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湖北省鄂州二中2015届高三5月第二次模拟考试理科数学试题(含答案)


湖北省鄂州市二中 2015 届高三 5 月第二次模拟考试 数学(理工类)
命题人 潘内阁 审题人 雷晓莉 本试卷 4 页共 22 题,其中 15、16 题为选考题。满分 150 分,考试用时 120 分钟

★祝考试顺利★
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中只有一 个符合题目的要求。 1. 已知 i 是虚数单位, 复数 Z ?|1 ? 3i | ( 3 ? i) ,Z 是 Z 的共轭复数, 则 Z 的虚部为 ( A.2 B. 2i C.-2 D.-2i )

2.已知集合 A ? {x | log4 x ? -1} , B ? {x | 2x ? 2} ,命题 p: ?x ? A, 2x ? 3x ;命题 q:

?x ? B , x3 ? 1 ? x 2 ,则下列命题中为真命题的是(
A.p∧q B. ? p∧q ) C.p∧ ? q

) D . ? p∧ ? q

3.下列说法中不 正确的是( .

A. “所有金属都能导电,铁是金属,所以铁能导电”这种推理属于演绎推理 B.已知数据 x1 , x2 ,..., xn 的方差是 4,则数据 ?3x1 ? 2015, ? 3x2 ? 2015, ..., ? 3xn ? 2015 的 标准差是 6 C.用相关指数 R2 来刻画回归效果,R2 的值越小,说明模型的拟合效果越好 D. 若变量 y 和 x 之间的相关系数 r ? ?0.9362 , 则变量 y 和 x 之间具有很强的线性相关 关系 4. 如图 1, 已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a, 动点 M、 N、 Q 分别在线段 AD1 , B1C, C1D1 上.当三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时,三棱锥 Q-BMN 的正视图面积等于( A. )

1 2 a 2

B.
2

1 2 a 4
A1

D1

Q

C1

B1 M N C

C.

2a 4

D.

3a 4

2

D

A

正视方向
B

2 ? ? 5. 已知 n ? ? ( 1 ? x 2 ? 2 x)dx ,则 x ?1 ? ? 的展开式中的常数项为( ? 1 ? x? ?
12
1

n

图1

图2



A. ?60 C. 50

B. ?50 D. 60

6. 若 f(x)是奇函数,且 x0 是 y=f(x)+e 的一个零点,则﹣x0 一定是下列哪个函数的零 点( )

x

7.已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为

MOD(n, m) ,其结果为 n 除以 m 的余数,例如
当 MOD(8,3) ? 2 . 下面是一个算法的程序框图, 输入的值为 36 时,则输出的结果为( A.7 B.5 C.6 ). D.4

8. 已知 O、A、B 三地在同一水平面内,A 地在 O 地正东方向 2km 处,B 地在 O 地正北方向 2km 处,某测绘队员在 A、B 之间的直线公路上任选一 点 C 作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O 地为一磁 场,距离其不超过 km 的范围内会测绘仪等电子 仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员 能够得到准确数据的概率是( ) A B. C. 1﹣ 1﹣ .

D.

9. 已知圆 C1 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 9 及圆 C2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? r 2 (0 ? r ? 1 动圆 M ,r是常数) , 与两圆都相切(包括内切和外切两种) ,动圆的圆心 M 的轨迹是两个椭圆,这两个椭圆 的离心率分别为 e1 , e2 (e1 ? e2 ) ,则 2e1 ? A. 2 2 ? 3

1 的最小值为( e2

)

B.

1 2

C.

2

D. 1 ? 2

10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知任意角 θ 以 x 轴的正半轴为始边, 若终边经过点 P (x0, y0)且|OP|=r(r>0) ,定义:sicosθ= ,称“sicosθ”为“正余弦函数”,对于正余弦 )

函数 y=sicosx,有同学得到以下性质,则这些性质中正确的个数有( ① 该函数的值域为[﹣ , ]; 对称; ② 该函数图象关于原点对称;

③ 该函数图象关于直线 x=

④ 该函数的单调递增区间为 ? 2k? ? A 1个 . B.2 个

? ?

?
4

, 2k? ?

