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几个常用函数的导数以及基本初等函数的导数公式


1.2.1 几个常用函数的导数以及基本初等函数的导数公式
学 习 目 标 :1. 能 根 据 导 数 定 义 , 求 函 数

y ? c, y ? x, y ? x 2 , y ? x 3 , y ?
公式. 复 习 回 顾 :1. 函 数

1 , y ? x 的导数;2.熟记基本初等函数的导数 x

y ? f (x) 在 x ? x0 处 的 导 数 定 义 为

________________________; 2 .导数的几何意义和物理意义分别是什么? 知识点:导函数的概念:若函数 y ? f (x) 在 x ? x0 处的导数存在,则称函数 f (x) 在 x ? x0 是可导的.如果 f (x) 在开区间 ( a, b) 内每一点都是可导的,则称 f (x) 在 区间 ( a, b) 可导.这样,对开区间 ( a, b) 内每一个值 x ,都对应一个确定的导数

f ' ( x) .于是,在区间 (a, b) 内, f ' ( x) 构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数
y ? f (x) 的导函数.记为 f ' ( x) 或 y ' (或 y ' x ).导函数通常简称为导数.今后,如果不
特别指明求某一点的导数,那么求导数就是求导函数. 例证题: 例 1.根据导数的定义求下列函数的导数,并说明(1)(2)所求结果的几何意义和物理 意义.(1) (1) y ? f ( x) ? C ( C 为常数); (2) y ? f ( x) ? x

(3) y ? f ( x) ? x

2

(4) y ? f ( x) ? x
1

3

(5) y ? f ( x) ? x?1

(6) y ? f ( x) ?

x

以上结果即为(2) x =_______;(3) (x ) =___________;(4) (x ) =_____________; (5) ( x ?1 ) ' =______________;(6) (x 2 ) ' =______________. 由此,我们可以推 测,对任意幂函数 y?x
?
1

'

2 '

3 '

, 当 ? ?Q 时 , 都 有

( x ? ) ' =_______________.
例 2.画出函数 y ? f ( x) ? x 和 y ? f ( x) ? x 的图象,结合图象以及例 1 中所求
2 ?1

结果,分别描述它们的变化情况.

例 3.利用上述结论,求下列函数的导数: (1) y ? x
15

(2) y ? x

?3

5

( x ? 0)

(3) y ? x 4 ( x ? 0)

(4)

y?

1
3

x2

( x ? 0)

2

例 4.求曲线 y ? 程.

1 (1)在点(1,1)处的切线方程;(2)求曲线 y ? x 2 过点(2,3)的切线方 x

作业: 1.熟记教材第 14 页基本初等函数的导数公式,并默写如下:

2.函数 f ( x) ? 101的导数是________________. 3.函数 y ? 3 x 在 x ? 1 处的导数为_______;
5 4.物体的运动方程为 s ? t ,则物体在 t ? 2 时的瞬时速度为______.

5.给出下列命题,其中正确的命题是___________________(填序号) (1)任何常数的导数都为零;(2)直线 y ? 2 x 上任一点处的切线方程是这条直线本 身; (3)双曲线 y ?

1 上任意一点处的切线斜率都是赋值; x

2 (4)函数 y ? 2 x 和函数 y ? x 在( 0,??) 上函数值增长的速度一样快.

6.函数 y ? ln x 在 x ? 1 处的切线方程为________________________________. 7.函数 y ? lg x 的导数为( )

A.

1 x

B.

1 ln 10 x

C.

1 x ln 10
3

D.

1 x lg e

8.函数 y ? ( ) (a ? 0, 且a ? 1) 的导数为(
x

1 a

)
?x

A. ( ) ln a

1 a

x

B. ? a

?x

ln a

C. a

ln a

D. a ln

x

1 a

9.求三次曲线 y ? x 3 过点(2,8)的切线方程.

10.求证两曲线 y ? sin x 和 y ? cos x 在点 P (

?
4

,

2 ) 处的切线互相垂直. 2

11.某小型企业最初在年初投资 10000 元生产某种产品,在今后 10 年内估计资金年 平均增长率为 50%。问第 5 年末该企业的资金增长速度大约是每年多少万元? (精确到 0.01)

12.过点 P(0,?3) 作曲线 y ? x 的切线,求此切线的方程.
4

4


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