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1、3-1-2导数的几何意义


选修 1-2 一、选择题 1.曲线 y=x2 在 x=0 处的( A.切线斜率为 1 B.切线方程为 y=2x C.没有切线 D.切线方程为 y=0 [答案] D 3.1.2 导数的几何意义 ) (0+Δx)2-02 [解析] k=y′= lim = lim Δx=0,所以 k=0,又 y=x2 在 x=0 处的切线 Δx Δx→0 Δx→0 过点(0,0),所以切线方程为 y=0. 2.已知曲线 y=x3 过点(2,8)的切线方程为 12x-ay-16=0 则实数 a 的值是( A.-1 B.1 C.-2 D.2 [答案] B [解析] (2+Δx)3-23 k=y′|x=2= lim = lim [12+6Δx+(Δx)2]=12,所以过点(2,8)的切 Δx Δx→0 Δx→0 ) 线方程为 y-8=12(x-2)即 y=12x-16,所以 a=1. 3.如果曲线 y=x3+x-10 的一条切线与直线 y=4x+3 平行,那么曲线与切线相切的 切点坐标为( ) A.(1,-8) B.(-1,-12) C.(1,-8)或(-1,-12) D.(1,-12)或(-1,-8) [答案] C [解析] 设切点坐标为 P(x0,y0),则 y0=x3 0+x0-10 的切线斜率为 k= lim → (x0+Δx)3+(x0+Δx)-10-(x3 0+x0-10) Δx 2 3 3x2 0Δx+3x0(Δx) +(Δx) +Δx Δx Δx 0 = lim → Δx 0 2 2 = lim [(3x2 1,当 x0=1 时,y0=-8,当 x0 0+1)+3x0Δx+(Δx) ]=3x0+1=4,所以 x0=± → Δx 0 =-1 时,y0=-12,所以切点坐标为(1,-8)或(-1,-12). 1 7 4.曲线 y= x3-2 在点(-1,- )处切线的倾斜角为( 3 3 A.30° B.45° C.135° D.-45° [答案] B [解析] k=y′|x=-1 1 1 [ (-1+Δx)3-2]-[ ×(-1)3-2] 3 3 = lim → Δx Δx 0 1 = lim [1-Δx+ (Δx)2]=1,所以切线的倾斜角为 45° . 3 Δx→0 π 5.下列点中,在曲线 y=x2 上,且在此点处的切线倾斜角为 的是( 4 A.(0,0) B.(2,4) 1 1 C.( , ) 4 16 1 1 D.( , ) 2 4 [答案] D [解析] k= lim → Δx 0 ) ) Δy Δx (x+Δx)2-x2 = lim Δx Δx→0 = lim (2x+Δx)=2x, → Δx 0 π ∵倾斜角为 ,∴斜率为 1. 4 1 ∴2x=1,x= ,故选 D. 2 6.设 P0 为曲线 f(x)=x3+x-2 上的点,且曲线在 P0 处的切线平行于直线 y=4x-1,则 点 P0 的坐标为( A.(1,0) ) B.(2,8) C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4) [答案] C [解析] 根据导数的定义可求得 f′(x)=3x2+1, 由于曲线 f(x)=x3+x-2 在 P0 处的切线 2 平行于直线 y=4x-1,所以 f(x)在 P0 处的导数值等于 4,设 P0(x0,y0),故 f′(x0)=3x0 +1 =4,解得 x0=± 1,这时 P0 点的坐标为(1,0)或(-1,-4),选 C. 1 7 7.曲线 y= x3+2 在点(1, )处切线的倾斜角为( 3 3 A

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