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2012版数学一轮精品复习学案:8.1直线与方程

平面解析几何 1、直线方程的几种形式 名称 点斜式 方程的形式 已知条件 为直线上一定点, 为斜率 k 局限性 不包括垂直于 x 轴的直线

斜截式 两点式

k 为斜率,b 是直线在 y 轴上的截距

不包括垂直于 x 轴的直线 不包括垂直于 x 轴和 y 轴 的直线

是直线上两定点

且 截距式 a 是直线在 x 轴上的非零截距, 是直 b 线在 y 轴上的非零截距 一般式 A,B,C 为系数 不包括垂直于 x 轴和 y 轴 或过原点的直线 无限制,可表示任何位置 的直线

注:过两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线是否一定可用两点式方程表示?(不一定。 (1)若 x1= x2 且 y1 ≠y2, 直线垂直于 x 轴, 方程为 (3)若 2、线段的中点坐标公式 若点 的坐标分别为 ,且线段 的中点 M 的坐标为(x,y) ,则 ( 若 ;2) ,直线方程可用两点式表示) , 直线垂直于 y 轴, 方程为 ;

此公式为线段 三、直线的交点坐标与距离公式 几种距离 (1)两点间的距离 平面上的两点

的中点坐标公式。

间的距离公式

特别地,原点 O(0,0)与任一点 P(x,y)的距离

(2)点到直线的距离



到直线

的距离



(3)两条平行线间的距离

两条平行线 注: (1)求点到直线的距离时,直线方程要化为一般式;

间的距离

(2)求两条平行线间的距离时,必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后,才能套用公式计算。 四、两条直线的位置关系

例题解析 〖例〗已知直线的斜率 k=-cos ? ( ? ∈R).求直线的倾斜角 ? 的取值范围。

〖例〗已知点 M(2,2) ,N(5,-2) ,点 P 在 x 轴上,分别求满足下列条件的 P 点坐标。 (1)∠MOP=∠OPN(O 是坐标原点) ; (2)∠MPN 是直角。

〖例〗求过点 P(2,-1) ,在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a、b,且满足 a=3b 的直线方程。

〖例〗已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? (a ?1) y ? a2 ?1 ? 0 , (1)试判断 l1 与 l2 是否平行; (2) l1 ⊥ l2 时,求 a 的值。 直线方程的应用

如图



过点 P(2,1)作直线 l ,分别为交 x、y 轴正半轴于 A、B 两点。 (1)当⊿AOB 的面积最小时,求直线 l 的方程; (2)当|PA|·|PB|取最小值时,求直线 l 的方程。

〖例〗已知点 P(2,-1) 。 (1)求过 P 点且与原点距离为 2 的直线 l 的方程; (2)求过 P 点且与原点距离最大的直线 l 的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过 P 点且与原点距离为 6 的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由。 有关对称问题

〖例〗求直线 l1 : y ? 2x ? 3 关于直线 l : y ? x ? 1 对称的直线 l2 的方程。

〖例〗如图,已知 P 是等腰三角形 ABC 的底边 BC 上一点,PM⊥AB 于 M,PN⊥AC 于 N,用解析法证 明|PM|+|PN|为定值。

直线与方程小结 一:斜率与过定点问题 1.已知点 A(1,3)、B(2,6)、C(5,m)在同一条直线上,那么实数 m 的值为________. 2. 直线 mx-y+2m+1=0 经过一定点,则该点的坐标是 A(-2,1) B (2,1) C (1,-2) D (1,2) 3.已知 m≠0,则过点(1,-1)的直线 ax+3my+2a=0 的斜率为________ 1 1 【提升】 :4.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值等于. a b 5.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线 l:mx+y-m=0 与线段 PQ 有交点, 求 m 的范围. 二:截距问题: 6.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( )

