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广东省潮州市松昌中学高三第六次统测文科数学试卷 Word版含答案

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松昌中学 2016 届高三级第六次统测文科数学试卷

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1.设全集U ? R , A = { x | x(x - 2) < 0 }, B ? (??,1) ,则 A ? (CU B) ? ( )

A.(? 2, 1)

B. (?2, 1]

C.(1, 2)

D.[1, 2)

2.已知复数 z ? 1? i ,则 z2 ? ( ) 1? z

A. -2

B. 2

C. -2i

D. 2i

3、某饮料店某 5 天的日销售收入 y (单位:百元)与当天平均气温 x (单位:℃)之间的

数据如下表:

x

?2

?1

0

1

2

y

5

4

2

2

1

甲、乙、丙、丁四位同学对上述数据进行了研究,分别得到了 x 与 y 之间的四个线性回

归方程:① y ? ?x ? 3 ,② y ? ?x ? 2.8 ,③ y ? ?x ? 2.6 ,④ y? ? x ? 2.8 ,其中正确的

方程是( )

A.①

B.②

C.③

D.④

?2x ? y ? 4 ? 0,

4.在平面直角坐标系

xOy

中,若

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

1

?

0,

则 z ? x ? y 的最大值

?? y ? 0.

为( )

A.1

B. 2

C. 7 3

5.“ a ? 0 ”是“函数 f (x) ?| x ? a |是偶函数”的(

D. 4


A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

?

?

??

6.已知向量 a ? (2,3) , b ? (?1,2) ,若 m a? n b 与

?
a?

?
2b

共线,则

n

=(



m

A.2

B.3

C.±2

D.-2

7.

已知双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? 0,b ? 0) 的一条渐近线方程是 y

?

3x ,它的一个焦点在

抛物线 y2 ? 8x 的准线上,则双曲线的方程为( )

A. x2 ? y2 ? 1 3

B. x2 ? y2 ? 1 3

C. x2 ? y2 ? 1 4 12

D. x2 ? y2 ? 1 12 4

8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A. 1 ? ? 3 12
C. 1 ? ? 34

B.1? ? 12
D.1? ? 4

9.阅读如下图所示程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(

第 7 题图


A. 7

B. 9

C.10

D.11

10.已知 f (x) ? sin(?x ??)(? ? 0,| ? |? ?) 的最小正周期为? , f (0) ? 1 ,

2

2

则 g(x) ? 2cos(?x ??) 在区间[0, ? ]上的最大值为(



2

A.4

B. 2

C. 3

D.1

11、已知正三棱锥的侧棱长为 2,底面边长为 3,则该正三棱锥的外接球的表面积为( )

A. 4 ? 3

B. 4?

C. 32 ? 3

D.16?

12、已知函数

f

(x)

?

??2 x?1,?1

? ??x

3

?

3x

? ?

x? 2,0

0 ?

x

?

a

的值域为[0,2],则实数

a

的取值范围为(



A. (0,1]

B.[1, 3]

C. [1,2]

D.[ 3,2]

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.

13. 已知角 ? 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 P(? 6 , 3 ) ,则 33

tan2? 的值为



14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l : 3x ? 4y ? 5 ? 0 与圆 C : (x ? 4)2 ? ( y ? 3)2 ? 4

相交于点 A 、 B ,则 CA ? CB 的值是



15.直线 y ? kx ?1与曲线 y ? x3 ? ax ? b 相切于点 A?1,3? ,则 b 的值为___________.

16. 在 ?ABC 中 , s inA : s inB : s inC ? 4 : 5 : 7 , 点 M 为 BC 的 中 点 , AM ? 11 , 则 AC ? _______.

三.解答题:本大题共 8 小题,考生作答 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤.

17.(本小题满分 12 分)
已知等差数列?log 3 (an ?1)?(n ? N*) 的前 n 项和为 S n ,且 a2 ? 10 , S7 ? 28 .

(1) 求数列?an ?的通项公式;

(2)

若 bn

?

1 an?1 ? an

,求数列?bn ?的前 n 项和Tn .

