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肇庆市2013届高一上学期期末考试(数学)


肇庆市中小学教学质量评估 2010—2011 学年第一学期统一检测题
高一数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? { 0 ,1, 2 , 3} , B ? {1, 2 , 4 } ,则集合 A ? B ? A.{0,1,2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{1,2} D.{0}

2.若集合 A ? { x | ? 2 ? x ? 1} , B ? { x | 0 ? x ? 2 } ,则集合 A ? B ? A. { x | ? 2 ? x ? 2 } C. { x | 0 ? x ? 1} B. { x | ? 1 ? x ? 1} D. { x | 1 ? x ? 2}

3.一个年级有 12 个班,每个班学生的学号都是 1?50,为了交流学习经验,要求各班学号 为 14 的学生参加交流活动,这里运用的抽样方法是 A.分层抽样 B.抽签法 C.系统抽样 D.随机数表法 4.函数 f ( x ) ? A. ( ?? , ?? ) 5.若函数 f ( x ) ? 3 ? 3
x ?x

8 x

的值域是 B. ( ?? , 0 ) 与 g (x) ? 3 ? 3
x ?x

C. ( 0 , ?? )

D. ( ?? , 0 ) ? ( 0 , ?? )

的定义域均为 R,则 B. f ( x ) 为偶函数, g ( x ) 为奇函数 D. f ( x ) 与 g ( x ) 均为偶函数

A. f ( x ) 为奇函数, g ( x ) 为偶函数 C. f ( x ) 与 g ( x ) 均为奇函数 6.已知 0 . 2
m

? 0 . 2 ,则 m , n 的大小关系是
n

A. m ? n
2

B. m ? n

C. m ? n

D.不能确定

7.函数 f ( x ) ? x ? 2 x 的单调减区间是 A. ( ?? , ?? ) B. ? ? ? ,1 ? C. ?1, ?? ? D. ? ? ? , 0 ?

8.某地工人月工资 y (单位:元)随劳动生产率 x (单位:千元)变化的回归方程是
? y ? 500 ? 80 x ,下列判断正确的是

A.劳动生产率为 1 千元时,月工资为 580 元; B.劳动生产率提高 1 千元时,月工资约提高 80 元; C.劳动生产率提高 1 千元时,月工资提高 580 元; D.当月工资为 750 元时,劳动生产率为 3 千元.

1

9.已知函数 f ( x ) ? A. { x | x ? ? 1}

1 x ?1

,则函数 f [ f ( x )] 的定义域是 B. { x | x ? ? 2 } D. { x | x ? ? 1或 x ? ? 2 }

C. { x | x ? ? 1且 x ? ? 2 }

10.已知定义域为 R,函数 f ( x ) 满足 f ( a ? b ) ? f ( a ) ? f ( b )( a , b ? R ) ,且 f ( x ) ? 0 ,若
f (1) ? 1 2

,则 f ( ? 2 ) 等于 B.
1 4

开始

A.

1 2

C.2

D.4

S=0

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.计算: log 3 5 ? log 3 15 ?
1

i=1

▲ .
? 1 2

S=S+2i
?

12.已知 x ? x

?1

? 3 ,则 x 2 ? x



. i=i+1 否 i>10 是

13.一个路口的红绿灯,红灯的时间为 30 秒,黄灯的时间为 5 秒,绿灯的时间为 40 秒.当你到达路口时,看见红灯的 概率是__▲ _. 14.阅读右边程序框图,该程序输出的结果是__▲__.

输出 S 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明 过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 结束 在一个实验中,一种血清被注射到 500 只豚鼠体内.最初,这些豚鼠中 150 只有圆形细胞,250 只有椭圆形细胞,100 只有不规则形状细胞.被注射这种血清之后, 没有一只具有圆形细胞的豚鼠被感染,50 只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染,具有不规则形 状细胞的豚鼠全部被感染. 根据试验结果, 估计具有下列类型的细胞的豚鼠被这种血清感染 的概率: (1)圆形细胞; (2)椭圆形细胞; (3)不规则形状细胞. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ? x .
3

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性,并说明理由;
2

(3)判断函数 f ( x ) 的单调性,并说明理由.

