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2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷(新课改II)(理科)

2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷(新课改 II)(理科)第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
一.选择题:本大题共 10 小题。每小题 5 分,共 50 分。在每个小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 2 (1)已知集合 M = {x | (x ?1) < 4, x∈R},N ={?1, 0, 1, 2, 3} ,则 M ∩ N =
(A){0, 1, 2} (B){?1, 0, 1, 2} (C){?1, 0, 2, 3} (D){0, 1, 2, 3} 2 答案:A【解】将 N 中的元素代入不等式:(x ?1) < 4 进行检验即可. (2)设复数 z 满足(1?i )z = 2 i ,则 z = (A)?1+ i (B)?1? i (C)1+ i (D)1? i 答案:A【解法一】将原式化为 z = 2i ,再分母实数化即可. 1? i

Sn = (Sn ? Sn?1) + (Sn?1? Sn?2) + ? + (S1? S0) + S0 = Tn + Tn?1 + ? + T0 = 1+

1 1 1 + + ? + 2! 3! n!

满足 kn > N 的最小值为 k10 = 11,此时输出的 S 为 S10 (7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O?xyz 中的坐标分别是(1, 0, 1),(1, 1, 0) ,(0, 1, 1) ,(0, 0, 0), 画该四面体三视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到正视图可以为

(A) 答案:A 【解】 1 9

(B)

(C)

(D)

【解法二】将各选项一一检验即可. (3)等比数列{an}的的前 n 项和为 Sn,已知 S3 = a2 +10a1 ,a5 = 9,则 a1 = 1 (A) 3 (B)? 1 3 1 (C) 9 a5 1 = q4 9 (D)?

答案:C【解】由 S3 = a2 +10a1 ? a3 = 9a1 ? q2 = 9 ? a1 =

(4)已知 m, n 为异面直线,m⊥平面?,n⊥平面??. 直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l? / ?,l? / ????则: (A)?∥?且 l∥? (B)?⊥?且 l⊥? (C)?与??相交,且交线垂直于 l (D)?与??相交,且交线平行于 l 答案:D【解】显然?与??相交,不然?∥? 时? m∥n 与 m, n 为异面矛盾.???与??相交时,易知交线 平行于 l. (5)已知(1+ax)(1+x)5 的展开式中 x2 的系数为 5,则 a = 开始 (A)??4 (B)??3 输入 N (C)??2 (D)??1 答案:D k =1, S = 0,T =1 【解】x 的系数为 5 ?C5 + aC5 = 5 ? a = ??1 (6)执行右面的程序框图,如果输入的 N =10,那么输出的 S = 1 1 1 1 1 1 (A)1+ + + ? + (B)1+ + + ? + 2 3 10 2! 3! 10! 1 1 1 1 1 1 (C)1+ + + ? + (D)1+ + + ? + 2 3 11 2! 3! 11! 答案:B 【解】变量 T, S, k 的赋值关系分别是: Tn +1 = Tn , Sn +1 = Sn + Tn +1, kn kn +1 = kn + 1.( k0 =1, T0 = 1, S0 = 0)

2

(8)设 a = log 36,b = log 510,c = log 714,则 (A)c > b > a (B)b > c > a (C)a > c > b 答案:D【解】a = 1 + log 32,b = 1 + log 52,c = 1 + log 72 log 23 < log 25 < log 27 ? log 32 > log 52 > log 72 ? a > b > c (D)a > b > c

2

1

T T= k S = S+T k= k +1 k >N
是 输出 S 结束 否

? ?x ≥1 (9)已知 a > 0,x, y 满足约束条件?x + y ≤3 , 若 z =2x + y 的最小值为 1,则 a = ? y≥ a(x ??3) ?
1 (A) 4 1 (B) 2 (D)?

y 1 o

A(1, 2) B(3, 0) x l C

(C)1 答案:B 【解】如图所示,当 z =1 时,直线 2x + y = 1 与 x = 1 的交点 C (1, ?1) 即为最优解,此时 a = kBC = 1 2

(10)已知函数 f (x ) = x 3 + ax 2 + bx + c,下列结论中错误的是 (A)?x0∈R, f (x0)= 0 (B)函数 y = f (x )的图像是中心对称图形 (C)若 x0 是 f (x )的极小值点,则 f (x )在区间(-∞, x0)单调递减 (D)若 x0 是 f (x )的极值点,则 f '(x0 ) = 0

Tn Tn ? 1 ? kn = n + 1, Tn = T ×T × n ?1 n ?2

T1 1 1 1 1 ×T = × ×?× = , T0 0 kn ?1 kn ?2 k0 n!