18.(本小题满分 12 分)

某车间将10 名技工平均分为甲,乙两组加工某种零件,在单位时间内每个技工加工零件

若干,其中合格零件的个数如下表:

每组员工编号

1

2

3

4

5

甲组

a

5

7

9

b

乙组

5

6

7

8

9

已知甲组技工在单位时间内完成合格零件的平均数与方差分别为 7 与 5.2 ,且 a ? b

(1)求 a, b 的值,并直接指出哪一组技工的技术水平的稳定性更好;

(2)质检部门从该车间甲,乙两组中各随机抽取1名技工,对其加工的零件进行检测,若两人完 成合格零件个数之和超过12 件,则称该车间“质量合格”,求该车间“质量合格”的概率.

19.(本小题满分 12 分)
在四棱锥 P- ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, DA ? 平面 ABP , E 是棱 AB 的中点, F 在棱 BC 上,
且 AP = BP = 2, AB = 2, AD = 3, BF = 2 . (Ⅰ)求证: DF ?平面 EFP ; (Ⅱ)求三棱锥 E- DFP 的高.

D

C

F

A

P

E

B

20.(本小题满分 12 分)
已知线段 AB 的两端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上滑动,|AB| = 3,动点 P 满足 AP ? 1 AB ; 3
(1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

(2)已知点 N ( 3,0) ,试探究是否存在直线 l : x ? my ? 3 与轨迹 C 交于 D 、 E 两 点,且使得 ?DEN 的内切圆的面积为 3? ?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.
16
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x) ? e x?m ? ln x .
(Ⅰ)若 x = 1是 f (x) 的极值点,求 m 的值,并讨论 f (x) 的单调性;
(Ⅱ)若 m ? 2,求证: f (x) > 0 .

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲
如图,四边形 ABCD 内接于圆, AC 是圆周角 ?BAD的 角平分线,过点 C 的切线与 AD 延长线交于点 E , AC 交 BD 于点 F .
(1)求证: BD// CE ; (2)若 AB 是圆的直径, AB ? 4 , DE ?1,求 AD 长

23、(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程.

在直角坐标系

xOy

中,直线

l

的参数方程为

?x ?? y

? ?

?1? t cos? t sin?

(t为参数,?

?

(0,

? 2

))



以原点 O 为极点,x

轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C

的极坐标方程为 ?

?

4 c os? sin 2 ?

.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程;

(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,线段 AB 的中点横坐标为1,求直线 l 的普通

方程.

24.(本小题满分10 分)选修 4—5:不等式选讲

设函数

f

?x?=

x?

1 a

?

x?a

(a

? 0)

(Ⅰ)证明: f ? x? ≥2; (Ⅱ)若 f ?3? ? 5,求 a 的取值范围.

松昌中学 2016 届高三级第六次统测文科数学参考答案及评分说明

一、选择题:

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

答案 D

A

B

C

C

D

A

B

B

C

D

B

二、填空题:

13. ? 2 2 ; 14. ? 2 ; 15. 3 ;

16. 5 3 . 3

三、解答题:

17、解:(1)设等差数列?log 3 (a1 ?1)?(n ? N*) 的公差为 d ,

由 S7 ? 28 ,得 log 3 (a4 ?1) ? 4 ;

…………2 分

又 a2 ? 10 ,即 log 3 (a2 ?1) ? 2 ,

…………3 分

则 d ? log 3 (a4 ?1) ? log 3 (a2 ?1) ? 1 , 2

…………5 分

所以 log 3 (an ?1) ? 2 ? (n ? 2) ?1 ? n , 故 an ? 3n ?1.

…………6 分 …………7 分

(2)由(1)知 bn

?

(3n?1

1 ? 1) ? (3n

? 1)

?

1 2

?

1 3n

…………9 分

所以, Tn

?

b1

? b2

? b3

? ? ? bn

?

1 (1 23

?

1 32

?

1 33

?? 1 3n

)

?

1? 2

1 ? (1 ? 1 )

3

3n

1? 1

?

1? 4

1 4 ?3n

3

…………10 分 …………12 分

18、解:(1)由甲组技工在单位时间内完成合格零件的平均数与方差分别为 7 与 5.2 ,得

?a ??

?

5

?

7 5

?

9

?

b

?

7

? ?(a

?

7) 2

?

(5

?

7) 2

?

(7

?

7) 2

??

5

? (9 ? 7)2

? (b ? 7)2

……………
? 5.2

2分

?a ? b ? 14 即 ??(a ? 7)2 ? (b ? 7)2

?

18

,解得

?a ??b

? ?

