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高中数学必修五同步练习及答案05:解三角形(2)


高中数学必修五同步练习:解三角形(2)
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________

一、填空题(题型注释) 1 .若满足 ?ABC ? 是 . ,则 3ac

?
3

, AC ? 3 , BC ? m 的 △ ABC 恰有一解,则实数 m 的取值范围

2 . 在△ ABC 中 ,角 A 、 B 、 C 的 对 边分 别为 a , b, c , 若 (a2 ? c2 ? b2) tan B ? B=___________. 3.若 ?ABC 的内角满足 sin A ? 2 sin B ? 2sin C ,则 cos C 的最小值是 .

4 . 已 知 a, b, c 分 别 为 ?A B C三 个 内 角 A, B, C 的 对 边 , a ? 2 , 且

?2 ? b?(

s i An ?s i B n) ? (c ? b) s i C n ,则 ?ABC 面积的最大值为____________.

5.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当 A ?

?
6

时, ?ABC 的面积为________.

6.在△ABC 中,设角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 a=(cosC,2a-c),b=(b,-cosB) 且 a⊥b,则 B=________. 7.在 ?ABC 中, ?C ? 90 , CA ? 3 , CB ? 4 ,若点 M 满足 AM ? ? MB ,且 CM ? CA ? 18 , 则 cos ?MCA = .

8.△ABC 中,若 sin A ?

3 5 , cos B ? , 则 cos C ? 5 13

.

9.在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c 且 c=3,a=2,a=2bsin A,则△ABC 的面积为________. 10 . 如 右 图 , 在 圆 的 内 接 四 边 形 ABCD 中, ?ABC ? 90 , ?ABD ? 30 , ?BDC ? 45 , AD ? 1, 则 BC=______.
0

0

0

D A

C

B

1

二、解答题 11 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 ?ABC 的 三 边 a, b, c 成 等 比 数 列 , 且 a ? c ?

21 ,

1 1 5 ? ? . tan A tan C 4 (1)求 cos B ;(2)求 ?ABC 的面积.
12. (本小题满分 12 分)已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角,他们的对边分别为 a、b、c, 且 cos B cos C ? sin B sin C ? (1)求 A; (2)若 a ? 2 3, b ? c ? 4, 求 bc 的值,并求 ?ABC 的面积 参考答案 1. (0,3] ?{2 3} . 【解析】 试 题 分

1 . 2







AB ? x



















x 2 ? m 2 ? 2 xm ? cos

?
3

? 9 ? x 2 ? mx ? m 2 ? 9 ? 0 ,

∴满足条件的 ?ABC 恰有一解,等价方程 x 2 ? mx ? m2 ? 9 ? 0 仅有一正根,若 ? ? 0 :则

m2 ? 4(m2 ? 9) ? 0 ? m ? 2 3 ? x1 ? x2 ? 3 符合题意;若 ? ? 0 ? 0 ? m ? 2 3 :则
2 2 2 方程 x ? mx ? m ? 9 ? 0 必有一正根一非正根,∴ x1 x2 ? m ? 9 ? 0 ? 0 ? m ? 3 ;

综上所述,满足条件的实数 m 的取值范围是 (0,3] ?{2 3} . 考点:解三角形与一元二次方程相结合. 2. B ?

?
3




2? . 3
分 析 : ∵

【解析】 试

(a2 ? c2 ? b2 ) tan B ? 3ac





2 a2 ? ? c2 ? t B ?a b3 ?n 2a c 2 ? 2? ∴B ? 或 . 3 3

? s B ?i

n 3 o ?B s, B c ? c B o s

3 2

s

i

2

n

考点:1.余弦定理的推论;2.同角三角函数基本关系. 3.

6? 2 4

A? 【 解 析 】 由 已 知 sin

2 sB i ?n
2

2 C s i正 n 弦 定 理 可 得 a ? 2b ? 2c , 及

a 2 ? b2 ? c2 cos C ? ? 2ab

a 2 ? b2 ? (

a ? 2b 2 ) 2 2ab

?

3a 2 ? 2b2 ? 2 2ab 2 6ab ? 2 2ab 6? 2 a 2 2 2 ,当且仅当 3a ? 2b 即 ? 时 ? ? 8ab 8ab 4 b 3

等号成立. 【考点】正弦定理与余弦定理.

4. 3 【解析】 试 题 分 析 : 由

a?2

, 且

?2 ? b?(

sAi ? s n iB)n ? (c ? b) s i C n, 故

( ? a

,化简得, b ) ? ( s i ? n A ? ,又根据正弦定理,得 s i n B ) ( (a c ? b)( ba ? ) b)s? (c i ?n b)c C

b2 ? c2 ? a 2 ? bc ,故 cosA ?
故 S?BAC ?

b2 ? c2 ? a 2 1 ? ,所以 A ? 600 ,又 b2 ? c2 ? bc ? 4 ? bc , 2 bc 2

1 bcsinA ? 3 . 2

【考点定位】1、正弦定理和余弦定理;2、三角形的面积公式. 5. 【

1 6
解 析 】 由

AB ? AC ? tan A





t a n t A a 6 n ,s |A ? B| |A ? C| c ? A o ?A c A co ? os s 6 1 1 2 ? 2 1 所以, S?ABC ? | AB | ? | AC | sin A ? ? ? sin ? ? . 2 2 3 6 3 6
考点:平面向量的数量积、模,三角形的面积. 6.