答案:C 【解】f (x ) 的值域为(?∞, +∞), 所以(A)正确; f (x ) = [x 3 + 3x 2? a a 2 a 3 a 2 a 3 + 3x?( ) + ( ) ]+ bx ? 3x?( ) + c??( ) 3 3 3 3 3

f (m ) = m +

1 2 ( m 2



m



2 且 m ≠ 1)的值域为(2, 2 <b 2


3 2 1 ] ? 2< 2 t



3 2 ? 2

2 3



t<

1 2

因为 b =1? CD =1?

2 t ,所以 1???

1 3

a a2 a ab 2a3 = (x?+ )3 + (b ? )(x + ? ) + c?? ?? 3 3 3 3 27 因为 g (x ) = x 3 + (b ? a )x 是奇函数,图像关于原点对称, 3
3 2

情形 2:直线 y = ax +b 与 AB、BC 相交时,如图所示, 易求得 xM = ? b a+ b b a+b ,y = ,由条件知(1+ ) =1 a N a+1 a a+1 M 在线段 OA 上?0< b <1 a

y C N

a ab 2a 所以 f (x ) 的图像关于点(?? , c?? ?? )对称. 3 3 27 所以(B)正确; 显然(C)不正确; (D)正确.

?

b =a 1?2b

2

?0 <
A M

a<b

o

x B

y
(11)设抛物线 C:y2 =2px ( p > 0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,| MF |=5,若以 MF 为直径的圆过点(0, 2),则 C 的方程为 (A)y2 = 4x 或 y2 = 8x (B)y2 = 2x 或 y2 = 8x (C)y2 = 4x 或 y2 = 16x (D)y2 = 2x 或 y2 = 16x 答案:C p p 【解】设 M(x0, y0),由| MF |=5 ? x0 + = 5 ? x0 = 5 ? 2 2 圆心 N(

M N x

N 在线段 BC 上?0<

a+b <1 ?b < 1 a+1 综上:1??? 2 1 <b< 2 2

K o F

b2 1 1 解不等式:0 < <b得 <b< 3 2 1?2b 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

(13) 已知正方形 ABCD 的边长为 2, E 为 CD 的中点, 则 AE ?BD = 答案:2 【解】建立如图所示的坐标系,则 AE = (1, 2), BD = (?2, 2),则 AE ?BD = 2

→ →

y
.

D

E

C

x0
2

+

x0 p 1 p y0 , )到 y 轴的距离| NK | = + = | MF |,则 4 2 2 4 2





圆 N 与 y 轴相切,切点即为 K(0, 2),且 NK 与 y 轴垂直? y0 = 4 p ?2p(5 ? 2 ) = 16 ? p = 2 或 8 . (12)已知点 A(?1, 0),B(1, 0),C(0, 1),直线 y = ax +b (a > 0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是: (A)(0, 1) (B)(1??? 2 1 , ) 2 2 (C)(1??? 2 1 , ] 2 3 (D) [ 1 1 , ) 3 2

→ →

A

x B

(14)从 n 个正整数 1, 2, ?, n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于 5 的概率为 = .答案:7 【解】事件 A:取出的两数之和等于 5, ① n = 3 时, n(A) =1 由 P(A) = ② n > 3 时, n(A) = 2 由 P(A) = 1 2 ?n(?) = 14 ? Cn = 14 ?n(n ??1) =28(无解) 14 1 2 ?n(?) = 28 ? Cn = 28 ?n(n ??1) = 56 ?n = 8 14

1 ,则 n 14

答案:B 【解】情形 1:直线 y = ax +b 与 AC、BC 相交时,如图所示,设 MC = m, NC = n, 由条件知 S△MNC = 显然 0 < n ≤ 所以 2 2


1 ? mn = 1 2


1 2 ? m= n


2 又知 0 < m ≤ 2 , m ≠ n 2

y C

(15)设??为第二象限角,若 tan(? +

?
4

)=

m t t n
M A D

1 2

,则 sin? + cos??=

.

m

2 且 m≠1 t t DN DM + = + =1 m n MN MN

N x B

答案:?

10 5

D 到 AC、BC 的距离为 t, 则 mn 1 1 ? t = m+n ? t = m + m

o

【解法一】 由??为第二象限角及 tan(? + ?1),易得 sin(? +

?
4

)=

1 ? ? > 0?? + 为第三象限角, 在? + 的终边上取一点 P(?2, 2 4 4 2 sin(? +

?
4

)=?