3? ? , k∈ Z, 4? ?
D. 4个

C.3 个

二、填空题:(本大题共 6 个小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案 填在答题卡对应题号 的位置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. ) ....... (一)必考题(11—14 题) 11.校团委组织“中国梦,我的梦”知识演讲比赛活动,现有 4 名选手参加决赛,若每位 选手都可以从 4 个备选题目中任选出一个进行演讲, 则恰有一个题目没有被这 4 位选手 选中的情况有 种. 12. 古代印度数学家婆什迦罗在其所著的《莉拉沃蒂》中有如下题目:“今有人拿钱赠人, 第一人给 3 元,第二人给 4 元,第三人给 5 元,其余依次递增,分完后把分掉的钱全部 收回,再重新分配,每人恰分得 100 元,则一共有 人. 13. 已 知 a1 , a2 , a3 不 全 为 零 , 设 正 数 x , y 满 足 x 2 ? y 2 ? 2 , 若 不 等 式
2 2 xa1a2 ? ya2a3 ? m(a12 ? a2 ? a3 ) 成立,则 m 的最小值为



14. 若函数 f ? x ? 是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数,且 F ? x ? ?

f ? x? 在 I 上是减函数, x 2 则称 y ? f ? x ? 是 I 上的“单反减函数” ,已知 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? 2 x ? ? a ln x(a ? R) x (1) 判断 f ? x ? 在 ? 0,1? 上 (填是或不是) “单反减函数” ; (2) 若 g ? x ? 是 ?1, ?? ? 上的“单反减函数” ,则实数 a 的取值范围为 .

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题中任选一题作答.如果全选,则按第 15 题计分) 15. (选修 4 ? 1 :几何证明选讲) 如图, PB 为△ ABC 外接圆 O 的切线, BD 平分 ?PBC ,交圆 O 于 D , C , D, P 共线.若 AB ? BD , PC ? PB , PD ? 1 ,则圆 O 的半径是 . 16. (选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程)
1 ? x?t? ? ? t 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程是 ? ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴 ?y ? t ? 1 ? t ?

? 为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是 ? sin(? ? ) ? 1 , 则两曲线交点间的距离 3 . 是
三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , b(b ? 3c) ? (a ? c)(a ? c) ,且 ? B 为钝角. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ?

1 ,求 b ? 3c 的取值范围. 2

18.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1, an ? 0, 且 S n ? (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)记 bn ?

1 an an ?1 (n ? N ? ) 2

1 an an ?1an ? 2

,设 Tn 为数列 bn 的前 n 项和,且 Tn ? x ? m ? x ? 3m 对任意实数

x 恒成立,求 m 的取值范围。 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 A﹣BCD 中, AB⊥ 平面 BCD, BC⊥ CD,∠ CBD=60°,BC=2. (Ⅰ )求证:平面 ABC⊥ 平面 ACD; (Ⅱ )若 E 是 BD 的中点,F 为线段 AC 上的动点,EF 与平面 ABC 所 成的角记为 θ,当 tanθ 的最大值为 的余弦值. ,求二面角 A﹣CD﹣B

20.某商场每天(开始营业时)以每件 150 元的价格购入 A 商品若干件(A 商品在商场的保 鲜时间为 10 小时, 该商场的营业时间也恰好为 10 小时) , 并开始以每件 300 元的价格出 售,若前 6 小时内所购进的商品没有售完,则商店对没卖出的 A 商品以每件 100 元的价 格低价处理完毕(根据经验,4 小时内完全能够把 A 商品低价处理完毕,且处理完后, 当天不再购进 A 商品) .该商场统计了 100 天 A 商品在每天的前 6 小时内的销售量,制 成如下表格(注:视频率为概率) . (其中 x+y=70) 4 5 6 前 6 小时内的销售量 t(单位:件) 30 x y 频数 (Ⅰ )若该商场共购入 6 件该商品,在前 6 个小时中售出 4 件.若这些产品被 6 名不同的顾 客购买,现从这 6 名顾客中随机选 2 人进行回访,则恰好一个是以 300 元价格购买的 顾客,另一个以 100 元价格购买的顾客的概率是多少? (Ⅱ )若商场每天在购进 5 件 A 商品时所获得的平均利润最大,求 x 的取值范围.

y2 x2 ? 1(a ? 2) 21. (本小题满分 13 分) 如图, 抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 与椭圆 C 2 : 2 ? 4 a 交于第一象限内一点 M , F 为抛物线 C1 的焦点, F1 , F2 分别为椭圆 C 2 的上下
2

