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高中数学 2_5 特征值与特征向量章末综合检测 苏教版选修4-2

【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 2.5 特征值与特征向量章 末综合检测 苏教版选修 4-2
1.求矩阵 M=?

?-1 0? ?的特征值和特征向量. ? 5 6?

【解】 矩阵 M 的特征多项式

f(λ )=?

?λ +1 0 ? ?=(λ +1)(λ -6). ?-5 λ -6?

令 f(λ ) = 0 ,解得矩阵 M 的特征值 λ 1 =- 1 , λ 2 = 6. 将 λ 1 =- 1 代入方程组
?(λ +1)x+0·y=0, ? ? ? ?-5x+(λ -6)y=0,

易求得?

? 7? ?为属于 λ 1=-1 的一个特征向量.将 λ 2=6 代入方程组 ?-5?
0? 6?

?(λ +1)x+0·y=0, ? ?0? ?-1 ? 易求得? ?为属于 λ 2=6 的一个特征向量.综上所述,M=? ? ?1? ? 5 ?-5x+(λ -6)y=0,

?

的特征值为 λ 1=-1,λ 2=6,属于 λ 1=-1 的一个特征向量为?

? 7? ?,属于 λ 2=6 的一个 ?-5?

?0? 特征向量为? ?. ?1?
2.已知矩阵 M=?

?1 2? ?的一个特征值为 3,求另一个特征值及其对应的一个特征向量. ?2 x?
【导学号:30650055】

【解】 矩阵 M 的特征多项式为

f(λ )=?

-2? ?λ -1 ?=(λ -1)(λ -x)-4 λ -x? ? -2

因为 λ 1=3 为方程 f(λ )=0 的一根,所以 x=1 由(λ -1)(λ -1)-4=0 得 λ 2=-1, 设 λ 2=-1 对应的一个特征向量为 α =? ?,
? ?-2x-2y=0, 则由? 得 x=-y ?-2x-2y=0 ?

?x? ?y?

令 x=1,则 y=-1. 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1,对应的一个特征向量为 α =?

? 1? ?. ?-1?

1

3.已知矩阵 M=?

? 1 -2? ? 3? ?2? ?,向量 α =? ?,β =? ?. ?-1 -3 ? ?-5? ?4?

(1)求向量 2α +3β 在矩阵 M 表示的变换作用下的象;

?1? (2)向量 γ =? ?是矩阵 M 的特征向量吗?为什么? ?2?
【解】 (1)因为 2α +3β =2? =?

? 3? ?2? ?12? ? 1 -2??12? 所以 M(2α +3β )=? ?+3? ?=? ?, ?? ? ?-5? ?4? ? 2? ?-1 -3 ?? 2?

? 8 ? ? 8 ? ?,所以向量 2α +3β 在矩阵 M 表示的变换作用下的象为? ?. ?-18? ?-18? ?1? ? 1 -2??1? ?-3? (2)向量 γ =? ?不是矩阵 M 的特征向量.理由如下:Mγ =? ?? ?=? ?,向 ?2? ?-1 -3 ??2? ?-7?

量?

?-3? ?1? ?1? ?与向量 γ =? ?不共线,所以向量 γ =? ?不是矩阵 M 的特征向量. ?-7? ?2? ?2?
4.已知矩阵 A=?

? 1 2? ?7? 5 ?,设向量 β =? ?,试计算 A β 的值. ?-1 4? ?4? ?λ -1 -2? 2 ?=λ -5λ +6=0, λ -4? ?1

【解】 矩阵 A 的特征多项式为 f(λ )=? 解得 λ 1=2,λ 2=3.

?2? 当 λ 1=2 时,得 α 1=? ?; ?1?
当 λ 2=3 时,

?1? 得 α 2=? ?, ?1?
由 β =mα 1+nα 2,
?2m+n=7 ? 得? , ?m+n=4 ?

得 m=3,n=1, ∴A β =A (3α 1+α 2) =3(A α 1)+A α
5 1 5 2 5 5 2 5 5

=3(λ α 1)+λ α

2

2 1 ?435? 5? ? 5? ? =3×2 ? ?+3 ? ?=? ?. ?1? ?1? ?339? 5.已知矩阵 A=? -3) (1)求实数 a 的值;
2

?1 -1? ?,其中 a∈R,若点 P(1,1)在矩阵 A 的变换下得到点 P′(0, ?a 1 ?

(2)求矩阵 A 的特征值及特征向量. 【解】 (1)∵? ∴?

?1 -1??1? ? 0? ?? ?=? ?, ?a 1 ??1? ?-3?

? 0 ? ? 0? ?=? ?, ?a+1? ?-3? ? 1 -1? ?, ?-4 1 ? ?λ -1 1 ? 2 ?=λ -2λ -3. ? 4 λ -1?
? ?-2x+y=0 ?4x-2y=0 ? ? ?x=1 ?y=2 ?

