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等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点


一、等差等比数列基础知识点 (一)知识归纳: 1.概念与公式: ①等差数列:1°.定义:若数列 {an }满足an?1 ? an ? d (常数),则{an } 称等差数列; 2°.通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ? ak ? (n ? k )d ; 3°.前 n 项和公式:公式: S n ? ②等比数列:1°.定义若数列 {an }满足
n(a1 ? a n ) n(n ? 1) ? na1 ? d. 2 2

an?1 ,则 {an } 称等比数列;2°.通项 ? q (常数) an a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1), 当 q=1 时 S n ? na1. 1? q 1? q

公式: an ? a1q n?1 ? ak q n?k ; 3°.前 n 项和公式: S n ? 2.简单性质: ①首尾项性质:设数列 {an } : a1 , a2 , a3 ,?, an ,

1°.若 {an } 是等差数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?; 2°.若 {an } 是等比数列,则 a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?. ②中项及性质: 1°.设 a,A,b 成等差数列,则 A 称 a、b 的等差中项,且 A ?
a?b ; 2

2°.设 a,G,b 成等比数列,则 G 称 a、b 的等比中项,且 G ? ? ab. ③设 p、q、r、s 为正整数,且 p ? q ? r ? s, 1°. 若 {an } 是等差数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; 2°. 若 {an } 是等比数列,则 a p ? aq ? ar ? as ; ④顺次 n 项和性质: 1°.若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 则? a k ,
k ?1 n n

k ? n ?1 2n

?

2n

ak ,

k ? 2 n ?1 3n

?a

3n

k

组成公差为 n2d 的等差数列; 组成公差为 qn 的等比数列 (注 .

2°. 若 {an } 是公差为 q 的等比数列, 则? a k ,
k ?1

k ? n ?1

?

ak ,

k ? 2 n ?1

?a

k

1

意:当 q=-1,n 为偶数时这个结论不成立) ⑤若 {an } 是等比数列, 则顺次 n 项的乘积: a1a2 ?an , an?1an?2 ?a2n , a2n?1a2n?2 ?a3n 组成公比这 q n 的等比数列. ⑥若 {an } 是公差为 d 的等差数列, 1°.若 n 为奇数,则 S n ? na中且S奇 ? S偶 ? a中 (注 : a中指中项,即a中 ? a n?1 , 而 S 奇、S 偶指所有
2
2

奇数项、所有偶数项的和) ; 2°.若 n 为偶数,则 S 偶 ? S 奇 ? (二)学习要点: 1.学习等差、等比数列,首先要正确理解与运用基本公式,注意①公差 d≠0 的等 差数列的通项公式是项 n 的一次函数 an=an+b;②公差 d≠0 的等差数列的前 n 项和公式项 数 n 的没有常数项的二次函数 Sn=an2+bn;③公比 q≠1 的等比数列的前 n 项公式可以写成 “Sn=a(1-qn)的形式;诸如上述这些理解对学习是很有帮助的. 2.解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质,但所用的性质必须简单、明 确,绝对不能用课外的需要证明的性质解题. 3.巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法,例如:①三数成等差数列,可 设三数为 “a,a+m,a+2m (或 a-m,a,a+m) ” ②三数成等比数列, 可设三数为 “a,aq,aq2(或 , a,aq)”③四数成等差数列,可设四数为“ a, a ? m, a ? 2m, a ? 3m(或a ? 3m, a ? m, a ? m, a ? 3m); ” ④四数成等比数列,可设四数为“ a, aq, aq2 , aq3 (或 多,应在学习中总结经验. [例 1]解答下述问题:
1 1 1 a b c b?c c?a a?b , , (1 ) 成等差数列; a b c
2

nd . 2

a q

a a ,? , aq,?aq3 ), ”等等;类似的经验还很 3 q q

(Ⅰ)已知 , , 成等差数列,求证:

(2) a ? ,? , c ? 成等比数列. [解析]该问题应该选择“中项”的知识解决,
1 1 2 a?c 2 ① ? ? ? ? ? 2ac ? b(a ? c), a c b ac b ② b ? c a ? b bc ? c 2 ? a 2 ? ab b(a ? c) ? a 2 ? c 2 (1) ? ? ? ? a c ac ac 2 2( a ? c ) 2( a ? c ) ? ? . b( a ? c ) b b?c c?a a?b ? , , 成等差数列 ; a b c b b b b2 b (2)(a ? )(c ? ) ? ac ? (a ? c) ? ? (? ) 2 , 2 2 2 4 2 b b b ? a ? ,? , c ? 成等比数列 . 2 2 2 ?

b 2

b 2

b 2

[评析]判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有:根据“中项”性质、 ① 根据“定义”判断,.


