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2018版高考数学(文理通用新课标)一轮复习课件第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第四节 二次函数与幂函数_图文

第四节 二次函数与幂函数 本节主要包括2个知识点: 1.幂函数; 2.二次函数. 突破点(一) 基础联通 1.幂函数的定义 幂函数 抓主干知识的“源”与“流” α y = x 自变量 ,α 形如 (α∈R)的函数称为幂函数,其中x是_______ 1 常数 为_____.对于幂函数,只讨论α=1,2,3,2,-1时的情形. 2.五种幂函数的图象 3.五种幂函数的性质 函数 性质 定义域 值域 奇偶性 单调性 y= x R R 奇 增 y= x R [0,+∞) 2 y= x R R 3 y= x 1 2 y= x - 1 (-∞,0)∪(0,+ ∞) (-∞,0)∪(0,+ ∞) 奇 x∈(0,+∞)时, -∞,0) 减;x∈(________ 时,减 [0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 增 偶 奇 [0,+∞)时, x∈_________ -∞, 0] 增; x∈( _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _增 时,减 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 幂函数的图象 [例1] 图象是 幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的 ( ) [解析] 1 1 令f(x)=x ,则4 =2,∴α= 2 ,∴f(x)=x 2 ,则f(x) α α 的图象如选项C中所示. [答案] C [方法技巧] 幂函数图象的规律 (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出 现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限,要看函数 的奇偶性; (2)幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内; (3)如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原 点; (4)当α为奇数时,幂函数的图象关于原点对称;当α为 偶数时,幂函数的图象关于y轴对称. 幂函数的性质 (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义; (2)幂函数的图象过定点(1,1); (3)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0, +∞)上单调递增; (4)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上 单调递减; (5)当α为奇数时,幂函数为奇函数;当α为偶数时,幂函 数为偶函数. [例 2] (1)设 ?3? 2 ?2? 3 ?2? 2 a=?5? 5 ,b=?5? 5 ,c=?5? 5 ,则 ? ? ? ? ? ? a,b,c 的大小关 系是________. (2)若(a+1) [解析] - 1 3 <(3-2a) 2 5 - 1 3 ,则实数 a 的取值范围是________. (1)∵y=x (x>0)为增函数,∴a>c. ?2?x ∵y=?5? (x∈R)为减函数,∴c>b.∴a>c>b. ? ? (2)不等式(a+1) - 1 3 <(3-2a) - 1 3 等价于 a+1>3-2a>0 或 3-2a<a +1<0 或 a+1<0<3-2a. 2 3 解得3<a<2或 a<-1. [答案] (1)a>c>b ?2 3? (2)(-∞,-1)∪?3,2? ? ? [方法技巧] 幂值大小比较的常见类型及解题策略 (1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较. (2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较. (3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比 较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小. 能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 2 m2+m-3 1.[考点二]已知函数f(x)=(m -m-1)x 是幂函数,且x ( ) ∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则m的值为 A.-1 C.-1或2 2 B.2 D.3 m2+m-3 解析:∵函数f(x)=(m -m-1)x 是幂函数,∴m2-m -1=1,解得m=-1或m=2.又∵函数f(x)在(0,+∞)上为 增函数,∴m2+m-3>0,∴m=2. 答案:B 2.[考点一]图中C1,C2,C3为三个幂函数y =xk在第一象限内的图象,则解析式中指 数k的值依次可以是 1 A.-1,2,3 1 C.2,-1,3 ( 1 B.-1,3,2 1 D.2,3,-1 ) 解析:根据幂函数图象的规律知,选A. 答案:A 3.[考点一、二](2017· 昆明模拟)已知幂函数f(x)=(n2+2n- 2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是 减函数,则n的值为 A.-3 C.2 B. 1 D.1或2 ( ) 解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1 或n=-3,经检验只有n=1符合题意. 答案:B 4. [考点二] 若 关系是 A.a<b<c C.b<c<a ?1? 2 ?1? 2 ?1? 1 a=?2? 3 ,b=?5? 3 ,c=?2? 3 ,则 ? ? ? ? ? ? a,b,c 的大小 ( ) B.c<a<b D.b<a<c 2 3 解析:∵y=x ?1? 2 (x>0)是增函数,∴a= ?2? 3 ? ? ?1? 2 >b= ?5? 3 ? ? .∵ y= ?1?x ?1? 2 ?1? 1 ? ? 是减函数,∴a=? ? 3 <c=? ? 3 ,所以b<a<c. ?2? ?2? ?2? 答案:D 5. [考点二]若(a+1) <(3-2a) ,则实数 a 的取值范围是 ________. 1 2 1 2 解析:易知函数 y=x 的定义域为[0,+∞),在定义域内为 ?a+1≥0, ? 增函数,所以?3-2a≥0, ?a+1<3-2a, ? ? 2? 答案:?-1,3? ? ? 1 2 2 解得-1≤a<3. 突破点(二) 基础联通 1.二次函数解析式的三种形式 二次函数 抓主干知识的“源”与“流” 2 ax +bx+c(a≠0) ,图象的对称轴是x= (1)一般式:f(x)= 2? ? 4 ac - b b b ?


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