∴a=-4. (2)∵A=?

∴f(λ )=?

令 f(λ )=0,得 λ 1=-1,λ 2=3, 对于特征值 λ 1=-1,解相应的线性方程组? 得一个非零解? ,

?1? 因此 α 1=? ?是矩阵 A 的属于特征值 λ 1=-1 的一个特征向量. ?2?
? ? ?2x+y=0 ?x=1 对于特征值 λ 2=3,解相应的线性方程组? 得一个非零解? , ?4x+2y=0 ?y=-2 ? ?

因此 α 2=?

? 1? ?是矩阵 A 的属于特征值λ 2=3 的一个特征向量.∴矩阵 A 的特征值为 λ ?-2?

1

=-1,λ 2=3,

?1? ? 1? 属于特征值 λ 1=-1,λ 2=3 的特征向量分别为? ?,? ?. ?2? ?-2?
6.已知矩阵 A=?

?3 3? ?1? ?,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 α 1=? ?,属于特征值 ?c d? ?1?

? 3? 1 的一个特征向量 α 2=? ?,求矩阵 A,并写出 A 的逆矩阵. ?-2? ?1? ?3 【解】 由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量 α 1=? ?,可知? ?1? ?c
c+d=6,
① 3??1?

?1? ?? ?=6? ?,所以 d??1? ?1?

由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量 α 2=? 可知?

? 3? ?, ?-2?

?3 3?? 3? ? 3? ?? ?=? ?,所以 3c-2d=-2. ② ?c d??-2? ?-2?

?c+d=6, ? 联立①②可得? ?3c-2d=-2, ?

3

解得?

? ?c=2, ? ?d=4,

?3 即 A=? ?2

3? 4?

?,A 的逆矩阵 A

-1

2 ? 3 ? = ?-1 ? 3

1 - 2 1 2

? ?. ? ?

7.已知矩阵 A 对应的变换是先将某平面图形上的点的横坐标保持不变, 纵坐标变为原来 的 2 倍,再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转 90°. (1)求矩阵 A 及 A 的逆矩阵 B; (2)已知矩阵 M=?

?3 3? ?,求 M 的特征值和特征向量; ?2 4?

?8? 50 (3)若 α =? ?在矩阵 B 的作用下变换为 β ,求 M β .(结果用指数式表示) ?1?
【解】 (1)A=?

? 0 1??1 0? ? 0 2? ?? ?=? ?; ?-1 0??0 2? ?-1 0?

?0 -1? ?. B=A =?1 ? 0 ? ?2 ?
-1

(2)设 M 的特征值为 λ , 则由条件得?

?λ -3 -3? ?=0, ? -2 λ -4?
2

即(λ -3)(λ -4)-6=λ -7λ +6=0. 解得 λ 1=1,λ 2=6. 当 λ 1=1 时, 由?

?3 3??x? ?x? ?? ?=? ?, ?2 4??y? ?y? ? 3? ?; ?-2?

得 M 属于 1 的特征向量为 α 1=? 当 λ 2=6 时,由?

?3 3??x? ?x? ?? ?=6? ?, ?2 4??y? ?y?

?1? 得 M 属于 6 的特征向量为 α 2=? ?. ?1?
(3)由 Bα =β ,

?0 -1? 8 ?-1? ?? ? 得 β =?1 ?=? ?, ? 0 ?? ?1? ? 4? ?2 ?

4

设? =?

?-1? ? 3? ?1? ?=mα 1+nα 2=m? ?+n? ? ? 4? ?-2? ?1? ? 3m+n? ?, ?-2m+n?

? ?3m+n=-1, 则由? ?-2m+n=4. ?

解得?

?m=-1, ? ?n=2. ?

所以 β =-α 1+2α 2. 所以 M β =M (-α 1+2α 2) =-M α 1+2M α =-? =?
50 50 2 50 50

? 3? ?1? 50 ?+2×6 ×? ? ?-2? ?1?
50

?2×6 -3? ?. ?2×650+2?

?1? 8.已知二阶矩阵 M 的一个特征值 λ =8 及与其对应的一个特征向量 α 1=? ?, 并且矩阵 ?1?
M 对应的变换将点(-1,2)变换成(-2,4).
(1)求矩阵 M; (2)求矩阵 M 的另一个特征值及与其对应的另一个特征向量 α 2 的坐标之间的关系; (3)求直线 l:x-y+1=0 在矩阵 M 的作用下的直线 l′的方程. 【解】 (1)设矩阵 M=? 则?

?a b? ?, ?c d?

?a+b=8, ? ?a b??1? ?1? ?8? ?? ?=8? ?=? ?,故? ? ?c d??1? ?1? ?8? ?c+d=8.

