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分数指数幂课件_图文

分数指数幂
教学重点: 1、分数指数幂的含义的理解。 2、根式与分数指数幂的互化。 3、有理指数幂的运算性质。 教学难点: 1、分数指数幂概念的理解。 2、有理指数幂的运算和化简。
1

有理数指数幂
1)( a ) ? ? 2)当n为奇数时, n a n=a;
n n

2) n a n ? ?
5

?a(a ? 0) 当n为偶数时, n a n =|a|= ? ?? a(a ? 0)
(a 2 ) 5 ? a 2 ? a
10 5 12 3

复习:(口算) 1 ) 32
4 2) 81 5
3

a 10 ?

a 12 ? 3 ( a 4 ) 3 ? a 4 ? a

3

3) 2

10 12

a ? (a ) ? a
2

2 3 3

2 3

3 4) 3

a ? (a ) ? a
2

1 2

1 2

n

a ?
m

n

( a ) n ? a (m, n ? N *, 且n ? 1)

m n

m n

2

⒈正分数指数幂的意义 ⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义:
m 用语言叙述:正数的 n 次幂(m,n∈N*,且n>1)
m n

a ? a
n

m

(a>0,m,n∈N*,且n>1)

等于这个正数的m次幂的n次算术根. 注意:底数a>0这个条件不可少. 若无此条件会 引起混乱,例如, (-1)1/3 和 (-1)2/6 应当具有同样 的意义,但由分数指数幂的意义可得出不同的 结果:
2 6 6 =-1 ; ( ? 1 ) ? ( ? 1 ) ? 1 =1. 这就说明 ( ?1) ? ? 1 3 分数指数幂在底数小于0时无意义.

1 3

3

2 6

⒉负分数指数幂的意义

注意:负分数指数幂在有意义的情况下, 回忆负整数指数幂的意义: 1 总表示正数,而不是负数 , 负号只是出现 - n a = n ( a≠0,n∈N*). 在指数上. a
正数的负分数指数幂的意义和正数的负整 数指数幂的意义相仿,就是:
? m n

a

?

1 a
m n

1 (a>0,m,n∈N*,且n>1). ? n m a

规定: 0 的正分数指数幂等于 0 ; 0 的负分数指 数幂没有意义. 4

⒋有理指数幂的运算性质 我们规定了分数指数幂的意义以后,指 说明:若 a>0 , p 是一个无理数,则 ap 表示 数的概念就从整数指数推广到有理数指 一个确定的实数. 上述有理指数幂的运算性 数 . 上述关于整数指数幂的运算性质,对 质,对于无理数指数幂都适用 . 即当指数的 于有理指数幂也同样适用,即对任意有 范围扩大到实数集R后,幂的运算性质仍然 理数 r,s,均有下面的性质: 是下述的 3条.

⑴ ar· as=ar+s (a>0,r,s∈Q); ⑵ (ar)s=ars (a>0,r,s∈Q); ⑶ (ab)r=ar br (a>0,b>0,r∈Q).
5

1.正数的正分数指数幂的意义: m
a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)

2.正数的负分数指数幂
a
? m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N *,且n ? 1)
4.有理指数幂的运算性质
(1)ar?as=ar+s(a>0,r,s∈Q)

3. 0的分数指数幂

0的正分数指数幂等于0。 (2)(ar)s=ar?s(a>0,r,s∈Q) 0的负分数指数幂无意义。(3)(a?b)r=ar?br(a>0,b>0,r∈Q)

注意:以后当看到指数是分数时,如果没有特 别的说明,底数都表示正数. 6

练习: 1、用根式表示(a>0):
1 3 4 5 1 ? 6
1 4

2 , a ,3 , a .
0 2、若(x ? 5) ? (x ? 4) 有意义,求 x的取值范围。 ?

?

3 4

7

3 - 1 16 例2:求值: -3 8 , 100 ,( ) ,( ) 4 4 81 -

2 3

1 2

分析:此题主要运用有理指数幂的运算性质。 解:

8 =(2 ) =2 =22=4;
100 =( 10 ) = 10
- 1 2 2 - 1 2 1 2? (- ) 2

2 3

2 3 3

3?

2 3

1 = 10 = ; 10
-1

1 -3 -2 -3 (-2) ? (-3) 6 ( ) =(2 ) =2 =2 =64; 4

16 2 ( ) =( ) 81 3


3 4

3 4? (- ) 4

2 -3 27 =( ) = 。 3 8

8

练习:求值:

1 9 , 64 , ( ) 32

1 2

2 ? 3

1 5

9

例3:用分数指数幂的形式表示下列各式:

a 2 ? a , a 3 ? 3 a 2 , a a (式中a ? 0)
分析:此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。 解:
1 2 1 2? 2 5 2

a ? a ? a ?a ? a
2 2

?a ;
2 3

a ? a ? a ?a ? a
3 3 2 3
1 1 2 2

2 3

3?

?a ;
3 4

11 3

a a ? (a ? a ) ? (a ) ? a .

3 1 2 2

a ??

10

例4:计算下列各式(式中字母都是正数)
2 3 1 2 1 2 1 3 1 6 5 6

(1)(2a b )(?6a b ) ? (?3a b )

(2)(m n

1 4

3 ? 8

)

8

11

例4:计算下列各式(式中字母都是正数)

解: (1)(2a

2 3

b )(?6a b ) ? (?3a b )
2 1 1 ? ? 3 2 6

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

? [2 ? (?6) ? (?3)]a

b

1 1 5 ? ? 2 3 6

? 4ab ? 4a
0

(2)(m n
1 4 8

1 4

?

3 8

)

8

? (m ) (n

3 ? 8 8

) ? m ?n
2

?3

m ? 3 n

2

12

.Ⅲ. 课堂练习一
1、计算下列各式:

(1)a a a
?3

1 2

1 4

3 ? 8
1 ? 3

(2)(x y )
1 ? 3

1 2

1 ? 3 6
1 3 2 ? 3

8a (3)( ) 6 27b

1 (4)2 x ( x ? 2 x ) 2
13

小结: ①分数指数幂的意义及运算性质
②指数概念的扩充,引入分数指数幂概念后,
指数概念就实现了由整数指数幂向有理数指数 幂的扩充 . 而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适 用,这样指数概念就扩充到了整个实数范围。
n a ③对于指数幂 ,当指数n扩大至有理数时,

要注意底数a的变化范围。如当n=0时底数a≠0; 当n为负整数指数时,底数a≠0;当n为分数时, 底数a>0。
14

3、下列正确的是() A、 ? B、x
?

x ? ( ? x ) ( x ? 0)
1 3 3

1 2

? ?3 x
4

x ?4 C、 ( ) ? y

y 3 ( ) ( x , y ? 0) x

6 D、 y 2 ? y ( y ? 0)

1 3

课本P65习题2.1 第2,4题. P59习题第1、2题。

课后作业
15

16



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