A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 7.过点P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距相等的直线方程是 . 8.过点P(1,2)且在 x 轴,y 轴上截距之和为 6 的直线方程是_________ 9.过点 A(?5, ?4) 作一直线 l 使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为 5. 三:对称问题 10.(04 吉林)已知点 A(1,2), B (3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程为( A、4x+2y=5 B、4x-2y=5 C、x+2y=5 D、x-2y=5 11.点 (3,9) 关于直线 x ? 3 y ? 10 ? 0 对称的点的坐标是( ). A. (?1, ?3) B. (17, ?9) C. ( ?1,3) D. (?17,9) 12、 (07 浙江)直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 关于直线 x ? 1 对称的直线方程是( A、 x ? 2 y ? 1 ? 0 四:平行垂直: 13、 (05 全国)已知过点 A? ?2,m? 和 B ? m, 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值 4? A 、0 B、 ?8 C 、2 D、 10 2x 14、 (07 上海)若直线 l1:  ? my ? 1 ? 0 与直线 l2:y ? 3x ? 1 平行,则 m=___ (若垂直呢) 15、过点 P(?1,3) 且垂直于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的直线方程为( 五:交点问题: 16.求经过直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 5 ? 0, l 2 : 3x ? 2 y ? 3 ? 0 的交点且平行于直线 2 x ? y ? 3 ? 0 的直线方程. (若条件改为垂直那直线方程又是多少呢?) 17.若直线 l:y=kx-1 与直线 x+y-1=0 的交点位于第一象限,则实数 k 的取值范围是 A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞) 【提升】:18:过直线 x+2y-3=0,和直线 2x-y-1=0 的交点,且和点(0,1)距离等于 1 的直线方程 ) B、 2 x ? y ? 1 ? 0 C、 2 x ? y ? 3 ? 0 )



D、 x ? 2 y ? 3 ? 0

六:距离问题 19.已知点 (3, m) 到直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 的距离等于 1,则 m ? ( A. 3 B. ? 3 C. ? ).
3 3 D. 3 或 ? 3 3 20.已知直线 3 2??和 6 my 0 x ?y 3 0 x ? ? 互相平行,则它们之间的距离是( 1 ?



21. ①求平行于直线 3x+4y-12=0,且与它的距离是 7 的直线的方程; 3 ②求垂直于直线 x+3y-5=0, 且与点 P(-1,0)的距离是 10 的直线的方程. 5 22、过点 A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是( ) A. x 2?? B. 2? ? ? C x 3? ? D. 3? ? ? ?y 5 0 x y40 ?y 7 0 x y50 23.过点M(2,1)的直线与 x 轴,y 轴分别交于P,Q两点,且 |MP|=|MQ|,则 l 的方程是( A x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C ) 2x+y-5=0 D x+2y-4=0

24.若动点 P 到点 F (1,1) 和直线 3x ? y ? 4 ? 0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为 A. 3x ? y ? 6 ? 0 B. x ? 3 y ? 2 ? 0 C. x ? 3 y ? 2 ? 0 D. 3x ? y ? 2 ? 0

25. 已知点 A(1,1) , B (2, 2) ,点 P 在直线 y ? 七:数形结合: 26.点 A(x,y)满足 x+y-3=0, x ?
2

1 2 2 x 上,求 PA ? PB 取得最小值时 P 点的坐标。 2

?1,? ,求 y 的最大值和最小值 2
x y?3 的最大值和最小值 x?2


27.点 A(x,y)满足 y ? x - 2x ? 2,x ? ?- 1,1 ,求 ?

28.点 A(1,3) ,B(5,-1) ,点 P 在 x 轴上使|AP|+|BP|最小,则 P 的坐标为( A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0) 【变式】点 A(1,3) ,B(5,1) ,点 P 在 x 轴上使|AP|+|BP|最小,则 P 的坐标为( 29.点 A(1,3) ,B(5,-2) ,点 P 在 x 轴上使|AP|-|BP|最大,则 P 的坐标为( A. (4,0) B. (13,0) C. (5,0) D. (1,0)
2 2 30.点 P( x, y) 在直线 x ? y ? 4 ? 0 上,则 x ? y 的最小值是________________

) )

【感悟高考真题】

1. (2011·北京高考文科·T8)已知点 A(0, 2) , B(2, 0) .若点 C 在函数 y ? x2 的图象上,则使得 ?ABC 的 面积为 2 的点 C 的个数为( (A)4 (B)3 (C)2 ) (D)1