焦点,已知 MF ? OF ? 1, MF ? OF ? 10 。 (1)求抛物线 C1 和椭圆 C 2 的方程; (2)是否存在经过 M 的直线 l ,与抛物线和椭圆分别交于 非 M 的两点 P, Q ,使得 F1 P ? F2Q ? 2OM ?若存在 请求出直线的斜率,若不存在,请说明理由。 22.(本小题满分14分) 设函数 f ( x) ? x ? ( x ?1)ln( x ?1), ? x ? ?1? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最大值; (Ⅱ)证明:当 n ? m ? 1 时, (1 ? n) ? (1 ? m) ;
m n

(Ⅲ)证明:当 n ? 2013 ,且 x1 , x2 , x3 ,

, xn ? R? , x1 +x2 +x3 ?

? xn ? 1 时,

? x12 x32 x2 2 + ? ? ? ? 1+x1 1+x2 1+x3 参考答案
1—5 ACCBD 11. 144 6--10CAAAC 13.

x 2 ? n ? 1 ? 2013 ? n ? ?? ? 1+xn ? ? 2014 ?

1

1

12. 195

2 2
2 2

14. 不是, 0≤a≤4

15. 2

16. 4 3

17.解:(Ⅰ)由 b(b ? 3c) ? (a ? c)(a ? c) 得 b ? 3bc ? a ? c ,得 b ? c ? a ? 3bc
2 2 2 2

于是

cos A ?

b ?c ?a 3 ? 2bc 2 ? 又 A ? (0, ?) ,∴ A ? 6
2 2 2

????????????6 分

(Ⅱ)∵ B 为钝角

? ? ? ,又 A ? ,∴ 0 ? C ? 2 6 3 1 a 由正弦定理可知, 2 R ? 所以 b ? 3c ? sin B ? 3 sin C ? 2 ?1 sin A 1 2 5? ? 1 3 ? sin( ? C ) ? 3 sin C ? cos C ? sin C ? cos( ? C ) 6 3 2 2 ? ? ? 2? ?C? ? 又0 ? C ? , 3 3 3 3
于是 A ? C ?
[来源:学.科.网]

∴ b ? 3c ? cos(

?

? 1 1? ? C ) ? ? ? , ? ????????????12 分 3 ? 2 2?

1 an ? an ?1 ? an ?1 ? (n ? 2), an ? 0 18.(1) 2 ? an ?1 ? an ?1 ? 2, an ? Sn ? Sn ?1 ?
当 n 为奇数时, an ? a1 ? ?

? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? n ? 2 ?
?n ? ? 1? ? 2 ? n ,综上, an ? n ?2 ?
???6 分

当 n 为偶数时, an ? a2 ? ?

? ? 1 1? 1 1 1?1 1 ? , Tn ? ? ? ?? ? ? 2 ? n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) ? 2 ? 2 (n ? 1)(n ? 2) ? 4 (2) 1 1 1 1 ? x ? m ? x ? 3m ? ? 4m ? ? m ? 或m ? ? 4 4 16 16 bn ?
????????????12 分 19.证明: (Ⅰ)在三棱锥 A﹣BCD 中,AB⊥平面 BCD, 所以:AB⊥CD,又∵BC⊥CD,∴CD⊥平面 ABC,

∵CD?平面 ACD,∴平面 ABC⊥平面 ACD ????????????6 分

(Ⅱ)建立空间直角坐标系 C﹣xyz, 则:C(0,0,0) ,D( ,0,0) ,B(0,2,0) ,E( 设 A(0,2,t) , 则: 所以:F(0,2λ,tλ) , 平面 ABC 的法向量为: 由 sinθ= , 由于 tanθ 的最大值为 , ,

,1,0) ,

则: (t +4)﹣4λ+4 的最小值为

2



解得:t=4,又∵BC⊥CD,AC⊥CD, 所以∠ACB 就是二面角 A﹣CD﹣B 的平面角.cos∠ACB= = .

