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中档大题保分练(六)


中档大题保分练(六)
(推荐时间:50 分钟) 1. 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A 在 x 轴正半轴上,直线 AB 的 π 3π? 3π 倾斜角为 ,|OB|=2,设∠AOB=θ,θ∈? 2 ? , 4 ?. 4 (1)用 θ 表示点 B 的坐标及|OA|; 4 → → (2)若 tan θ=- ,求OA· OB的值. 3 解 (1)由题意,可得点 B 的坐标为(2cos θ,2sin θ).

π π 3π 在△ABO 中,|OB|=2,∠BAO= ,∠B=π- -θ= -θ. 4 4 4 由正弦定理,得 |OB| |OA| = , π sin B sin 4

3π ? 即|OA|=2 2sin? ? 4 -θ?. → → → → (2)由(1),得OA· OB=|OA|· |OB|· cos θ 3π ? =4 2sin? ? 4 -θ?cos θ. π 3π? 4 因为 tan θ=- ,θ∈? ?2, 4 ?, 3 4 3 所以 sin θ= ,cos θ=- . 5 5 3π ? 3π 3π 2 ? 3? ? 2 2? 4 又 sin? ? 4 -θ?=sin 4 cos θ-cos 4 sin θ= 2 ×?-5?-?- 2 ?×5= 10 , 3 2 12 → → - ?=- . 故OA· OB=4 2× ×? 10 ? 5? 25 2. 设 AB=6,在线段 AB 上任取两点(端点 A、B 除外),将线段 AB 分成了三条线段. (1)若分成的三条线段的长度均为正整数,求这三条线段可以构成三角形的概率; (2)若分成的三条线段的长度均为正实数,求这三条线段可以构成三角形的概率. 解 (1)若分成的三条线段的长度均为正整数, 则三条线段的长度所有可能情况是 1,1,4;

1,2,3;2,2,2,共 3 种情况,其中只有三条线段长为 2,2,2 时,能构成三角形,故构成三 1 角形的概率为 P= . 3 (2)设其中两条线段长度分别为 x、y,则第三条线段长度为 6-x-y,故全部试验结果所 构成的区域为

0<x<6 0<x<6 ? ? ? ? ?0<y<6 ,即?0<y<6 , ? ? ?0<6-x-y<6 ?0<x+y<6 所表示的平面区域为△OAB. 若三条线段 x,y,6-x-y 能构成三角形, x+y>6-x-y ? ? 则还要满足?x+6-x-y>y , ? ?y+6-x-y>x x+y>3 ? ? 即为?y<3 , ? ?x<3 所表示的平面区域为△DEF, S△DEF 1 由几何概型知,所求概率为 P= = . S△AOB 4 3. 如图, 在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, 棱 AA1 与底面 ABC 垂直, △ABC 为等腰直角三角形,AB=AC=AA1,D,E,F 分别为 B1A,C1C, BC 的中点. (1)求证:DE∥平面 ABC; (2)求证:平面 AB1F⊥平面 AEF. 证明 (1)取 AB 中点 G,连接 DG,GC.

因为 D 是 AB1 的中点, 1 所以 DG∥BB1,且 DG= BB1, 2 1 又因为 BB1∥CC1,CE= CC1, 2 所以 DG∥CE 且 DG=CE, 所以四边形 DGCE 为平行四边形,所以 DE∥GC. 又 DE?平面 ABC,GC?平面 ABC, 所以 DE∥平面 ABC. (2)因为△ABC 为等腰直角三角形,F 为 BC 的中点, 所以 BC⊥AF, 由题意知 B1B⊥平面 ABC, 所以 B1B⊥AF. 又因为 B1B∩BC=B, 所以 AF⊥平面 B1BF, 所以 AF⊥B1F.

设 AB=AA1=2,则 B1F= 6,EF= 3,B1E=3, 所以 B1F2+EF2=B1E2,所以 B1F⊥EF, 又 AF∩EF=F,所以 B1F⊥平面 AEF. 又因为 B1F?平面 AB1F, 所以平面 AB1F⊥平面 AEF. 4. 已知等比数列{an}满足 2a1+a3=3a2,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式; 1 + (2)若 bn=an+log2 ,Sn=b1+b2+…+bn,求使 Sn-2n 1+47<0 成立的正整数 n 的最小 an 值. 解 (1)设等比数列{an}的公比为 q. ① ②

?2a1+a3=3a2, ?a1?2+q2?=3a1q, ? ? 由? 得? 3 2 ?a2+a4=2?a3+2?, ? ? ?a1?q+q ?=2a1q +4,

由①,得 q2-3q+2=0,解得 q=1 或 q=2. 当 q=1 时,不合题意舍去; 当 q=2 时,代入②,得 a1=2.则 an=2· 2n 1=2n.


1 1 (2)因为 bn=an+log2 =2n+log2 n=2n-n, an 2 所以 Sn=b1+b2+b3+…+bn =2-1+22-2+23-3+…+2n-n =(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n) = 2?1-2n? n?1+n? n+1 1 1 - =2 -2- n- n2. 2 2 2 1-2


因为 Sn-2n 1+47<0, 1 1 + + 所以 2n 1-2- n- n2-2n 1+47<0, 2 2 即 n2+n-90>0,解得 n>9 或 n<-10. 又 n∈N*, 故使 Sn-2n 1+47<0 成立的正整数 n 的最小值为 10.



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