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2019年113导数的几何意义74843.ppt_图文

1.1.3导数的几何意义

1、平均变化率
一般的,函数 f ( x)在区间上

[ x1,x 2 ]的平均变化率为

f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2

2.导数的概念
一般地,函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化 率是

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x 我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数,
记为 f ?( x0 ) 或

y?

x ? xo

,即

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

由导数的定义可知,求函数 y ? f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: (1)求函数的增量: ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? (2)求平均变化率: ; ?x ?x ?f lim . (3)取极限,得导数: f ?( x0 ) ? ? x ?0 ?x

练习:设f ( x) ? x , 求f '( x), f '(?1), f '(2)
2

解:由导数的定义有 f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) ? x f ' ( x)= lim ? lim ?x?0 ?x?0 ?x ?x ?x(2 x ? ?x) ? lim ? 2x ?x?0 ?x
2 2

? f ' (?1)=f ' ( x) x??1 ? 2 ? (?1) ? ?2 f ' (2) ? f ' ( x) x?2 ? 2 ? 2 ? 4

下面来看导数的几何意义:
如图,曲线C是函数y=f(x)
的图象,P(x0,y0)是曲线C上的
y

任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)
为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角.
则 : MP ? ?x , MQ ? ?y, ?y ? tan ? . ?x ?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x
O P
β

y=f(x) Q

Δy M x

Δx

斜 率!

y

y=f(x)

请看当点Q沿着曲 线逐渐向点P接近 时,割线PQ绕着点 P逐渐转动的情况.
P

Q

割 线
T

切线

?
x

o

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0时,割线PQ 有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线. 初中平面几何中圆的切线的定义:直线和圆有唯一公共点时, 叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点 叫做切点。

割线趋近于确定的位置的直线定义为切线. 曲线与直线相切,并不一定只有一个公共点。
设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称 为曲线在点P处的切线的斜率.

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
'

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;② 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

要注意,曲线在某点处的切线:

1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极 限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在 此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.

1.在函数 h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的
2
/

图像上,(1)用图形来体现导数 h (1) ? ?3.3 ,

h (0.5) ? 1.6 的几何意义.
/
h

O

0 .5

1 .0

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 t 3 , t 4 附近呢?
h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在

t 3 , t 4 附近呢?

附近:瞬时 增(减): 变化率(正或负) 即:瞬时变化率(导数) =切线的斜率 增(减)快慢: 即:导数 的绝对值的大小 切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值的 (陡峭程度) 大小 画切线(数形结合,以直代曲) 以简单对象刻画复杂的对象

(2) 曲线在 t 0 时,切线平行于x轴,曲线在
h (t1 ), h (t 2 ) ? 0 曲线在 t1 , t 2 处切线 l1 , l 2 的斜率 小于 0 大于 l 3 , l 4 h / (t 3 ), h / (t 4 ) ? 0 t3 , t 4

t 0 附近比较平坦,几乎没有升降. / /

在 t1 , t 2 附近,曲线 下降 ,函数在 t1 , t 2
t3 ,

t4

附近单调 递减
递增

上升

t3 , t 4

如图,切线 l 2 的倾斜程度大于切线 l1 的 l4 倾斜程度, l 3
这说明曲线在 t 2 附近比在 t1附近 下降 t3 得迅速. 上升 t4

2.如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) (单位:mg/ml)随时间t(单位:min) 变化的函数图像,根据图像,估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)

血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示 曲线在该点处的切线的斜率. (数形结合,以直代曲)

以简单对象刻画复杂的对象

t

0.2

0.4

0.6

0.8

药物浓度的 瞬时变化率

0 .4

0

? 0 .7

? 1 .4

抽象概括: 导函数 f / ( x) 的概念:
f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) f ?x0 ? ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ( x) / f ? x ? ? lim ?x ?0 ?x
/

/ 是确定的数 f ( x0 ) f ( x) 是
/

x

的函数

求函数y=f(x)的导数可分如下三步:

例1 :已知 y?

(1)求函数的增量 ?y ? f ( x ? ?x ) ? f ( x ); ( 2)求函数的增量与自变量 的增量的比值: ? y f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ? ; ?x ?x ?y ( 3)求极限,得导函数 y? ? f ?( x ) ? lim . ?x ?0 ?x
?y x ? ?x ? x , ? ?x
x,求 y?.

