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绝对值三角不等式


1.4 绝对值三角不等式
教学目标:1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程; 2.掌握定理 1 的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式 ; 4.会用绝对值不等式解决一些简单问题。 教学重点:定理 1 的证明及几何意义。 教学难点:换元思想的渗透。 教学过程: 一、引入: 证明一个含有绝对值的不等式成立,除了要应用一般不等式的基本性质之 外,经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质:
王新敞
奎屯 新疆

(1) a ? b ? a ? b (3) a ? b ? a ? b

(2) a ? b ? a ? b (4)

a b

?

a (b ? 0) b

请同学们思考一下,是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道 理? 实际上,性质 a ? b ? a ? b 和

a b

?

a (b ? 0) 可以从正负数和零的乘法、除法 b

法则直接推出;而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此,只要能够证 明 a ? b ? a ? b 对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证 明。 现在请同学们讨论一个问题:设 a 为实数, a 和 a 哪个大? 显然 a ? a ,当且仅当 a ? 0 时等号成立(即在 a ? 0 时,等号成立。在 a ? 0 时,等号不成立) 。同样, a ? ?a. 当且仅当 a ? 0 时,等号成立。 含有绝对值的不等式的证明中,常常利用 a ? ?a 、 a ? ?a 及绝对值的和的 性质。 二、典型例题: 例 1、 证明 (1) a ? b ? a ? b , (2) a ? b ? a ? b 。

证明(1)如果 a ? b ? 0, 那么 a ? b ? a ? b. 所以 a ? b ? a ? b ? a ? b . 如 果
a ? b ? 0,





a ? b ? ?(a ? b).





a ? b ? ?a ? (?b) ? ?(a ? b) ? a ? b
1

(2) 根据 (1) 的结果, 有 a ?b ? ?b ? a ?b ?b , 就是, a ? b ? b ? a 。 所以, a ? b ? a ? b 。 例 2、证明 a ? b ? a ? b ? a ? b 。 例 3、证明 a ? b ? a ? c ? b ? c 。 思考:如何利用数轴给出例 3 的几何解释? (设 A, B, C 为数轴上的 3 个点, 分别表示数 a, b, c, 则线段 AB ? AC ? CB. 当且仅当 C 在 A,B 之间时,等号成立。这就是上面的例 3。特别的,取 c=0(即 C 为原点) ,就得到例 2 的后半部分。 ) 探究:试利用绝对值的几何意义,给出不等式 a ? b ? a ? b 的几何解释? 如果 a, b ? R , 那么 a ? b ? a ? b . ? ? 在上面不等式中,用向量 a, b 分别替换实数 a , b , ? ? 则当 a, b 不共线时, 由向量加法三角形法则: ? ? ? ? 向量 a, b , a ? b 构成三角形, 因此有|a+b|<|a|+|b| 定理 1 其几何意义是什么? 含有绝对值的不等式常常相加减,得到较为复杂的不等式,这就需要利用例 1,例 2 和例 3 的结果来证明。 c c 例 4、已知 x ? a ? , y ? b ? ,求证 ( x ? y) ? (a ? b) ? c. 2 2 证明 ( x ? y) ? (a ? b) ? ( x ? a) ? ( y ? b)
? x?a ? c c , y ?b ? , 2 2 c c ∴ x?a ? y ?b ? ? ? c 2 2

? x ?a ? y ?b

(1)

(2)

由(1) , (2)得: ( x ? y) ? (a ? b) ? c
a a , y ? . 求证: 2 x ? 3 y ? a 。 4 6 a a a a 证明 ? x ? , y ? ,∴ 2 x ? , 3 y ? , 4 6 2 2 a a 由例 1 及上式, 2 x ? 3 y ? 2 x ? 3 y ? ? ? a 。 2 2 注意: 在推理比较简单时,我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写 法,只能用于不等号方向相同的不等式。 四、巩固性练习:

例 5、已知 x ?

2

c c , B ? b ? . 求证: ( A ? B) ? (a ? b) ? c 。 2 2 c c 2、已知 x ? a ? , y ? b ? . 求证: 2x ? 3 y ? 2a ? 3b ? c 。 4 6 作业:习题 1.2 2、3、5

1、已知 A ? a ?

1.4 绝对值三角不等式学案
☆预习目标: ☆预习内容: 1.绝对值的定义: ?a ? R , | a |? ? ?
? ? ?

1.理解绝对值的定义,理解不等式基本性质的推导过程; 2.了解定理 1 的两种证明思路及其几何意义; 3.理解绝对值三角不等式 。
王新敞
奎屯 新疆

2. 绝对值的几何意义: 10. 实数 a 的绝对值 | a | ,表示数轴上坐标为 a 的点 A

20. ? 两个实数 a , b ,它们在数轴上对应的点分别为 A, B , 那么 | a ? b | 的几何意义是 3.定理 1 的内容是什么?其证法有几种? ? ? 4.若实数 a , b 分别换成向量 a, b 定理 1 还成立吗? 5、定理 2 是怎么利用定理 1 证明的? ☆探究学习: 1、绝对值的定义的应用 例 1 设函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 4 . ?1? 解不等式 f ( x) ? 2 ; ? 2 ? 求函数 y ? f ( x) 的最值.

2. 绝对值三角不等式:探究 | a | , | b | , | a ? b | 之间的关系. ① a ? b ? 0 时,如下图, 容易得: | a ? b |

| a| ?|b|.

② a ? b ? 0 时,如图, 容易得: | a ? b |

| a| ?|b|.

3

③ a ? b ? 0 时,显然有: | a ? b | 综上,得 定理 1 立. 如果 a, b ? R , 那么 | a ? b |

| a| ?|b|.

| a | ? | b | . 当且仅当

时 , 等号成

? ? 在上面不等式中,用向量 a, b 分别替换实数 a , b , ? ? 则当 a, b 不共线时, 由向量加法三角形法则: ? ? ? ? | a| ?|b| 向量 a, b , a ? b 构成三角形, 因此有 | a ? b |
它的几何意义就是: 定理 1 的证明:

定理 2 如果 a, b, c ? R , 那么 | a ? c | 立. 3、定理应用

| a ? b | ? | b ? c | . 当且仅当

时, 等号成

例 2 (1) a, b ? R 证明 a ? b ? a ? b , (2)已知
x?a ? c c , y ? b ? ,求证 2 2

( x ? y) ? (a ? b) ? c. 。

4

5


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