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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2.2椭圆方程及性质的应用高效测评新人教A版

第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2.2 椭圆方程及性质的应用高效测评 新人教 A 版选修 1-1 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.点 A(a,1)在椭圆 + =1 的内部,则 a 的取值范围是( 4 2 A.- 2<a< 2 C.-2<a<2 B.a<- 2或 a> 2 D.-1<a<1 2 x2 y2 ) a 1 解析: ∵点 A 在椭圆内,∴ + <1, 4 2 解得- 2<a< 2. 答案: A π 2 2 2.过椭圆 x +2y =4 的左焦点 F 作倾斜角为 的弦 AB,则弦 AB 的长为( 3 A. C. 6 7 7 16 16 B. 7 7 D. 6 ) 解析: 椭圆可化为 + =1,∴F(- 2,0), 4 2 又∵直线 AB 的斜率为 3,∴直线 AB 为 y= 3x+ 6. 由? x2 y2 ?y= 3x+ 6, ?x2+2y2=4, +k 2 得 7x +12 2x+8=0. 16 . 7 2 ∴|AB|= 答案: B x1+x2 2 -4x1x2]= 3.若直线 y=mx+1 和椭圆 x +4y =1 有且只有一个交点,那么 m 的值为( A. C. 1 2 3 4 ? ?y=mx+1, ?x +4y =1. ? 2 2 2 2 2 2 ) 2 B. 3 4 D. 5 得 x +4(mx+1) -1=0,即(4m +1)x +8mx+3=0,由 Δ 2 2 2 解析: 由? 3 2 2 2 =64m -12(4m +1)=0,得 m = . 4 答案: C 4.如果椭圆 + =1 的弦被点(4,2)平分,那么这条弦所在直线的方程为( 36 9 A.x-2y=0 C.2x+3y-12=0 2 2 x2 y2 ) B.x+2y-4=0 D.x+2y-8=0 解析: 椭圆方程可化为 9x +36y =324.设弦两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2),由题得 x1+x2 2 =4, y1+y2 2 2 =2. ? ?9x1+36y1=324, 由? 2 2 ?9x2+36y2=324, ? 2 作差得, y1-y2 =- x1-x2 将 得 x1+x2 . y1+y2 y1+y2 2 =2 代入上式, x1+x2 2 =4, y1-y2 1 1 =- ,即 kAB=- , x1-x2 2 2 所以弦所在的直线方程为 y-2=- (x-4), 即 x+2y-8=0. 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 1 2 2 5.直线 y=x- 与椭圆 x +4y =2 的位置关系是________. 2 1 ? ?y=x- , 2 解析: 联立方程组得? 2 2 ? ?x +4y =2, 消去 y,整理得 5x -4x-1=0(#), Δ =(-4) -4×5×(-1)=36>0, 即方程(#)有两个实数根,所以方程组有两组解,即直线和椭圆相交. 答案: 相交 6.已知椭圆 ______________. 解析: 方法一:设过 P 的直线与椭圆交点 A(x1,y1),B(x2,y2),设所求直线的斜率 1 ? 1? 为 k,当 k 不存在时,y1+y2=0≠1,故 k 存在.则直线方程为 y- =k?x- ?. 2 ? 2? 2 2 1 2 x2 ?1 1? 2 +y =1,则过点 P? , ?且被 P 平分的弦所在的直线方程为 2 ?2 2? 1 2 3 2 2 2 代入椭圆方程,并整理得(1+2k )x -(2k -2k)x+ k -k- =0. 2 2 由根与系数关系得,x1+x2= ∵P 是弦中点,∴x1+x2=1. 2k -2k 即 2 =1, 1+2k 1 故得 k=- . 2 所以所求直线方程为 2x+4y-3=0. 2 2k -2k 2 . 1+2k 2 ?1 1? 方 法 二 : 设 过 P ? , ? 的 直 线 与 椭 圆 交 于 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , 则 由 题 意 得 ?2 2? ? ?x ? 2 +y =1,② x +x =1,③ ? ?y +y =1. ④ 2 +y1=1,① 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x2 1 ①-②得 2 x2 1-x2 2 +y1-y2=0,⑤ 2 2 将③、④代入⑤得 y1-y2 1 =- , x1-x2 2 1 即直线的斜率为- . 2 所求直线方程为 2x+4y-3=0. 答案: 2x+4y-3=0 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.过椭圆 C: + =1 的左焦点 F 作倾斜角为 60°的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点, 4 3 求 1 1 + 的值. |AF| |BF| 解析: 由已知得直线 l:y= 3(x+1). x2 y2 ? ?y= 3 x+ 联立?x2 y2 + =1, ? ?4 3 , ? 8 -3 3? 可得 A(0, 3),B?- , ?, 5 ? ? 5 6 又 F(-1,0),∴|AF|=2,|BF|= , 5 ∴ 1 1 4 + = . |AF| |BF| 3 8.已知中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆的两焦点间的距离为 3,若椭圆被直线 x+y 2 +1=0 截得的弦的中点的横坐标是- ,求椭圆的方程. 3 解析: 设椭圆方程为 mx +ny =1(0<m<n), 弦的两端点为 A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意得 2 2 x1+x2 2 2 =- , 3 y1+y2 2 由? 1 =- . 3 可得(m+n)x +2nx+n-1=0, 2 ? ?y=-x-1, ?mx +ny =1, ? 2 2 x1+x2=- 2n 4 =- ,即 n=2m. m+n 3 ① ∵2c= 3, ∴c= 3 ,即 2 1 1 3 - = . m n 2 ② 2 4 由


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