解:?y ?

?y x ? ?x ? x 1 ? y? ? lim ? lim ? lim ? x ? 0 ?x ?x ? 0 ?x ? 0 ?x x ? ?x ? x 1 ? . 2 x

x ? ?x x ? , ?x ?x

小结:
1.函数 f ( x ) 在 x ? x0 处的导数 f / ?x0 ? 的几何意义,就是函数 f ( x) 的图像在点
A?x0 , f ( x0 )? 处的切线AD的斜率(数形结合) f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) / f ( x0 ) ? lim =切线 AD的斜率 ?x ?0 ?x

2.利用导数的几何意义解释实际生活问题, 体会“数形结合”,“以直代曲”的数学 思想方法。

以简单对象刻画复杂的对象
/ f 3.导函数(简称导数) ( x) ? lim ?x ? 0

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) ?x

1 3 8 y ? x 上一点 P ( 2, ) 练习:如图已知曲线 3 3 ,求 : (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.
1 1 3 3 ( x ? ?x ) ? x 1 3 ?y 3 解: (1) y ? x ,? y? ? lim ? lim 3 ?x ? 0 ? x ?x ? 0 3 ?x y 1 y ? x 3 4 1 3 x 2 ?x ? 3 x ( ?x ) 2 ? ( ?x ) 3 ? lim 3 3 ?x ? 0 ?x 2 1 2 2 2 ? lim[3 x ? 3 x?x ? ( ?x ) ] ? x . 1 3 ?x ? 0

3

P
x

? y? | x?2 ? 22 ? 4.
即点P处的切线的斜率等于4.

-2 -1

O -1 -2

1

2

(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.

先来复习导数的概念
定义:设函数y=f(x)在点x0处及其附近有定义,当 自变量x在点x0处有改变量Δ x时函数有相应的改变量 Δ y=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx?0 时,Δy/Δx的极限存在, 这个极限就叫做函数f(x)在点x0处的导数(或变化率)记 f ?( x0 )或y? 即 |x? x: , 作 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
0

例2:求函数y ? x在x ? 1处的导数。
解:?y ? 1 ? ?x ? 1 ?y 1 ? ?x ? 1 1 ? ? ?x ?x 1 ? ?x ? 1
?x?0

lim

1 1 ? 1 ? ?x ? 1 2

1 ? y ' x?1 ? 2

请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着 点P逐渐转动的情况 . y
y=f(x) Q

割 线 T 切线

P

?
x

o

例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
y
Q

y = x +1
?y

2

P
?x

M

1

求曲线在某点处的切线方程 的基本步骤:先利用切线斜率 的定义求出切线的斜率,然后 利用点斜式求切线方程.

j

x

-1 O

1

归纳:求切线方程的步骤
(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。 (2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的 基本思想,丢掉极限思想就无法理解 导 数概念。

作业:

1 1.求函数y ? 在x ? 1处的导数。 x
2.

例:求函数y=x+1/x在x=2处的导数.

1 1 ? ?x 解:?y ? (2 ? ?x) ? ? (2 ? ) ? ?x ? , 2 ? ?x 2 2(2 ? ?x)
? ?x ?x ? ?y 1 2( 2 ? ?x ) ? ? 1? , ?x ?x 2( 2 ? ?x )

?y 1 1 3 3 ? lim ? lim[1 ? ] ? 1 ? ? ,? y? | x ? 2 ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 2(2 ? ?x ) 4 4 4

1.1 .3 导数的几何意义
1.曲线的切线 如图,曲线C是函数y=f(x) y 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的 倾斜角. 则 : MP ? ?x , MQ ? ?y, O ?y ? tan ? . ?x ?y 表明: 就是割线的斜率 . ?x
y=f(x) Q

Δy P
β

Δx

M x

我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δ x→0 时,割线PQ有一个极限位置PT.则我们把直线PT称为曲 线在点P处的切线. 设切线的倾斜角为α ,那么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率. 即: k 切线

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? tan ? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一 种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限. 要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限, 则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点 处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.



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