2. (2011·安徽高考理科·T15)在平面直角坐标系中,如果 x 与 y 都是整数,就称点 ( x, y ) 为整点,下 列命题中正确的是_____________(写出所有正确命题的编号). ①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果 k 与 b 都是无理数,则直线 y ? kx ? b 不经过任何整点 ③直线 l 经过无穷多个整点,当且仅当 l 经过两个不同的整点 ④直线 y ? kx ? b 经过无穷多个整点的充分必要条件是: k 与 b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线 3. (2011·安徽高考文科·T17)设直线 l1 : y ? k1x+1 l2 : y=k 2x ?1,其中实数 1,k 2 满足 1k 2+2 ?0 , , k k (I)证明 l1 与 l2 相交; (II)证明 l1 与 l2 的交点在椭圆 2x +y =1上. 【考点模拟演练】 一、选择题 1.倾斜角为 45?,在 A. y ? x ? 1 C. y ? ? x ? 1 2.倾斜角为 45?,在 A. x ? y ? 1 ? 0 3.过原点和
2 2

y 轴上的截距为 ? 1 的直线方程是(
B. y ? ? x ? 1 D. y ? x ? 1



y 轴上的截距为 ?1 的直线方程是(
B. x ? y ? 1 ? 0 C. x ? y ? 1 ? 0

) D. x ? y ? 1 ? 0 )

在复平面内对应点的直线的倾斜角为(

A.

B.

C.

D. )

4.已知过点 A(?2, m) 和 B(m, 4) 的直线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 m 的值为( A.

0

B.

?8

C.

2

D.

10

5.在平面直角坐标系中,点 A(1,2)、点 B(3,1)到直线 l 的距离分别为 1 和 2,则符合条件的直线条数为

( A.3 6.设

) B.2 分别是 C.4 中 的位置关系是( ) D.相交但不垂直 ( ) D.1 所对边的边长,则直线 与

A.平行

B.垂直

C.重合

7.点 P(2,3)到直线:ax+(a-1)y+3=0 的距离 d 为最大时,d 与 a 的值依次为 A.3,-3 B.5,1 C.5,2 D.7,1 )

8.已知 ab ? 0, bc ? 0 ,则直线 ax ? by ? c 通过( A. C. 第一、二、三象限 B. 第一、三、四象限
2

第一、二、四象限 第二、三、四象限
2

D.

9.若方程 (2m ? m ? 3) x ? (m ? m) y ? 4m ? 1 ? 0 表示一条直线,则实数 m 满足( A. C.



m?0 m ?1

B. D. 到直线 )

m??

3 2 3 ,m ? 0 2
在不等式 表示的平面区域内,

m ? 1, m ? ?

10.若点

的距离为 4,且点

则实数 的值为( A.7 11.已知点 B.-7

C.3 到直线

D.-3 的距离相等,则实数 的值等于( )

A. 12.过点 程为(

B.

C.

D.

M ? 2,1?


的直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 P、Q 两点,且

MQ ? 2 MP

,则直线 l 的方

A.x+2y-4=0 二、填空题

B.x-2y=0

C.x-y-1=0

D.x+y-3=0

13. 已知 A、 C 三点的坐标分别是(0,-2)、 B、 (0,0)、 (3,1),若点 M 满足 AM ? 2MC ,点 N 满足 AN ? ?3NB , 点 P 满足 PM ? PN ,则 P 点的轨迹方程是 14.若直线 . . _

l1 : mx ? y ?1 ? 0 与 l2 : x ? 2 y ? 5 ? 0 垂直,则 m 的值是
2x

15.函数 y ? e 图像上的点到直线 2 x ? y ? 4 ? 0 距离的最小值是

16.直线 三、解答题 17. (本小题满分 14 分)

为参数)上与点

的距离等于

的点的坐标是

已知函数

f ( x) ? x ?

2 a f ( 2) ? 2 ? ( 0 , ? ? ) ,且 2 . 设点 P 是函数图象上的任意一点,过点 P x 的定义域为

N 分别作直线 y ? x 和 y 轴的垂线,垂足分别为 M 、 .
(1)求 a 的值; 分) (2 (2)问: | PM | ? | PN | 是否为定值?若是,则求出该定值,若不是,则说明理由; 分) (5 (3)设 O 为原点,求四边形 OMPN 面积最小值(7 分)



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