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2013届高考文科数学第一轮复习测试题6


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(时间:40 分钟

满分:60 分)

?x? ?x′? ?x+2y? ?作用后,再绕原点逆时针旋转 90° 1.已知点 A 在变换 T:? ?→? ?=? , ?y? ?y′? ? y ? 得到点 B.若点 B 的坐标为(-3,4),求点 A 的坐标. ?0 解 ? ?1 -1? ?1 ? ? 0? ?0 2? ?0 ?=? 1? ?1 -1? ?. 2?

?0 设 A(a,b),则由? ?1

-1??a? ?-3? ?-b=-3, ?? ?=? ?,得? 2??b? ? 4? ?a+2b=4.

?a=-2, 所以? 即 A(-2,3). ?b=3, 2.(2011· 扬州调研测试)已知在一个二阶矩阵 M 对应变换的作用下,点 A(1,2)变 成了点 A′(7,10),点 B(2,0)变成了点 B′(2,4),求矩阵 M. ?a b? ?, 解 设 M=? ?c d ? ?a b? ? 则? ?c d ? ?1? ?7 ? ?a b? ? ?=? ?,? ? ?2? ?10? ?c d ? ?2? ?2? ? ? =? ? , ?0? ?4?

?c+2d=10, 即? 2a=2, ?2c=4,
a+2b=7, 的曲线 C1 的方程.

?b=3, 解得? c=2, ?d=4.
a=1,

?1 所以 M=? ?2

3? ?. 4?

? 1 3.(2011· 南京模拟)求曲线 C:xy=1 在矩阵 M=? ?-1

1? ?对应的变换作用下得到 1?

解 设 P(x0,y0)为曲线 C:xy=1 上的任意一点, ? 1 它在矩阵 M=? ?-1 ? 1 由? ?-1 1? ? 1? 1? ?对应的变换作用下得到点 Q(x,y). 1?

?x0+y0=x, ?x0? ?x? ? ?=? ?,得? ?y0? ?y? ?-x0+y0=y.

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?x0=x-y, ? 2 解得? x+y ?y0= 2 . ?
因为 P(x0,y0)在曲线 C:xy=1 上,所以 x0y0=1. x-y x+y 所以 2 × 2 =1,即 x2-y2=4. 所以所求曲线 C1 的方程为 x2-y2=4. ?1 4.已知矩阵 M=? ?2 2? ?的一个特征值为 3,求其另一个特征值. x?

解 矩阵 M 的特征多项式为 ?λ-1 f(λ)=? ?-2 -2? ?=(λ-1)(λ-x)-4. λ-x ?

因为 λ1=3 为方程 f(λ)=0 的一根,所以 x=1, 由(λ-1)(λ-1)-4=0,得 λ2=-1, 所以矩阵 M 的另一个特征值为-1. ?2 5.求矩阵? ?1 1? ?的特征值及对应的特征向量. 2? -1 ? ?=(λ-2)2-1=λ2-4λ+3. λ-2?

?λ-2 解 特征多项式 f(λ)=? ? -1 由 f(λ)=0,解得 λ1=1,λ2=3.

?-x-y=0, 将 λ1=1 代入特征方程组,得? ?x+y=0, ?-x-y=0 ? 1? 可取? ?为属于特征值 λ1=1 的一个特征向量. ?-1? ?x-y=0, ?1? 同理,当 λ2=3 时,由? ?x-y=0,所以可取? ?为属于特征值 λ2=3 ?1? ?-x+y=0 的一个特征向量. ?2 综上所述,矩阵? ?1 1? ?有两个特征值 λ1=1,λ2=3;属于 λ1=1 的一个特征向量 2?

? 1? ?1? 为? ?,属于 λ2=3 的一个特征向量为? ?. ?1? ?-1?
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?1 6.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x+y+2=0 在矩阵 M=? ?b 用下得到直线 m:x-y-4=0,求实数 a,b 的值. 解 法一

a? ?对应的变换作 4?

在直线 l:x+y+2=0 上取两点 A(-2,0),B(0,-2).

A、B 在矩阵 M 对应的变换作用下分别对应于点 A′、B′. ?1 因为? ?b a? ?-2? ? -2? ? ? ?=? ?, 4? ? 0? ? -2b?

所以点 A′的坐标为(-2,-2b); ?1 a? ? 0? ?-2a? ? ? ? ? =? ?,所以点 B′的坐标为(-2a,-8). ?b 4? ?-2? ? -8? 由题意,点 A′、B′在直线 m:x-y-4=0 上, ??-2?-?-2b?-4=0, 所以? ??-2a?-?-8?-4=0. 解得 a=2,b=3. ?1 法二 设 P(x,y)为直线 x+y+2=0 上的任意一点,它在矩阵 M=? ?b 变换作用下得到点 Q(x′,y′), ?1 则? ?b a??x? ?x′? ? ? ? =? ? , 4??y? ?y′? a? ?对应的 4?

?x=-4x′+ay′, ?x+ay=x′, 得? 解得? bx′-y′ ?bx+4y=y′, ?y= ab-4 .
-4x′+ay′ bx′-y′ 因此 + +2=0, ab-4 ab-4 即(b-4)x′+(a-1)y′+(2ab-8)=0. b-4 a-1 因为直线 l 在矩阵 M 对应的变换作用下得到直线 m: x-y-4=0.所以 1 = -1 2ab-8 = .解得 a=2,b=3. -4

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