????????????12 分 20. 解: (1)恰好一个是以 300 元价格购买的顾客,另一个以 100 元价格购买的顾客的概率 是 A,则 P(A)= = ;????????????4 分

(2)设销售 A 商品获得利润为 X, (单位,元) ,以题意,视频率为概率,为追求更多的利 润, 则商店每天购进的 A 商品的件数取值可能为 4 件,5 件,6 件, 当购进 A 商品 4 件时,EX=150×4=600, 当购进 A 商品 5 件时,EX=(150×4﹣50)×0.3+150×5×0.7=690, 当购进 A 商品 6 件时,EX=(150×4﹣2×50)×0.3+(150×5﹣50)× +150×6× =780

﹣2x, 由题意 780﹣2x≤690,解得 x≥45,又知 x≤100﹣30=70, ????????????12 分

?? p? p ?? x M ? 2 ? ? 2 ? 1 21.【解析】 (1)由题意得 ?? ? x M ? 1, y M ? 3 ,分 ? ? x 2 ? y 2 ? 10 M ? M y2 x2 2 ? ? 1. 别代入抛物线和椭圆方程得: C1 : y ? 9 x , C 2 : 12 4

????????????6 分 (2)斜率不存在时显然不合题意,由 M (1,3) 可设 l : y ? k ( x ? 1) ? 3 , 直线与抛物线联立得: k 2 x 2 ? (?2k 2 ? 6k ? 9) x ? (3 ? k ) 2 ? 0 ,

(3 ? k ) 2 ; k2 直线与椭圆联立得: (3 ? k 2 ) x 2 ? 2k (3 ? k ) x ? (k 2 ? 6k ? 3) ? 0 ,
由韦达定理及 xM ? 1 可得 x P ? 由韦达定理及 xM ? 1 可得 xQ ?

k 2 ? 6k ? 3 。 3? k2
3 2

由 F1 P ? F2Q ? 2OM 可得 xP ? xQ ? 2xM ? 4k ? k ? 6k ? 9 ? 0

? (k ?1)(4k 2 ? 3k ? 9) ? 0 ? k ? 1 ,经检验符合题意。
? 存在符合题意的直线,其斜率为 1。
22.解析:解: (Ⅰ)
[来源:学科网 ZXXK]

????????????13 分

f ' (x) ? 1 ?1 ? ln(1 ? x) ? ?ln ?1 ? x ?,x ? ?1 ,

? ?1 ? x ? 0, f ' ( x) ? 0, f ( x) 递增; x ? 0, f ' ( x) ? 0, f ( x) 递减;

? f ( x)max ? f (0) ? 0 .????????????4 分

x ? ln(1 ? x) x ? (1 ? x) ln(1 ? x) ln(1 ? x) ' 1 ? x ? , x ? ?1 ,则 g ( x) ? (Ⅱ)令 g ( x) ? 2 x x 2 (1 ? x) x
由(Ⅰ)知: f ( x) ? x ? ( x ? 1) ln( x ? 1) ? 0 ,? g ( x) ? 0 , g ( x) 递减.
'

n ? m ? 1,?
(Ⅲ)

ln(1 ? n) ln(1 ? m) m n m n ? , ln(1 ? n) ? ln(1 ? m) ,? (1 ? n) ? (1 ? m) .8 分 n m

x1 , x2 , x3 ,

, xn ? R? , x1 +x2 +x3 ?

? xn ? 1 由柯西不等式知:

? x12 x22 x32 xn 2 ? 2 + ? ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? xn ? ?1+x1 ? ? ?1+x2 ? ? ? ?1+xn ?? ? ?? ? ? 1+xn ? ? 1+x1 1+x2 1+x3
? x2 x 2 x 2 x2 x 2 ?n x2 x 2 x 2 1 ,? 1 + 2 ? 3 ? ? n ? ? 1 + 2 ? 3 ? ? n ? 1+x1 1+x2 1+x3 1+xn n ? 1 ? 1+x1 1+x2 1+x3 1+xn ?
n ? 2013 ,由(Ⅱ)知: ?1 ? n ?
2013

1

? 1 ?n ?? ? ? n ?1 ?

1

? ?1 ? 2013? , ?1 ? n ? ? 2014
n

1 n

1 2013


1

? 1 ?n ?? ? ? 1? n ?

1

? x12 x32 x2 2 ? 1 ? 2013 ?? , ? + ? ? ? ? 1+ x 1+ x 1+ x ? 2014 ? 2 3 ? 1

1

x 2 ? n ? 1 ? 2013 ? n ? ?? ? 1+xn ? ? 2014 ?
????????????14 分

1



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