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【数学竞赛】2018年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(附答案)

2018 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018 年 6 月 30 日上午 9:00—11:30) 二 题号 得分 评卷人 复核人 注意:1.本试卷共 12 小题,满分 150 分; 3.书写不要超过装订线; 2.用钢笔、签字笔或圆珠笔作答; 4.不得使用计算器. 一 9 10 11 12 总分 一、填空题(每题 8 分,共 64 分,结果须化简) 1. 设三个复数 1, i, z 在复平面上对应的三点共线,且 | z |? 5 ,则 z ? ? 2. 设 n 是正整数,且满足 n ? 438427732293 ,则 n ? ? 5 . . . . . 3. 函数 f ( x) ?| sin(2 x ) ? sin(3 x ) ? sin(4 x ) | 的最小正周期 ? ? x 4. 设点 P, Q 分别在函数 y ? 2 和 y ? log 2 x 的图象上,则 | PQ | 的最小值 ? 5. 从 1, 2, ,10 中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差 s 2 ? 1 的概率 ? ? 6. 在边长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 内部有一小球,该小球与正方体的对角线段 AC1 相切,则小球 半径的最大值 ? ? . . 7. 设 H 是 △ABC 的垂心,且 3 HA ? 4 HB ? 5 HC ? 0 ,则 cos ?AHB ? 8. 把 1, 2, T , n 按照顺时针螺旋方式排成 n 行 n 列的表格 T , 第一行是 1, 2, n 2 ?1 2 3 ?? ? , n .例如: ? 8 9 4 ? . 3 ? ?? ? ? 7 6 5 ? ?? 设 2018 在 T100 的第 i 行第 j 列,则 (i, j ) ? ? . 二、解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题每题 22 分,共 86 分) 9. 如图所示,设 ABCD 是矩形,点 E , F 分别是线段 AD , BC 的中点,点 G 在线段 EF 上,点 D, H 关于 线段 AG 的垂直平分线 l 对称.求证: ?HAB ? 3?GAB . D H C l G F E A B 10. 设 O 是坐标原点,双曲线 C : 两点. x 2 ?y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 上动点 M 处的切线交 C 的两条渐近线于 A, B a 2 b2 (1)求证: △AOB 的面积 S 是定值; (2)求 △AOB 的外心 P 的轨迹方程. 11. (1)求证:对于任意实数 x, y, z 都有 x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ?? 3( xy ? yz ? zx ) . (2)是否存在实数 k ?? 3 ,使得对于任意实数 x, y , z 下式恒成立? x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? k ( xy ? yz ? zx ) 试证明你的结论. 12. 在正 2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝 色. 求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 参考答案和评分标准 一、填空题(每题 8 分,共 64 分) 1 2 3 4 1 ? ln(ln 2) 4 ? 3i 或 ? 3 ? 4 i 2π 213 2 ln 2 5 1 15 6 4? 6 5 7 ? 6 6 8 (34,95) 二、解答题(第 9—10 题每题 21 分,第 11—12 题每题 22 分,共 86 分) 9.由 E , F 分别是 AD, BC 的中点,得 EF // AB ? AD . 设 P 是 E 关于 l 的对称点,则 EP // AG ? l ,故四边形 AEPG 是等腰梯形. 进而 ?PAG ? ?EGA ? ?GAB , ?APG ? ?GEA ,从而 AP ? HG . 再由 HP ? DE ? EA ? PG ,得 ?HAP ? ?PAG ? ?GAB . 因此, ?HAB ? 3?GAB . (3 分) (8 分) (13 分) (18 分) (21 分) 10.(1) M ( x0 , y0 ) 处的切线方程 x0 x ? y0 y ? 1 . a2 b2 ? a ? a b ? ? ? ? , 与渐近线方程联立,得 A( x1 , y1 ) ? ? x0 y 0 x0 y 0 ? , B( x2 , y2 ) ? ? x0 ? a ? b a ? b ?? ? a ? (3 分) ? b ?? ?? , x0 y 0 ? .(6 分) ? b ?? a y0 b 从而, S ? 1 2 x1 y 2 ? x2 y1 ? ab 是定值. a λ b λ (9 分) (12 分) (15 分) (18 分) (21 分) (2) 由 (1) 可设 A( λa, λb), B ( ,? ), P ( x, y ) , λ 为非零常数. b 2 由 PA ? PO ? PB ,得 ( x ? ?a )2 ? ( y ? ?b) 2 ? x 2 ? y 2 ? ( x ? a ) 2 ? ( y ? ?? ) . ? 从而有 ax ? by ? ? (a 2 ? b 2 ) , ax ? by ?? 21?? (a 2 ? b2 ) . 2 上述两式相乘,得 P 的轨迹方程为 a 2 x 2 ? b 2 y 2 ? 1 (a 2 ? b 2 ) 2 . 4 3 2 ? 3 2 ? 11.(1) 由均值不等式, 1 x2 ? 2 y ? 3 xy,1 x2 ? 2 z ? 3 xz,1 y2 ? 3 z 2 ?? 3 yz . 2 2 2 2 故 x 2 ? 2 y 2 ? 3 z 2 ?? 3 ? xy ? yz ? zx ? . 2 2 2 (2) x 2 ? 2 y 2 ? 3z 2 ? k ?xy ? yz ? zx? ? ( x ? k2 y ? k2 z


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