140或 ???ba

? 10 ?4

又a ? b,

故 a 的值为 4, b 的值为 10,…………… 5 分

且乙组技工的技术水平的稳定性更好. …………… 7 分

(2)设事件 ? 表示:该车间“质量合格”,则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个

数的基本事件为

?4,5? , ?4,6? , ?4,7? , ?4,8? , ?4,9? , ?5,5? , ?5,6? ,

?5,7? , ?5,8? , ?5,9? , ?7,5? , ?7,6? , ?7,7? , ?7,8? , ?7,9? , ?9,5? , ?9,6? , ?9,7? , ?9,8? , ?9,9? ,

?10,5? , ?10,6? , ?10,7? , ?10,8? , ?10,9? 共 25 种.…… 9 分
事件 ? 包含的基本事件为
?4,9? , ?5,8? , ?5,9? , ?7,6? , ?7,7? , ?7,8?, ?7,9? , ?9,5? , ?9,6? , ?9,7? , ?9,8? , ?9,9?, ?10,5? ,

?10,6? , ?10,7? , ?10,8? , ?10,9? 共17 种.…………… 10 分

? ? ??? ? 17 .即该车间“质量合格”的概率为 17 .…………… 12 分

25

25

19、解:(Ⅰ)证明:因为 AP = BP , E 为 AB 的中点,所以 PE ? AB. 因为 DA ? 平面 ABP , PE ? 平面 ABP ,所以 DA ? PE , 又因为 DA AB = A,所以 PE ? 平面 ABCD , 又 DF ? 平面 ABCD ,所以 PE ? DF . …………… 3 分
在 RtDDCF 中, DF = DC2 + CF2 = 5 ;

在 RtDDAE 中, DE = DA2 + AE2 = 10 ;

在 RtDBEF 中, EF = BE2 + BF2 = 5 .

所以 DE2 = DF 2 + EF 2 ,因此 DF ? EF , ………………………………………… 5 分

又因为, EF PE = E ,所以 DF ?平面 EFP . ……………………… 6 分

(Ⅱ)在 ?ABP中, AP = BP = 2, AB = 2, ,所以 AB2 = AP2 + BP2 ,得 AP ? BP,

又 E 是 AB 的中点,所以 PE = 1 AB = 1. ………………………………………… 7 分 2

因为 DF

?

EF ,故 S?DEF

?

1 ? DF ? EF 2

?

5 2



……………………………

8分

由(Ⅰ)知 PE ? 平面 ABCD

所以 VP ? DEF

?

1 3

?

S

?DEF

? PE ?

5 .……………………………………………… 6

9分

因为 PE ? EF ,所以 PF ? PE2 ? EF 2 ? 12 ? ( 5)2 ? 6 ;

因为 DF

?

PF ,所以 S?PDF

?

1 2

? DF

? PF

?

1 2

?

5?

6?

30 ;……………… 10 分 2

设三棱锥 E - DFP 的高为 h ,由VE?DFP ? VP?DEF ,得

h ? 3V p?DEF

3? 5 ?6

?

30 .

S ?PDF

30 6

2

……………… 12 分

(注:过点 E 作 EH ? PF 于点 H ,证 EH ? 平面 DFP,再由面积法可得 EH ? 30 ). 6

20.解:(1)设 P(x, y), A(x1,0), B(0, y1) ,

则 AP ? (x ? x1, y), AB ? (?x1, y1)-------2 分

由 AP ? 1 AB 3

,有

???x ?

? ??

y

? ?

x1
1 3

? y1

?

1 3

x1



?? ?

x1

?? y1

? ?

3x 2 3y

,--------------4



由|AB| = 3,得 x12 ? y12 ? 9 ,--------------5 分

所以 ( 3 x)2 ? (3y)2 ? 9 ,即 x 2 ? y 2 ? 1

2

4

所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 1--------------6 分 4

(2)假设存在直线 l 满足条件,因为直线 l : x ? my ? 3 过点 M (? 3,0) ,

而点 M , N 是椭圆 C: x 2 ? y 2 ? 1的左右焦点, 4

所以,由椭圆的定义得, ?DEN 的周长为 8, -------------7 分

由 ?DEN 的内切圆的面积为 3? ,得 ?DEN 的内切圆的半径为 3 ;

16

4

设点

D( x1 ,

y1 ),

E(x2 ,

y2

) ,则

?DEN 的面积为

1 2

?

|

MN

|

?

|

y1

?

y2

|

=

1 2

?8?

3; 4

所以,| y1 ? y2 |? 1;-------------9 分

?x ? my ? 3



? ?

x

2

?