(Ⅱ)等比数列的项数 n 为奇数,且所有奇数项的乘积为 1024,所有偶数项的乘积为
128 2 ,求项数 n.

[解析]设公比为 q,?
? a1 ? q
n ?1 2

a1a3 a5 ? an 1024 ? ?4 2 a2 a4 ? an?1 128 2

?4 2

(1)
35 2 5 2

而a1a 2 a3 ? a n ? 1024? 128 2 ? 2 ? (a1 ? q ?
n ?1 n 2 35 2

? a1 ? q
35 2

1? 2 ? 3

? ?(n ? 1) ? 2

35 2

) ? 2 , 将(1)代入得(2 ) n ? 2 ,

5n 35 ? , 得n ? 7. 2 2

(Ⅲ)等差数列 {an} 中,公差 d ≠ 0 ,在此数列中依次取出部分项组成的数列:
ak1 , ak2 ,?, akn 恰为等比数列 , 其中k1 ? 1, k 2 ? 5, k3 ? 17,

求数列 {k n }的前n项和.
2 [解析]? a1 , a5 , a17 成等比数列 ,? a5 ? a1 ? a17 ,

3

? (a1 ? 4d ) 2 ? a1 ? (a1 ? 16d ) ? d (a1 ? 2d ) ? 0 ? d ? 0,? a1 ? 2d , ? 数列{a kn }的公比q ? a5 a1 ? 4d ? ? 3, a1 a1


? a kn ? a1 ? 3 n ?1 ? 2d ? 3 n ?1 由 ①,② 得k n ? 2 ? 3 n ?1 ? 1,

而a kn ? a1 ? (k n ? 1)d ? 2d ? (k n ? 1)d ② 3n ? 1 ? n ? 3 n ? n ? 1. 3 ?1

{k n }的前n项和S n ? 2 ?

[评析]例 2 是一组等差、等比数列的基本问题,熟练运用概念、公式及性质是解决问 题的基本功. [例 3]解答下述问题: (Ⅰ)三数成等比数列,若将第三项减去 32,则成等差数列;再将此等差数列的第 二项减去 4,又成等比数列,求原来的三数. [解析]设等差数列的三项,要比设等比数列的三项更简单, 设等差数列的三项分别为 a-d, a, a+d,则有
2 2 ? ? ?(a ? d )(a ? d ? 32) ? a ?d ? 32d ? 32a ? 0 ?? ? 2 2 ? ?(a ? 4) ? (a ? d )(a ? d ) ? ?8a ? 16 ? d 8 26 ? 3d 2 ? 32d ? 64 ? 0,? d ? 8或d ? , 得a ? 10或 , 3 9 2 26 338 ? 原三数为2,10,50或 , , . 9 9 9

(Ⅱ)有四个正整数成等差数列,公差为 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平 方,求此四数. [解析]设此四数为 a ? 15, a ? 5, a ? 5, a ? 15(a ? 15) ,
? (a ? 152 ) ? (a ? 5) 2 ? (a ? 5) 2 ? (a ? 15) 2 ? (2m) 2 (m ? N ? ) ? 4a 2 ? 500 ? 4m 2 ? (m ? a)(m ? a) ? 125, ?125 ? 1 ? 125 ? 5 ? 25, ? m ? a与m ? a均为正整数, 且m ? a ? m ? a, ?m ? a ? 1 ?m ? a ? 2 ?? ?? ?m ? a ? 125 ?m ? a ? 25
4

解得 a ? 62或a ? 12(不合),?所求四数为 47,57,67,77 [评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法,特别是求若干个数成 等差、等比数列的问题中是主要方法. 二、等差等比数列练习题 一、 选择题 1、如果一个数列既是等差数列,又是等比数列,则此数列( (A)为常数数列 (B)为非零的常数数列 ) (D)不存在

