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2016_2017学年高中数学学业分层测评19向量的正交分解与向量的直角坐标运算新人教B版必修4

学业分层测评(十九) 向量的正交分解与向量的直角坐标运算 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 → 1.已知 A(3,1),B(2,-1),则BA的坐标是( A.(-2,-1) C.(1,2) B.(2,1) D.(-1,-2) ) → 【解析】 B A =(3,1)-(2,-1)=(1,2). 【答案】 C 2.(2016·威海高一检测)设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量 c 等于( A.(1,-1) C.(-4,6) B.(-1,1) D.(4,-6) ) 【解析】 因为 4a,3b-2a,c 对应有向线段首尾相接,所以 4a+3b-2a+c=0, 故有 c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4) =(4,-6). 【答案】 D 3.(2016·孝感高级中学期末)若 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 用 a,b 表示为( ) 1 3 B. a- b 2 2 3 1 D.- a+ b 2 2 1 3 A.- a+ b 2 2 3 1 C. a- b 2 2 【解析】 设 c=λ 1a+λ 2b(λ 1、λ 2∈R),则 (-1,2)=λ 1(1,1)+λ 2(1,-1)=(λ 1+λ 2,λ 1-λ 2), ? ?λ 1+λ 2=-1, 则? ?λ 1-λ 2=2, ? ? ?λ ∴? ? ?λ 1 1 = , 2 3 =- , 2 2 ∴c= a- b.故选 B. 【答案】 B 1 2 3 2 1 4.已知平面向量 a=(x,1),b=(-x,x ),则向量 a+b( A.平行于 y 轴 B.平行于第一、三角限的角平分线 C.平行于 x 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 【解析】 a+b=(0,1+x ),故平行于 y 轴. 【答案】 A 2 2 ) 5.(2016·抚顺市质检)已知 A(-3,0),B(0,2),O 为坐标原点,点 C 在∠AOB 内,且∠ → 1 5 2 5 → → ) 1 3 2 3 AOC=45°,设OC=λ OA+(1-λ )OB(λ ∈R),则 λ 的值为( A. C. B. D. 【解析】 如图所示,∵∠AOC=45°, → ∴设 C(x,-x),则OC=(x,-x). 又∵A(-3,0),B(0,2), → → ∴λ OA+(1-λ )OB=(-3λ ,2-2λ ), ? ?x=-3λ ∴? ?-x=2-2λ ? 2 ?λ = . 5 【答案】 C 二、填空题 → → 1 6.已知点 A(2,3),B(-1,5),且AC= AB,则点 C 的坐标为________. 3 → → → → → → → → → 1 1 2 1 2 1 【解析】 因AC= AB,即OC-OA= (OB-OA),所以OC= OA+ OB= (2,3)+ (-1,5) 3 3 3 3 3 3 ? 11? =?1, ?. 3? ? ? 11? 【答案】 ?1, ? 3 ? ? 2 7.已知边长为单位长度的正方形 ABCD,若 A 点与坐标原点重合,边 AB,AD 分别落在 x → → → 轴,y 轴的正方向上,则向量 2AB+3BC+AC的坐标为________. 【导学号:72010059】 【解析】 根据题意建立平面直角坐标系 (如图 ),则各顶点的坐标分别为 A(0,0) , B(1,0),C(1,1),D(0,1). → → → ∴AB=(1,0),BC=(0,1),AC=(1,1), → → → ∴2AB+3BC+AC=(2,0)+(0,3)+(1,1) =(3,4). 【答案】 (3,4) 三、解答题 8.若向量|a|=|b|=1,且 a+b=(1,0),求 a 与 b 的坐标. 【解】 设 a=(m,n),b=(p,q), ? ?p +q =1, 则有? m+p=1, ? ?n+q=0, 2 2 m2+n2=1, ?m=p=2, ? 3 解得?q=- , 2 ? ?n= 23, 1 ?m=p=2, ? 3 或?q= , 2 ? ?n=- 23. 1 3? 3? ?1 ?1 故所求向量为 a=? , ?,b=? ,- ?, 2 2 2 2 ? ? ? ? 3? 3? ?1 ?1 或 a=? ,- ?,b=? , ?. 2? ?2 ?2 2 ? → → → → → → → 9.(1)已知平面上三个点 A(4,6),B(7,5),C(1,8),求AB,AC,AB+AC,AB-AC,2AB+ 3 → 1 AC. 2 (2)已知 a=(1,2),b=(-3,4),求向量 a+b,a-b,3a-4b 的坐标. 【解】 (1)因为 A(4,6),B(7,5),C(1,8), → 所以AB=(7,5)-(4,6)=(3,-1), → AC=(1,8)-(4,6)=(-3,2), → → AB+AC=(3,-1)+(-3,2) =(0,1), → → AB-AC=(3,-1)-(-3,2)=(6,-3), → → 1 1 2AB+ AC=2(3,-1)+ (-3,2) 2 2 ? 3 ? =(6,-2)+?- ,1? ? 2 ? ?9 ? =? ,-1?. ?2 ? (2)a+b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6), a-b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2), 3a-4b=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10). [能力提升] → → → → → BA BC BD 1.在四边形 ABCD 中, AB=DC=(1,0), + = , 则四边形 ABCD 的面积是( → → → |BA| |BC| |BD| A. C. 3 2 3 4 → B. 3 D. 3 2 ) → → → → → BA BC BD 【解析】 为在BA方向上的单位向量, 记为 e1=BM, 类似地, 设


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