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新课标高中数学(理)第一轮总复习第3章 第19讲 等比数列_图文

256 1.等比数列{an}中,a3=4,a5=16,则a9=______. a5 6 解析:因为q ? ? 4,所以a9 ? a3 ? q a3 2 ? 4 ? 43 ? 256. 2.等比数列{an}中,a3-a1=8,a6-a4=216,Sn=40, 4 则n=_____. 2 ? a ? ? q ? 1? ? 8 ?a1 ? 1 ? 1 解析:由 ? 3 ,得 ? . 2 ? ?q ? 3 ?a1q ? ? q ? 1? ? 216 a1 ?1 ? q n ? 3n ? 1 又Sn ? ? ? 40,所以n ? 4. 1? q 2 3.在等比数列{an}中,若公比q=4,且前3项之 n-1 4 和等于21,则该数列的通项公式a =______. n 解析:由题意知a1+4a1+16a1=21,解得a1=1, 所以通项an=4n-1. 4.设等比数列?an ?的前n项和为Sn, 若S3 ? S6 ? 2S9,则该数列的公比 4 q? ? 2 3 解析:若q ? 1,则有S3 ? 3a1,S6 ? 6a1,S9 ? 9a1 . 因为a1 ? 0,得S3 ? S6 ? 2S9,故q ? 1; a1 ?1 ? q3 ? a1 ?1 ? q6 ? 2a1 ?1 ? q 9 ? 由S3 ? S6 ? 2S9,得 ? ? , 1? q 1? q 1? q 整理得q 3 ? 2q 6 ? q 3 ? 1? ? 0. 由q ? 0,得2q ? q ? 1 ? 0,即? q ? 1?? 2q ? 1? ? 0. 6 3 3 3 3 1 4 3 3 因为q ? 1,故q ? ? ,所以q ? ? 2 2 5.以下命题: ①公差为0的等差数列是等比数列; ②公比为的等比数列一定是递减数列; ③a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac; ④a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c; ⑤若数列 {an} 是等比数列,则数列 {an+an+1} 也是等 比数列; ⑥若数列{an} 是等比数列,则数列 {an+an+1+an+2}也 是等比数列. ④⑥ 其中正确的命题序号是______. 解析:命题①中未考虑各项都为0的等差数列不是 等比数列,所以错误; 1 命题②可知an ?1 ? an,但an ?1 ? an未必成立, 2 1 例如当首项a1 ? 0时,an ? 0,则 an ? an,即an ?1 ? 2 an,此时该数列为递增数列,所以该命题错误; 命题③中,若a ? b ? 0,c ? R,此时有b ? ac, 2 但数列a,b,c不是等比数列,所以应是必要而不 充分条件,所以错误;命题⑤,当等比数列?an ?的 公比为 ? 1时,an ? an ?1 ? 0,此时数列?an ? an ?1? 不 是等比数列,所以命题错误;命题④⑥正确. 等比数列的基 本量运算 【例1】 已知等比数列 {an} ,若 a1 + a2 + a3 = 7 , a1·a2·a3=8,求an. 2 【解析】方法1:因为a1 ? a3=a2 , 3 所以a1 · a2 · a3=a2 =8,所以a2=2, ?a1 ? a3 ? 5 ?a1 ? 1 ?a1 ? 4 所以由 ? ,得? 或? , ?a3 ? 4 ?a3 ? 1 ?a1 ? a3 ? 4 1 所以a1=1,q=2或a1=4,q= , 2 所以an=2n-1或an=23-n . 方法2:因为a2=a1q,a3=a1q , 2 ? ?a1 ? a2 ? a3 ? a1 ?1 ? q ? q ? ? 7 所以 ? , 3 3 ? ?a1 ? a2 ? a3 ? a1 q ? 8 ?a1 ? 4 ?a1 ? 1 ? 解得 ? 或? 1, ?q ? 2 ?q ? ? 2 2 所以an=2n-1或an=23-n . 研究等差数列或等比数列, 通常向首项 a1 ,公差 d( 或公比 q) 转化.在 a1 , an , d( 或 q) , Sn , n 五个基本量中,能“知三求 二”. 【变式练习1】 等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S4 =1,S8=3.求: (1)等比数列{an}的公比q; (2)a17+a18+a19+a20的值. 4 ? a1 ?1 ? q ? ? S4 ? 1 ? q ? 1 ? 【解析】 , ?1?由 ? 8 ? S ? a1 ?1 ? q ? ? 3 8 ? 1? q ? 两式相除得1+q =3,即q= ? 2. 4 4 ? 2 ? a17+a18+a19+a20 a1 ?1 ? q ? 16 4 1? q =a1q · = · q =2 =16. 1? q 1? q 4 4 16 等比数列的判定 与证明 【例2】 设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,数列 {bn} 中, b1=a1,bn=an-an-1(n≥2).若an+Sn=n, (1) 设 cn = an - 1 ,求证:数列 {cn} 是等比 数列; (2)求数列{bn}的通项公式. 【解析】 ?1? 证明:由an+Sn=n,得an-1+Sn-1 =n-1(n ? 2),两式相减得2an-an-1=1(n ? 2), 即2(an-1)=an-1-1(n ? 2), 1 所以cn= cn-1 (n ? 2). 2 1 又由a1+S1=1,解得a1= , 2 1 所以c1=a1-1=- ? 0, 2 所以数列?cn ? 是等比数列. 1 1 n-1 1 n ? 2 ?由?1? 知cn=(- ) ? ( ) =-( ) , 2 2 2 1 n 所以an=cn+1=1-( ) , 2 1 n 所以bn=an-an-1=( ) (n ? 2). 2 1 1 n 又b1=a1= 适合上式,所以bn=( ) . 2 2 判断一个数列是等比数列的方 法有定义法、等比中项法,或者从 通项公式、求和


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