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2.2.2椭圆的几何性质


椭圆的几何性质

一、椭圆的范围
由 即

x y x ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 a b a

2

2

2



y ? 1 2 b
y

2

x ? a和 y ? b
o

x

二、椭圆的对称性 2 2

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 在 2 a b y 之中,把 x 换成-x ,把 y 换成 -y ,方程不变,说明:
椭圆关于 x 轴对称; 椭圆关于 y 轴对称;
o

x

椭圆关于 原点对称;
故坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心

椭圆的对称中心 叫做椭圆的中心

x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 y a b B1(0,b) *顶点:椭圆与它的对称轴 的四个交点,叫做椭圆的 A (?a,0) A ( a ,0) 2 1 顶点。 x
*长轴、短轴:线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
o B2(0,-b)

三、椭圆的顶点 2 2

四、椭圆的离心率

c e? 离心率:椭圆的焦距与长轴长的比: y a [1]离心率的取值范围:
因为 a > c > 0,所以1 >e >0
x

[2]离心率对椭圆形状的影响: o 特殊地:当e =0 1)e 越接近 1,c 就越接近 a, 时,即c=0 ,则 b就越小,此时椭圆就越扁 a = b ,两个焦 点重合,椭圆方 2)e 越接近 0,c 就越接近 0, 程变为? b就越大,此时椭圆就越圆

例1:根据已知条件,求椭圆标准方程

(1)焦距等于12,离心率等于0.6;焦 点在x轴上。 ( 2 )长轴和短轴的和等于 20 ,焦距等 于4 5
(3)一焦点在x轴上且将长轴分成2: 1的两部分,且椭圆经过点(3 2 , 5 ).

例2. 已知椭圆 x ? (m ? 3) y ? m(m ? 0) 3 的离心率 e ? , 求m的值及椭圆的 2 长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐 标。
2 2

例3.若某个椭圆的长轴、短轴、焦 距依次成等差数列,则其离心率 e=___ 3

5

变式1.以椭圆的焦距为直径并过两焦点 的圆,交椭圆于四个不同的点,顺次连接 这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边 形,那么这个椭圆的离心率 3 ? 1。

变式2 设椭圆 x ? y ? 1(a ? b ? 0) 的两 2 2

2

2

a

b

焦点为 F , F , 若在椭圆上存在一 1 2 点P,使 PF ? PF ,求椭圆的离心率的 1 2 取值范围

x y 例4 (1)设P是椭圆 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 2 2 a b 上的一个动点,O是原点,则|OP|的
最大值和最小值分别为
Y P

2

2



O

X

( 2)设P是 x ? y ? 1( a ? b ? 0) 2 2 a b 椭圆上的一个动点,F是右焦点,则 |PF|的最大值和最小值分别为
Y P

2

2



O

F

X

例5:点 M( x , y )与定点 F(4,0)的距离 25 和它到直线 l : x ? 的距离的比是常 4 4 数 ,求点 M的轨迹。 5

探究:
若点 M ( x , y )与定点 F (c, 0)的距离和它 a 到定直线 l : x ? 的距离的比是常数 c c (a ? c ? 0),求点 M的轨迹。 a
2

定义:

c 定直线的距离 的 比 是 常 数e ? (0 ? e ? 1) a

到定点的距 平面内与 离和它到一条

的点的轨迹。

注:我们一般把这个定义称为椭圆的第 二定义,定点是椭圆的焦点,定直线叫 做椭圆的准线。而相应的把另一个定义 称为椭圆的第一定义。

练习.中心在原点,焦点 在坐标轴上的椭 圆上有 M (1, 4 2 ), N (? 3 2 , 2 ) 两点 (1)求椭圆的离心率;
3 2

(2)在椭圆上是否存在点P(x,y)到 定点A(m,0) ( 0<m<3 )的距离的最小 值为1.若存在,求m的值及P点坐标。



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