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3.1.1方程的根与函数的零点


3.1.1 方程的根与函数的零点
兖州一中 【学习目标】 知识与技能:结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数 与方程根的联系. 过程与方法:掌握判断方程根的个数的一般方法,从中体会函数与方程及数形结合的数学思 想方法. 情感、态度与价值观:学习本节有利于活跃我们的思维,养成多方面联系思考的习惯. 【学习重点、难点】 学习重点:函数的零点与方程根之间的联系,函数零点存在性的判定. 学习难点:探究发现函数存在零点的判定方法. 【学法指导】独立思考与合作交流相结合 【学习过程】 1.提出问题、分析问题 请观察下图,这是兖州气象局测得兖州特殊一天的一张气温变化模拟函数图(即一个连续不 间断的函数图象) ,由于图象中有一段被墨水污染了,现在我想了解一下当天 7 时到 11 时之间有 无可能出现温度是 0 摄氏度,你能帮助他吗?
6

高二数学

薛德华

13791719950

课型:新授课

y

(摄氏度)
7

0 -4

11

x(小时)

分析:上述实际问题的解决依赖于函数图象与 x 轴是否有交点的问题, 即若知道函数解析式 f (x), 令 f ( x) ? 0, 转化为解方程的问题.回顾所学知识,即一元二次方程与二次函数的问题,回答: 问题 1:一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的存在性是如何判断的?
2

请同学们作出函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的图象.
2

我们把使函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的值等于零的实数
2 2 2

叫做函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 3 的零点.
2

问题 2:函数 y ? x ? 2 x ? 1 的零点是什么?函数 y ? x ? 2 x ? 3 的零点又是什么?

第 1 页 共 4 页

2 引导探究:推广一般的一元二次方程 ax ? bx ?

c0 ( ?

a0与 相 应 的 二 次 函 数 ? )

y ? ax ? bx ? c(a ? 0) 的关系?
2

2.初步探究、形成概念 函 数 零 点 的 概 念 : 对 于 函 数 y ? f ( x)( x ? D) , 把 使 f ( x ) ? 0成 立 的 实 数

x 叫做函数

y ? f ( x) ( x D) ? 的零点. 问题 3:方程 f ( x) ? 0 的根与函数 y ? f ( x)( x ? D) 的零点有何关系?

3.简单应用、探索新知 根据函数零点的概念回答: ①利用二次函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 5 的图象,函数 f(x) ? x ? 3x ? 5 有零点吗?有几个? ?
2 2

②观察右面函数 y ? f (x) 的图象,该函数有零点吗?有几个?

问题 4:函数零点所对应的函数值为零,那零点附近的函数值呢?

由以上探索,我们可以得出以下结论: 函数零点的判定定理: 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 [a , b] 上 的 图 像 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 满 足 ,那么函数 y ? f (x) 在区间 (a , b) 内有零点,即存在 c ? (a , b) ,使得

f (c ) ? 0 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根. 延伸:这样得到方程 f ( x) ? 0 在区间 ( a, b) 内必有根,由此只能判断根的存在,但不能判定有多
少个实数根,也不能得出根的值. 问题 5:函数 y ? f (x) 在区间 ( a, b) 内有零点 ? f (a ) · f (b) ? 0 对吗?
第 2 页 共 4 页

(A 级)练习:已知函数 f (x) 的图象是连续不断的,有如下的 x , f (x) 对应值表:

x
f (x)

1 123.56

2 21.45

3 -7.82 个

4 11.57

5 -53.76 -

6 -126.49

函数在区间[1,6]上的零点至少有 4.合作探究,典例训练

(B 级)例题:已知函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 (1) 函数 y ? f (x) 是否存在零点?若有零点则有几个? (2)指出函数零点所在的大致区间。

问题 6:你能尝试总结求一个函数零点的具体方法步骤吗?

(B 级)练习:函数 f ( x) ? e 【基础达标】

x ?1

? 4x ? 4 的零点有

个;

(A 级)1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: ① ? x ? 3x ? 5 ? 0 ;② 2 x( x ? 2) ? ?3 ;③ x ? 4 x ? 4 ;④ 5x ? 2 x ? 3x ? 5
2 2 2 2

(A 级)2.若函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a 没有零点,则实数 a 的取值范围是
2

. 个.

(B 级)3.二次函数 y ? ax ? bx ? c 中, ac ? 0 ,则函数零点个数是
2

第 3 页 共 4 页

(B 级)4.已知二次函数 y ? f (x) 满足 f (2 ? x) ? f (2 ? x), 且函数图象截 x 轴所得的线段长为 8,则函数 y ? f (x) 的零点为
x

.

(C 级)5.求函数 f ( x) ? 2 ? lg( x ? 1) ? 2 的零点个数.

(C 级)6.利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函数零点所在的区间: ① f ( x) ? 2 x ln(x ? 2) ? 3 ; ② f ( x) ? 3( x ? 2)(x ? 3)(x ? 4) ? x

【学习小结】 ①函数零点的概念、函数的零点与方程的根的关系; ②判断连续不间断的函数零点存在性、个数的方法步骤(代数法、几何法) ; ③函数与方程转化思想、数形结合的思想. 【当堂检测】 (A 级)1.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 3 的零点的个数为
2

个. 个. .

(B 级)2.方程 e ? x ? 2 ? 0 在实数范围内的解有
x

(B 级)3.函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? 5 的零点所在区间可以是
3

(C 级)4.若函数 y ? ax ? x ? 1 只有一个零点,求实数 a 的取值范围.
2

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