(C)存在且唯一

2. 、 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 4 , 且 a1 , a5 , a13 成 等 比 数 列 , 则 ?an ? 的 通 项 公 式 为 (A) an ? 3n ? 1 (B) an ? n ? 3 (C) an ? 3n ? 1或 an ? 4 (D) an ? n ? 3 或 an ? 4
a x c 的值为 y

3 、已 知 a, b, c 成等比数列, 且 x, y 分别为 a 与 b 、 b 与 c 的 等差中 项,则 ? (A)
1 2

(B) ? 2

(C) 2

(D) 不确定

4、互不相等的三个正数 a, b, c 成等差数列, x 是 a,b 的等比中项, y 是 b,c 的等比中项,那 么 x 2 , b 2 , y 2 三个数( ) (B)成等比数列不成等差数列 (D)既不成等差数列,又不成等比数列

(A)成等差数列不成等比数列 (C)既成等差数列又成等比数列

5、已知数列 ?an ?的前 n 项和为 S n , S2n?1 ? 4n 2 ? 2n ,则此数列的通项公式为 (A) an ? 2n ? 2 (B) an ? 8n ? 2 ) (C) , , 成等差数列
1 1 1 x y z

(C) an ? 2 n?1

(D) an ? n 2 ? n

6、已知 ( z ? x) 2 ? 4( x ? y)( y ? z) ,则( (A) x, y, z 成等差数列
1 1 1 , , 成等比数列 x y z

(B) x, y, z 成等比数列

(D)

7 、 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 S n ? a n ? 1 , 则 关 于 数 列 ?an ? 的 下 列 说 法 中 , 正 确 的 个 数 有 ①一定是等比数列,但不可能是等差数列
5

②一定是等差数列,但不可能是等比数列

③可能是等比数列,也可能是等差数列 ⑤可能既是等差数列,又是等比数列 (A)4 8、数列 1 ,3 ,5 ,7
1 2 1 4 1 8

④可能既不是等差数列,又不是等比数列

(B)3

(C)2

(D)1

1 ,? ,前 n 项和为 ( ) 16 1 1 1 1 (A)n 2 ? n ? 1 (B)n 2 ? n ?1 ? (C)n 2 ? n ? n ? 1 2 2 2 2

(D)n 2 ? n ?

1 2
n ?1

?

1 2

9、若两个等差数列 ?an ?、 ?bn ? 的前 n 项和分别为 An 、 Bn ,且满足 值为( ) (A)
7 9

An 4n ? 2 a ?a ,则 5 13 的 ? Bn 5n ? 5 b5 ? b13

(B)

8 7

(C)

19 20

(D)

7 8

10、已知数列 ?an ?的前 n 项和为 Sn ? n 2 ? 5n ? 2 ,则数列 ?an ?的前 10 项和为 (A)56 (B)58 (C)62 (D)60

11、已知数列 ?an ?的通项公式 an ? n ? 5 为, 从 ?an ? 中依次取出第 3,9,27,…3n, …项,按 原 来 的 顺 序 排 成 一 个 新 的 数 列 , 则 此 数 列 的 前 n 项 和 为 (A)
n(3 n ? 13) 2

(B) 3n ? 5 )

(C)

3 n ? 10n ? 3 2

(D)

3 n ?1 ? 10n ? 3 2

12、下列命题中是真命题的是 (

A.数列 ?an ?是等差数列的充要条件是 an ? pn ? q ( p ? 0 ) B.已知一个数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ? an2 ? bn ? a ,如果此数列是等差数列,那么此数列 也是等比数列 C.数列 ?an ?是等比数列的充要条件 an ? abn?1 D.如果一个数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? abn ? c (a ? 0, b ? 0, b ? 1) ,则此数列是等比数列的充 要条件是 a ? c ? 0 二、填空题 13、各项都是正数的等比数列 ?an ?,公比 q ? 1 a5 , a7 , a8 ,成等差数列,则公比 q = 14、已知等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 , a5 , a17 成等比数列,则
6

a1 ? a5 ? a17 = a2 ? a6 ? a18

15、已知数列 ?an ?满足 S n ? 1 ? a n ,则 an = 16、在 2 和 30 之间插入两个正数,使前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,则插 入的这两个数的等比中项为 二、 解答题 17 、 已 知 数 列 ?an ? 是 公 差 d 不 为 零 的 等 差 数 列 , 数 列 ?ab ? 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ,
n