5 ? sin? + cos??= 5

?
4

)=?

10 5 .

(16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn ,已知 S10 = 0,S15 = 25,则 nSn 的最小值为 答案:? 49

2 【解法一】由 S10 = 0,S15 = 25 ? a1 = ?3,公差 d = , 3 1 ? Sn = 3 n(n ? 10)
?

AC = CB ? AB⊥CD ? ? ? CD⊥平面 ABB1A1 ? CD⊥DE AA1⊥底面ABC ?AA1⊥CD ?

?ED⊥平面 A1CD
作 DG⊥A1C 交 A1C 于 G, 则 EG⊥A1C,所以∠DGE 为所求二面角的平面角. CD⊥平面 ABB1A1 ? CD⊥A1D ?A1C?DG = CD?A1D 设 AA1 = 2a ?A1C = 2 2 a,CD = CD?A1D 6 ?DG = = a,DE = A1C 2 DE 6 ?sin∠DGE = EG = 3 (Ⅱ) 解法二: 由 AC = CB = 2 AB ?AC2 + CB2 = AB2 ?AC⊥BC, 2
E x A D y B C

将 Sn 是关于 n 的函数,其图像关于 n = 5 对称,n < 10 时,Sn < 0,n > 10 时,Sn > 0, 所以 nSn 的最小值应在 n = 5, 6, 7, 8, 9 中产生,代入计算得 n = 7 时 nSn 最小,最小值为??49. 【解法二】同解法一得:Sn = 1 设 f (n ) = nSn = (n3? 10n) 3
?

1 n(n ? 10) 3
?

2 a,A1D =

6 a,
A1 B1

3 2 3 a ?EG = a 2

z C1

f '(n ) = n(n ??

??

20 20 ),靠近极小值点 n = 的整数为 6 和 7,代入 f (n )计算得 n = 7 时 f (n )最小,最小值为 3 3

??49. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,已知 a = bcosC + csinB. (Ⅰ)求 B; (Ⅱ)若 b =2,求△ABC 面积的最大值. 【解】 (Ⅰ)由 a = bcosC + csinB ? sin A = sinBcosC + sinCsinB ? sin (B+C) = sinBcosC + sinCsinB

建立如图所示的坐标系,设 AA1 = 2,则 CA1 = (2, 0, 2),CD = (1, 1, 0),CE = (0, 2, 1),







? ?m?CA1 = 0 ?x1 + z1 = 0 设 m = (x1, y1, z1)是平面 A1DC 的法向量,则? ? ? → ?x1 + y1 = 0 ?m?CD ? =0
可取 m = (?1, 1, 1)



? cosBsinC = sinCsinB ? ? ? cosB = sinB sinC≠0 ? ? tanB = 1 ? ? ? ? B= 4 0<B<? ?
(Ⅱ)由余弦定理得:a2 +c2 ?? 2 ac = 4 ? 4+ 2 ac = a2 +c2 △ABC 面积 S = 2 ac ≤ 1 + 4 2 . 2 .


2ac ? ac ≤ =

4 = 2(2 + 2? 2

→ ?m?CA ? ?x2 + z2 = 0 1= 0 同理设 n = (x2, y2, z2)是平面 A1EC 的法向量,则? ? ? → ?2y2 + z2 = 0 ? ?m?CE = 0
2 ) 可取 n = (2, 1, ?2), cos< m, n> =

m?n 3 6 6 = ? sin< m, n> = 所以二面角 D?A1C?E 的正弦值为 3 3 3 |m|?|n|

所以△ABC 面积的最大值为 1 + 2 = AC = CB = AB. 2 (Ⅰ)证明:BC1 //平面 A1CD

(19)(本小题满分 12 分)

(18)如图,直棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1

A1 B1 F EG A D B

C1

经销商经销某种农产品,在一个销售季度内, 每售出 1t 该产品获利润 500 元,未售出的产品, 每 1t 亏损 300 元。根据历史资料,得到销售季度 内市场需求量的频率分布直方图, 如右图所示.经销 商为下一个销售季度购进了 130t 该农产品。以 X

频率/组距
0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 X 100 110 120 130 140 150

(Ⅱ)求二面角 D?A1C?E 的正弦值 【解】 (Ⅰ)设 AC1 ∩ A1C = F ? F是AC1的中点 ? ? ? BC1 //DF,DF?平面 A1CD,BC1? / 平面 A1CD D是AB的中点 ?