?

A t ?

2 a B 3

n? A

,

? 3

【解析】由 a⊥b, 得 a·b=bcosC-(2a-c)cosB=0. 利用正弦定理,可得 sinBcosC-(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC+cosBsinC-2sinAcosB=0, 即 sin(B+C)=sinA=2sinAcosB. 因为 sinA≠0,故 cosB=

1 ? ,因此 B= . 2 3

3

7.

3 13 13

【解析】 试 题 分








2





M





线

AB





CM ? CA ? (CA ? AM ) ? CA ? CA ? AM ? CA ? 9 A? M

?C, 1 A8 ?
3 ,得 5

则 AM ? CA ? 9 ,即 AM ? AC ? ?9 ,所以点 M 在 BA 延长线上,由 cos ?CAB ?

3 cos ?CAM ? ? ,因此 AM ? 5 ,在 ?AMC 中由余弦定理得 CM ? 2 13 ,再由余弦定 5
理得 cos ?ACM ?

3 13 . 13

考点:共线向量定理,向量的数量积,余弦定理. 8.

16 65

【解析】 试题分析: 三角形中,cos C ? cos(? ? A ? B) ? ? cos( A ? B) ? ? cos A cos B ? sin A sin B , 由 cos B ?

5 12 12 3 , 0 ? B ? ? , 得 sin B ? , 又 sin B ? ? ? sin A , 所 以 有 正 弦 定 理 得 13 13 13 5 3 4 得 cos A ? , 因 此 b ? a, 即 B ? A, 即 A 为 锐 角 , 由 sin A ? 5 5 4 5 3 1 2 1 6 c oC s ? ? ? ? ? ?. 5 1 3 5 1 3 6 5 3 2 1 , 2

考点:正余弦定理 9.

【解析】由题意知,bsin A=1,又由正弦定理得:bsin A=2sin B,故解得 sin B= 所以△ABC 的面积为 10. 2

1 3 acsin B= . 2 2

【解析】 试 题 分 析 : 由 题 得 , 因 为 四 边 形 ABCD 是 圆 的 内 接 四 边 形 , 所 以

?DCB ? BAD ? 1800 , ?CBA ? ?ADC ? 1800









?ABC ? 900



?ABD ? 300 , ?BDC ? 450 , 所以 ?DAB ? 1050 , ?DCB ? 750 ,则由 ?ABD 与 ?DCB 的
正 弦 定 理 得

AD BD ? sin ?DBA sin ?BAD
4



BD BC ? sin ?DCB sin ?CDB





AD BD BD BC ? ? = ? BC ? 2 ,故填 2 0 0 0 sin 30 sin105 sin 75 sin 45
考点:正弦定理 11. (Ⅰ) 【解析】 【试题分析】 (Ⅰ)由

3 5

(2)2

1 1 cos A cos C sin( A ? C ) 5 ? ? ? ? ? , tan A tan C sin A sin C sin A sin C 4
2

又∵ a, b, c 成等比数列,得 b ? ac ,
2 由正弦定理有 sin B ? sin A sin C ,

sin B 5 4 ? ,即 sin B ? . 2 sin B 4 5 3 2 2 由 b ? ac 知, b 不是最大边,∴ cos B ? 1 ? sin B ? . 5
∵在 ?ABC 中有 sin( A ? C ) ? sin B ,∴得 (2)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B 得,
2 2 2

ac ? a 2 ? c 2 ? 2ac ?
∵a?c ? ∴ S ?ABC ?

3 16 ? (a ? c) 2 ? ac , 5 5

21 ∴ ac ? 5 ,

1 ac sin B ? 2 . 2

考点:正、余弦定理、解三角形 12. (1)

2? ; ( 2) 3 ; 3

【解析】 试题分析:1.解三角形时要熟练掌握正、余弦定理及其变形,具体应用中有时可用正弦定 理,有时也可用余弦定理,解题中应注意用哪一个定理更方便、简捷.2.已知两角和一边, 该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常 根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.3.注意三角形中的隐含条件 A+B+ C=π 的应用. (1)注意两个和的余弦公式的展开式; (2)余弦定理的应用,公式不要记混. 试题解析: (1)

cos B cos C ? sin B sin C ? cos( B ? C ) ?

1 2

2分

?B ?C ?

?
3

? A ? ? ??B ? C? ?

2? 3

6分

2 2 (2)由余弦定理可得: b ? c ? bc ? 12

b ? c ? 4,?b2 ? c2 ? 2bc ? 16

? bc ? 4

9分

5

由S ?

1 1 3 bc sin A 得 S ? ? 4 ? ? 3 2 2 2

12 分

考点:解三角形、正、余弦定理的应用.

6


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