1 4

b1 ? 1, b2 ? 10, b3 ? 46 ,求公比 q 及 bn 。

18、 已知等差数列 ?an ?的公差与等比数列 ?bn ? 的公比相等, 且都等于 d (d ? 0, d ? 1) , a1 ? b1 ,
a3 ? 3b3 , a5 ? 5b5 ,求 a n , bn 。

19、有四个数,其中前三个数成等比数列,其积为 216,后三个数成等差数列,其和为 36,求这四个数。 20、已知 ?an ?为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?
20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

21、数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn , a1 ? 1, an?1 ? 2Sn ?1? n ? 1? (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)等差数列 ?bn ? 的各项为正,其前 n 项和为 Tn ,且 T3 ? 15 ,又 a1 ? b1, a2 ? b2 , a3 ? b3 成等 比数列,求 Tn 22、已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ?1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列 ?bn ? 满足 4b ?1.4b ?1...4b ?1 ? (an ?1)b (n ? N ? ) ,证明: ?bn ? 是等差数列;
1 2 n n

数列综合题 一、 选择题 题号 答案 1 2 B D 3 C 13. 4 A
1? 5 2

5 A

6 A 14.

7 C
26 29

8 A 15.

9 D

10 D

11 D

12 D

二、 填空题
7

4 1 n (? ) 3 3

16. ? 6 3

三、解答题 17.a b =a1,a b =a10=a1+9d,a b =a46=a1+45d
1 2 3

由{abn}为等比数例,得(a1+9d)2=a1(a1+45d)得 a1=3d,即 ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第 bna 项,及 abn=ab1· 4n-1=3d· 4n-1,a1+(bn-1)d=3d· 4n-1

∴bn=3· 4n-1-2 18.∴ a3=3b3 , ? a1+2d=3a1d2 , ? a1(1-3d2)=-2d
? a5=5b5, ? a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d )=-4d
4

① ②

② 1 1 ? 5d 4 5 5 ,得 =2 ,∴ d2=1 或 d2= , 由题意, d= ,a1=- 5 。∴ an=a1+(n-1)d= (n-6) 2 ① 5 5 5 1 ? 3d bn=a1dn-1=- 5 · (
5 n-1 ) 5
a q

19.设这四个数为 , a, aq,2aq ? a
?a ·a ? aq ? 216 则? ?q ?a ? aq ? (3aq ? a) ? 36 ?


由①,得 a3=216,a=6




③代入②,得 3aq=36,q=2

∴这四个数为 3,6,12,18

a3 2 20.解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= q = q , a4=a3q=2q 2 20 1 所以 q + 2q= 3 , 解得 q1=3 , q2= 3, 1 1 18 当 q1=3, a1=18.所以 an=18× (3)n-1= n-1 = 2× 33-n. 3 2 2 当 q=3 时, a1= 9 , 所以 an=9 × 3n-1=2× 3n-3. 21.解:(I)由 an?1 ? 2Sn ? 1 可得 an ? 2Sn?1 ?1? n ? 2? ,两式相减得
an?1 ? an ? 2an , an?1 ? 3an ? n ? 2?

又 a2 ? 2S1 ? 1 ? 3 ∴ a2 ? 3a1 ∴ an ? 3n?1

故 ?an ? 是首项为1 ,公比为 3 得等比数列
8

(Ⅱ)设 ?bn ? 的公差为 d 由 T3 ? 15 得,可得 b1 ? b2 ? b3 ? 15 ,可得 b2 ? 5 故可设 b1 ? 5 ? d , b3 ? 5 ? d 又 a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 9
2

由题意可得 ? 5 ? d ? 1?? 5 ? d ? 9 ? ? ? 5 ? 3?

解得 d1 ? 2, d2 ? 10 ∴d ? 2 ∴ Tn ? 3n ?
n ? n ? 1? ? 2 ? n 2 ? 2n 2

∵等差数列 ?bn ? 的各项为正,∴ d ? 0 22(I) : an?1 ? 2an ( ? 1 n? ,) N *
?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),
? an ? 1 ? 2n.

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列。
an ? 22 ?1(n ? N * ).
1 2 n n



(II)证法一: 4b ?14b ?1...4b ?1 ? (an ?1)b .
? 4(b1 ?b2 ?...?bn )?n ? 2nbn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.



②-①,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0,
nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.

③ ④

④-③,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,
?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

??bn ? 是等差数列。

9


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