?

y2

?1

,消去 x 并整理得 (m2

? 4) y 2

?2

3my ?1 ? 0

?4

则 | y1 ? y2 |?

?? a

16m2 ? 16 m2 ? 4

? 1 ,-------------11 分

解得 m ? 0,或m ? ?2 2 .

故,存在直线 l ,且 m 的值为 0,2 2,或 ? 2 2 .-------------12 分

21、解:(Ⅰ) f (x) 的定义域为 (0,??) , f ?(x) ? e x?m ? 1 , …………… 1 分 x
由题意 x = 1是 f (x) 的极值点,故 f ?(1) ? e1?m ?1 ? 0 ,解得 m = 1.………… 2 分

此时 f ?(x) ? e x?1 ? 1 , x

当 x ? (0,1) 时, ex- 1 < 1, 1 > 1, 则 f ?(x) ? 0 ,故 f (x) 在 (0,1) 上单调递减; ……… 3 分 x

当 x ? (1,??) 时, ex- 1 > 1, 0 < 1 < 1,则 f ?(x) ? 0 ,故 f (x) 在 (1,??) 上单调递增…4 分 x

(Ⅱ)当 m = 2 时, f (x) = ex- 2 - ln x , f ?(x) ? e x?2 ? 1 . x

令 g(x) = ex- 2 -

1 ,则 gg??((xx))? x

ex- 2 +

1 x2

>

0 ,故 g(x) 在 (0,??) 上单调递增,

…5 分

又 g(1) =

e- 1 -

1<

0, g(2) =

1> 2

0 ,故 ?x0

? (1,2) ,使得 g(x0 ) =

0.

……………

6分

所以当 x ? (0, x0 ) 时, g(x) < 0 ,即 f ?(x) ? 0 ,故 f (x) 在 (0, x0 ) 上单调递减;

当 x ? (x0 ,??) 时, g(x) > 0 ,即 f ?(x) ? 0 ,故 f (x) 在 (x0 ,??) 上单调递增.… 7 分

又 g(x0 ) = ex0- 2 -

1 = 0 , ……………………………………………………………… 8 分 x0

所以 f (x)min =

f (x0 ) = ex0- 2 -

ln x0 =

1 -
x0

(2-

x0 ) =

(x0 - 1)2 > 0 ,……… x0

9分

所以 m = 2 时, f (x) > 0 .………………………………………………………… 10 分

又当 m ? 2 时, f (x) = ex- m - ln x > ex- 2 - ln x , …………………………… 11 分

故 m ? 2 时, f (x) > 0 . ………………………………………………………… 12 分
22、

………………4 分

23、解:(1)由 ? ? 4cos? 得 ? 2 sin 2 ? ? 4? cos? ;…………1 分 sin 2 ?
又 x ? ? cos?, y ? ? sin? ,…………3 分

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4x .…………4 分

(2)将

?x

? ?

y

? ?1? t cos?(t为参数,? ? t sin?

? (0, ? )) 代入 2

y2

?

4x



整理得 sin 2 ? ? t 2 ? 4cos? ? t ? 4 ? 0 ; …………5 分

所以,线段 AB 的中点对应参数为 t0

?

t1

? t2 2

?

2 cos? sin 2 ?

;…………7 分

又线段 AB 的中点横坐标为1,

所以, ?1 ? 2 cos2 ? ? 1,即 tan 2 ? ? 1 sin 2 ?

又? ? (0, ? ) ,则 tan? ? 1,…………9 分 2

所以,直线 l 的普通方程为 y ? x ? 1.…………10 分

24、(Ⅰ)证明:由 a ? 0 ,有 f ? x? = x ? 1 ? x ? a ? x ? 1 ? (x ? a) ? 1 ? a ? 2 ,

a

a

a

所以, f ? x? ≥2. …………4 分

(Ⅱ) f (3) ? 3 ? 1 ? 3 ? a …………5 分 a

当 a ? 3时, f (3) ? a ? 1 ,由 f ?3? ? 5得 3 ? a ? 5 ? 21 ;…………7 分

a

2

当 0 ? a ? 3时, f (3) ? 6 ? a ? 1 ,由 f ?3? ? 5得 1 ? 5 ? a ? 3 ;…………9 分

a

2

综上, a 的取值范围为 (1 ? 5 , 5 ? 21 ) .…………10 分

2

2



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