17. (本小题满分 14 分) 对某电子元件进行寿命追踪调查,情况如下: 寿命/小时 个数 分组 100?200 200?300 300?400 400?500 500?600 合计 (2)完成频率分布直方图;
频率 组距

100?200 20

200?300 30 频数

300?400 80

400?500 40 频率

500?600 30

(1)完成频率分布表;

0 .0 0 4 0 .0 0 3 0 .0 0 2 0 .0 0 1

(3)估 O 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 使 用 寿 命 / 小 时 时以内的概率; (4)估计电子元件寿命在 400 小时以上的概率.

计电子元件寿命在 100?400 小

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ?
? x 2 ? 4 x ? 2, x ? 0, ? ?x ?
2

? 4 x ? 2, x ? 0.

(1)求 f (1 ) , f ( ? 3 ) , f ( a ? 1) 的值; (2)求函数 f ( x ) 的零点.

19. (本小题满分 14 分) 如图,有一块半径为 2 的半圆形钢板,计划剪裁成等腰梯形 ABCD 的形状,它的下底 AB 是圆 O 的直径,上底 CD 的端点在圆周上. (1)求梯形 ABCD 的周长 y 与腰长 x 间的函数解析式,并求出它的定义域; (2)求梯形 ABCD 的周长 y 的最大值.
D C

3

A

O

B

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? log a ( a ? 1)( a ? 0 , a ? 1) .
x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域; (2)讨论函数 f ( x ) 的单调性.

4

高一数学参考答案及评分标准
一、选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 D 5 B 6 A 7 B 8 B 9 C 10 D

二、填空题 11.-1; 12. 5 ; 13.
2 5



14.110

三、解答题 15. (本小题满分 12 分) 解: (1)记“具有圆形细胞的豚鼠被这种血清感染”为事件 A, 则 P ( A) ?
0 150 ? 0;

(4 分)

(2)记“具有椭圆形细胞的豚鼠被这种血清感染”为事件 B, 则 P(B) ?
50 250 ? 0 .2 ;

(8 分)

(3)记“具有不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染”为事件 C, 则 P (C ) ?
100 10 0 ?1.

(12 分)

16. (本小题满分 12 分) 解: (1)显然函数 f ( x ) 的定义域为 R; (2)函数 f ( x ) 为奇函数. 因为 f ( ? x ) ? ( ? x ) ? ( ? x ) ? ? x ? x ? ? ( x ? x ) ? ? f ( x ) ,
3 3 3

(2 分) (3 分) (6 分) (7 分) (8 分)

所以 f ( x ) 为奇函数. (3)函数 f ( x ) 在 R 上是增函数. 任取 x 1 , x 2 ? R ,且 x 1 ? x 2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ? x1 ) ? ( x 2 ? x 2 )
3 2

? ( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 1 x 2 ? x 2 ) ? ( x 1 ? x 2 )
2 2

? ( x 1 ? x 2 )[( x 1 ?

1 2

x2 ) ?
2

3 4

x 2 ? 1]
2

(10 分) (11 分) (12 分)

由 x 1 ? x 2 ,得 x 1 ? x 2 ? 0 , ( x 1 ?

1 2

x2 ) ?
2

3 4

x2 ? 1 ? 0 ,
2

于是 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) .
5

所以,函数 f ( x ) 在 R 上是增函数.

17. (本小题满分 14 分) 解: (1)完成频率分布表如下: 分组 100?200 200?300 300?400 400?500 500?600 合计 (2)完成频率分布直方图如下:
频率 组距

(4 分) 频数 20 30 80 40 30 200 (8 分) 频率 0.10 0.15 0.40 0.20 0.15 1

0 .0 0 4 0 .0 0 3 0 .0 0 2 0 .0 0 1

(3)由频率分 O 1 0 0 2 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 使 用 寿 命 / 小 时 布表可知, 寿命在 100?400 小 时的电子元件出现的频率为 0.10+0.15+0.40=0.65, 所以估计电子元件寿命在 100?400 小时 的概率为 0.65. (11 分) (4)由频率分布表可知,寿命在 400 小时以上的电子元件出现的频率为 0.20+0.15=0.35, 所以估计电子元件寿命在 400 小时以上的概率为 0.35. (14 分) 18. (本小题满分 14 分) 解: (1)因为 1 ? 0 ,所以 f (1) ? 1 ? 4 ? 1 ? 2 ? 3 ;
2