C

(单位:t,100 ≤ X ≤ 150)表示下一个销售季度内 的市场需求量, T(单位: 元)表示下一个销售季度内 经销该农产品的利润. (Ⅰ)将 T 表示为 X 的函数;

? BC1 //平面 A1CD.
2 (Ⅱ)解法一:由 AA1 = AC = CB = AB ? AA1∶BD = AD∶BE 2

(Ⅱ)根据直方图估计利润 T 不少于 57000 元的概率;
o

?Rt△A1AD∽Rt△BDE ? ∠A1DA = ∠BED ?∠A1DA +∠BDE = 90 ?ED⊥A1D

(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个需求量,需求量落入该区间的频 率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若 X∈[100,110),则取 X = 105,且 X = 105 的概率等于需 求量落入[100,110)的概率,求 T 的数学期望. 【解】 (Ⅰ)当 X ∈[100,130)时,T = 500X ??300(130 ??X ) = 800X ??39000 当 X ∈[130,150]时,T = 500×130 = 65000 ?800X ??39000,X ∈[100,130) 所以 T = ? ?65000,X ∈[130,150] (Ⅱ)与由(Ⅰ)知 T 由直方图知:120 ≤ X


+ y ?? 3 = 0 ? ?x 2 4 3 3 y2 (Ⅱ)联立方程组?x ,解得 A( ,? )、B(0, 3 3 + — =1 ?— 6 ? 3 依题意可设直线 CD 的方程为:y = x + m 5 3 CD 与线段 AB 相交? ?? <m< 3 3

3 ),求得| AB | =

4 6 3

57000 ? 120 ≤ X

≤150

x+m ? ?y = 2 y2 联立方程组?x 消去 x 得:3x 2 + 4mx +2m2 ? 6 = 0 ?? (*) — + — = 1 ?6 ? 3
设 C (x 3, y 3),D (x 4, y 4),则| CD |2 = 2(x 3 ? x 4)2 = 2[(x 3 + x 4)2 ??4x 3x 4]= 四边形 ACBD 的面积 S = 1 8 6 | AB |? | CD | = 2 9 9?m2 16 ? m2) 9 (9

≤150

的概率为 10(0.030+0.025+0.015) = 0.7

所以利润 T 不少于 57000 元的概率为 0.7 (Ⅲ)T 可能的取值有 T1 = 800×105 ??39000 = 45000, T2 = 800×115 ??39000 = 53000, T3 = 800×125 ??39000 = 61000, T4 = 65000 T 的分布列如下:

8 6 当 n = 0 时,S 最大,最大值为 3 . 8 6 所以四边形 ACBD 的面积最大值为 3 .

T P

45000 0.1

53000 0.2

61000 0.3

65000 0.4

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f (x ) = e x ??ln(x + m) (Ι )设 x = 0 是 f (x )的极值点,求 m,并讨论 f (x )的单调性; (Ⅱ)当 m ≤2 时,证明 f (x ) > 0 . 【解】 (Ⅰ)f '(x ) = e x? 1 x+m

所以 ET = 45000×0.1 + 53000×0.2 + 61000×0.3 + 65000×0.4 = 59400 所以 T 的数学期望为 59400 (20)(本小题满分 12 分) 平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: — + — =1(a > b > 0)的右焦点的直线 x + y ?? 3 = 0 交 M 于 a2 b2 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 1 . 2

x2 y2

x = 0 是 f (x )的极值点 ? f '(0) = 0 ? m = 1.
此时,f '(x ) = e x ?

(Ι )求 M 的方程 (Ⅱ)C,D 为 M 上的两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 的面积最大值. 【解】 (Ⅰ)设 A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2),P (x 0, y 0) 2 2 2 2 ?b x 1 + a y 1 = a2b2 y1 ? y2 b2(x 1 + x 2) b2x 0 ? ?? 2 2 =? 2 ? kAB = ??? 2 2 2 2 2 ? x1 ? x2 a (y 1 + y 2) a y0 ?b x 2 + a y 2 = a b ?

x + 1 在(?1, +∞)上是增函数,又知 f '(0) = 0, 所以 x ∈(?1, 0)时, f '(x ) < 0;x ∈(0, +∞)时, f '(x ) > 0. 所以 f (x )在(?1, 0)上是减函数,在(0, +∞) 上是增函数. (Ⅱ)如图所示,当 m ≤2 时,x + 1≥x + m ? 1 只需证明e x ≥x + 1,且 ln(x + m) ≤x + m ? 1
再指出“=”不能成立即可. 设 g (x ) = e x ??(x +1),g '(x ) = e x ??1 x1 = 0 是 g (x )的极小值点,也是最小值点,即 g (x ) ≥ g (0) = 0 ?e x ≥x + 1 设 h (x ) = ln(x + m)???(x + m ? 1)