由题意得?

?a b??-1? ?-2? ?? ?=? ?, ?c d?? 2 ? ? 4 ?

?-a+2b=-2, ? 故? ? ?-c+2d=4.

a=6, ? ?b=2, 联立以上两方程组可解得? c=4, ? ?d=4,
故 M=?

?6 2? ?. ?4 4?

5

(2)由(1)知矩阵 M 的特征多项式 f(λ )=?

?λ -6 -2? 2 ?=(λ -6)(λ -4)-8=λ - ?-4 λ -4?

10λ +16.令 f(λ )=0, 解得矩阵 M 的另一个特征值 λ =2.设矩阵 M 的属于特征值 2 的一个 特征向量 α 2=? ?,则 Mα 2=?

?x? ?y?

?6x+2y? ?x? ?=2? ?,解得 2x+y=0. ?4x+4y? ?y?

(3)设点(x, y)是直线 l 上的任一点, 其在矩阵 M 的作用下对应的点的坐标为(x′, y′),

则?

?6 ?4

1 1 x= x′- y′, ? ? 4 8 2??x? ?x′? 代入直线 l 的方程并化简得 x′-y′+2=0, ?? ?=? ?,即? 4??y? ?y′? 1 3 ? ?y=-4x′+8y′,

即直线 l′的方程为 x-y+2=0. 2 ? 3 ? 9.给定矩阵 M= ?-1 ? 3 1 - 3

? ?2 ?,N=? 2? ?1 3?

1?

?1? ? 1? ?及向量 α 1=? ?,α 2=? ?. 2? ?1? ?-1?

(1)求证 M 和 N 互为逆矩阵; (2)求证 α 1 和 α 2 都是矩阵 M 的特征向量.

【导学号:30650056】 2 ? 3 ? (1)因为 MN= ?-1 ? 3 1 - 3 ?2 ? 2 ?1 3

【证明】

? ? ? ?

1?

? =? 2? ?0

?1

0?

?2 NM=? ?, 1? ?1

2 ? 3 ? ? 2?? 1 ?-3 1?

1 - 3

? ?1 ?=? 2? ? 0 3?

0? 1?

?,

所以 M 和 N 互为逆矩阵.

?1? (2)向量 α 1=? ?在矩阵 M 的作用下,其象与其共线, ?1?
2 ? 3 ? 即 ?-1 ? 3 2 ? 3 ? 即 ?-1 ? 3 1 - 3 ?1? ? ?= 2 ?1? 3

? ? ? ?

?1 ? 1? ?3?=1? ? ?,向量 α ?1? 3?1? ?3?

2

=?

? 1? ?在矩阵 M 的作用下,其象与其共线, ?-1?

1 - 3 ? 1? ? 1? ? ?=? ?,所以 α 1 和 α 2 都是 M 的特征向量. 2 ?-1? ?-1? 3

? ? ? ?

10.给定矩阵 M=?

?2 5? ?-2? ?及向量 α =? ?. ?6 1? ? 9 ?

(1)求矩阵 M 的特征值及与其对应的特征向量 α 1,α 2; (2)确定实数 a,b,使向量 α 可以表示为 α =aα 1+bα 2;
6

(3)利用(2)中的表达式计算 M α ,M α ; (4)从(3)中的运算结果,你能发现什么?

3

n

?λ -2 -5? 【解】 (1)矩阵 M 的特征多项式 f(λ )=? ?=(λ -2)(λ -1)-30=(λ - ?-6 λ -1?
7)(λ +4).令 f(λ )=0, 解得矩阵 M 的特征值 λ 1=-4, λ 2=7.易求得属于特征值 λ 1=- 4 的一个特征向量 α 1=? (2)由(1)可知?
3 3

?-5? ?1? ?,属于特征值 λ 2=7 的一个特征向量 α 2=? ?. ? 6 ? ?1?

?-2? ?-5? ?1? ?=a? ?+b? ?,解得 a=1,b=3,所以 α =α 1+3α 2. ? 9 ? ? 6 ? ?1?
3 3

(3)M α =M (α 1+3α 2)=M α 1+3M α 2= (-4) ×?
3 3

?-5? ?1? 3 ?+3×7 ×? ? ? 6 ? ?1?
3

?4 ×5+3×7 ? =? ?. ?-43×6+3×73?
Mnα =Mn(α 1+3α 2)
=M α 1+3M α =(-4) ×?
n n n
2

?-5? ?1? n ?+3×7 ×? ? ? 6 ? ?1?
n+1 n n

?(-1) ×4 ×5+3×7 ? =? ?. ?(-4)n×6+3×7n ?
(4)在 M α 的结果中,随着 n 的增加,特征向量 α 1 对结果的影响越来越小.
n

7



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