(2 分) (4 分)
2

因为 ? 3 ? 0 ,所以 f ( ? 3 ) ? ( ? 3 ) ? 4 ? ( ? 3 ) ? 2 ? 19 ;
2 2

当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ? 1 时, f ( a ? 1) ? ( a ? 1) ? 4 ( a ? 1) ? 2 ? a ? 6 a ? 3 ; (6 分) 当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ? 1 时, f ( a ? 1) ? ( a ? 1) ? 4 ( a ? 1) ? 2 ? a ? 2 a ? 5 .
2 2

(8 分)

(2)由题意,得
? x ? 0, ,解得 x ? ? 2 ? ? 2 x ? 4x ? 2 ? 0 ?
6 ;

(10 分)

或?

? x ? 0, ?x
2

? 4x ? 2 ? 0

,解得 x ? 2 ?

6 .

(12 分)

所以函数 f ( x ) 的零点为 2 ?

6 与? 2 ?

6 .

(14 分)

6

19. (本小题满分 14 分) 解: (1)如图,作 DE?AB 于 E,连接 BD. 因为 AB 为直径,所以?ADB=90?. (1 分) 在 Rt?ADB 与 Rt?AED 中,?ADB=90?=?AED,?BAD=?DAE, 所以 Rt?ADB∽Rt?AED. (3 分) 所以
AD AB ? AE AD

D

C

A

E

O

B

,即 AE ?

AD AB x
2

2

.

又 AD=x,AB=4,所以 AE ?

.

(5 分)

4 x
2

所以 CD ? AB ? 2 AE ? 4 ? 2 ?

? 4?

x

2



(6 分)

4

2 x
2

于是 y ? AB ? BC ? CD ? AD ? 4 ? x ? 4 ?

? x ? ?

1 2

x

2

? 2x ? 8

(7 分)

2 x
2

由于 AD ? 0 , AE ? 0 , CD ? 0 ,所以 x ? 0 ,

? 0 ,4 ?

x

2

? 0,

4

2

解得 0 ? x ? 2 2 . 故所求的函数为 y ? ? (2)因为 y ? ?
1 2 x
2

(9 分)
1 2
? 2x ? 8 ? ? 1 2 ( x ? 2 ) ? 10 ,
2

x

2

? 2 x ? 8(0 ? x ? 2

2) .

(10 分) (12 分) (14 分)

又 0 ? x ? 2 2 ,所以,当 x ? 2 时,y 有最大值 10. 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)由 a ? 1 ? 0 ,得 a
x x

? 1.

(1 分) (2 分) (3 分)

当 a ? 1 时, x ? 0 ; 当 0 ? a ? 1 时, x ? 0 .

所以 f ( x ) 的定义域是当 a ? 1 时, x ? ( 0 , ?? ) ;当 0 ? a ? 1 时, x ? ( ?? , 0 ) . (4 分) (2)当 a ? 1 时,任取 x 1 、 x 2 ? ( 0 , ?? ) ,且 x 1 ? x 2 , 则a
x1

(5 分) (6 分)

? a

x2

,所以 a

x1

?1? a
x1

x2

?1.

因为 a ? 1 ,所以 log a ( a

? 1) ? log

a

(a

x2

? 1) ,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) .

(8 分) (9 分)

故当 a ? 1 时, f ( x ) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数.
7

当 0 ? a ? 1 时,任取 x 1 、 x 2 ? ( ?? , 0 ) ,且 x 1 ? x 2 , 则a
x1

(10 分) (11 分)

? a

x2

,所以 a

x1

?1 ? a
x1

x2

?1.

因为 0 ? a ? 1 ,所以 log a ( a

? 1) ? log

a

(a

x2

? 1) ,即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) .

(13 分) (14 分)

故当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 ( ?? , 0 ) 上也是增函数.

8



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