标 为(2,0). 答案 (2,0) 考向一 抛物线的定义及其应用 【例1】?(2011· 辽宁改卷)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是 该抛物线上的两点,AF+BF=3,则线段AB的中点到y轴的距 离为________. [审题视点] 由抛物线定义将AF+BF转化为线段AB的中点到 准线的距离即可. 解析 设抛物线的准线为l,作AA1⊥l于A1,BB1⊥l于B1,由抛 物线的定义知|AA1|+|BB1|=|AF|+|BF|=3,则AB的中点到y轴 1 1 5 的距离为2(|AA1|+|BB1|)-4=4. 答案 5 4 涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题,可优先考虑利 用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解. 【训练1】 (2011· 济南模拟)已知点P是抛物线y2=2x上的一个 动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之 和的最小值为________. 解析 由抛物线的定义知,点P到该抛物线的距离等于点P到 其焦点的距离,因此点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准 线的距离之和即为点P到点(0,2)的距离与点P到焦点的距离之 和,显然,当P、F、(0,2)三点共线时,距离之和取得最小 值,最小值等于 答案 17 2 ? 1? 2 ?0- ? +?2-0?2= 2? ? 17 . 2 考向二 抛物线的标准方程及性质 【例2】?(1)(2011· 南京模拟)以原点为顶点,坐标轴为对称轴, 并且经过P(-2,-4)的抛物线方程为________. (2)(2010· 浙江)设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点 A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的 距离为________. [审题视点] (1)为求抛物线的方程问题,用待定系数法求解, 根据题设条件,按焦点所在位置的可能情况,分类讨论. (2)抓住FA的中点B在抛物线上,求出p. 解析 (1)由于点P在第三象限. ①当焦点在x轴负半轴上时,设方程为y2=-2px(p>0), 把点P(-2,-4)代入得:(-4)2=-2p×(-2), 解得p=4,∴抛物线方程为y2=-8x. ②当焦点在y轴负半轴上时,设方程为x2=-2py(p>0),把点 P(-2,-4)代入得:(-2)2=-2p×(-4). 1 解得p=2.∴抛物线方程为x2=-y. 综上可知抛物线方程为y2=-8x或x2=-y. ?p ? (2)抛物线的焦点F的坐标为?2,0?,则线段FA的中点B的坐标为 ? ? ?p ? p ? ,1? ,代入抛物线方程得1=2p× ,解得p= 4 ?4 ? ? 标为? ? ? 2 ,故点B的坐 ? 2 2 3 2 2 ? ,故点B到该抛物线准线的距离为 4 + 2 = 4 . 4 ,1? ? 答案 3 2 (1)y =-8x或x =-y (2) 4 2 2 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判 断焦点位置,开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由 于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线 的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图 形的


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