1

y

y=ex y=x+1 y=x+m-1 y=ln(x+m) x

x0 1 OP 的斜率为 ? 2 y 0 = 2,直线 x + y ?? 3 = 0 的斜率为?1 ? kAB =?1
2b2 ??1= ?? a2 ? a2 = 2b2 ??① 由题意知直线 x + y ?? 3 = 0 与 x 轴的交点 F( 3 ,0)是椭圆的右焦点,则才 c = ?a2 ??b2 = 3 ??② 联立解得①、②解得 a2 = 6,b2 = 3 所以 M 的方程为:— + — = 1 6 3 3

h '(x ) =

1 x + m ??1

o

x

2

y

2

x2 = 1??m 是 h (x )的极大值点,也是最大值点,即 g (x ) ≤ h (1??m) = 0 ? ln(x + m) ≤x + m ? 1
?e x ≥ln(x + m) ?f (x ) ≥ 0, “=”成立的条件是:x1 = x2 且 x + 1 = x + m ? 1

即 m =1 且 m =2(矛盾) 所以 f (x ) > 0 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E、F 分别为弦 AB 与弦 AC 上的点, 且 BC?AE = DC?AF,B、E、F、C 四点共圆. (Ι )证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (Ⅱ)若 DB =BE = EA,求过 B、E、F、C 四点的圆 的面积与△ABC 外接圆面积的比值。 【解】 (Ⅰ)CD 为△ABC 外接圆的切线 ?∠BCD = ∠A,

? 1≥3(ab + bc + ac) 1 ?ab + bc + ac ≤ 3 .
C F D B E A
(Ⅱ)证法一:因为 所以 ( a2 b2 c2 + b ≥2a, + c ≥2b, + a ≥2c b c a
≥ 2(a

a2 b2 c2 + + )+(a + b + c) b c a
≥2

+ b + c)

a2 b2 c2 ? b + c + a + 1 a2 b2 c2 ? b + c + a
≥1

BC DC BC?AE = DC?AF ? = ,则△BCD ∽ △AEF ?∠CBD =∠AFE FA EA B、E、F、C 四点共圆 ?∠CBD =∠CFE ?∠AFE =∠CFE = 90o ?∠CBD = 90o ?∠CBA = 90o ?CA 是△ABC 外接圆的直径. (Ⅱ)连结 CE,由∠CBA = 90o 知 CE 为过 B、E、F、C 四点的圆的直径,设 BD = a,在直角三角形 ACD 中,BC2 = BD?BA = 2a2 BD =BE ?CE2 =DC2 = BD2 +BC2 = 3a2 AC2 =AD?AB = 6a2 所以两圆的面积之比为 CE2 1 = . AC2 2
?x = 2cos t ?y = 2sin t

a2 b2 c2 证法二:由柯西不等式得:( + + )( b + c + a)≥ (a + b + c)2 b c a a2 b2 c2 ? b + c + a
≥1

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C:? (t 是参数)上,对应参数分别为 t?=??与 t?=2? (0 <? <2? ), M

为 PQ 的中点. (Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 【解】 (Ⅰ)P(2cos??, 2sin??),Q(2cos2??, 2sin2??) ?M (cos? + cos2??, 2sin??+ sin2? ?) 所以 M 的轨迹的参数方程为:? (Ⅱ)d =
?x = cos? + cos2?? ?y = 2sin??+ sin2?

( ??是参数,0 < ? < 2? )

x2 + y2 =

2+2cos? ( 0 < ? < 2? )

当? = ?时,d = 0,所以 M 的轨迹过坐标原点. (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲 设 a,b,c 均为正数,且 a + b + c =1,证明: (Ⅰ)ab + bc + ac ≤ 1 ; 3 a2 b2 c2 (Ⅱ) + + b c a
≥2ac ≥1

【解】 (Ⅰ)由 a2 + b2 ≥2ab,b2 + c2 ≥2bc,a2 + c2 a2 + b2 + c2≥ab + bc + ac ? (a + b + c)2 = (a2 + b2 + c2) + 2(ab + bc + ac)

得 + bc + ac)

≥3(ab



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