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2014年高考数学(文)二轮复习简易通配套课件(江苏专用):常考问题12 圆锥曲线的基本问题_图文

常考问题12 圆锥曲线的基本问题

知识与方法

热点与突破

[真题感悟]

[考题分析]

知识与方法

热点与突破

1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆:|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|); (2)双曲线:||MF1|-|MF2||=2a(2a<|F1F2|).

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2.圆锥曲线的标准方程 x2 y2 (1)椭圆:a2+b2=1(a>b>0)(焦点在 x 轴上)或 y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)(焦点在 y 轴上); x2 y2 (2)双曲线: 2- 2=1(a>0,b>0)(焦点在 x 轴上)或 a b y2 x2 a2-b2=1(a>0,b>0)(焦点在 y 轴上).

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3.圆锥曲线的几何性质 c (1)椭圆:e=a= b2 1-a2; b2 1+a2.

c (2)双曲线:①e=a=

b a ②渐近线方程:y=± x 或 y=± x. a b

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4.求圆锥曲线标准方程常用的方法 (1)定义法 (2)待定系数法 ①顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线,可设为 y2=2ax 或 x2=2ay(a≠0),避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论,此时 a 不具有 p 的几何意义; ②中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,椭圆方程可设为 x2 y2 m+ n =1(m>0,n>0); x2 y2 双曲线方程可设为m- n =1(mn>0). 这样可以避免讨论和繁琐的计算.
知识与方法 热点与突破

5.求轨迹方程的常用方法

(1)直接法:将几何关系直接转化成代数方程;
(2)定义法:满足的条件恰适合某已知曲线的定义,用待定系 数法求方程; (3)代入法:把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系; 注意:①建系要符合最优化原则;②求轨迹与“求轨迹方程”

不同,轨迹通常指的是图形,而轨迹方程则是代数表达式;
③化简是否同解变形,是否满足题意,验证特殊点是否成立

等.

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热点与突破

热点与突破
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程

x2 y2 【例 1】 设双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相 27 36 交,一个交点的坐标为 ( 15,4),则此双曲线的标准方程是 ________________. 解析 法一 x2 y2 3),设双曲线方 27+36=1 的焦点坐标是(0,±

y2 x2 程为 a2 - b2 = 1(a>0 , b>0) ,根据定义 2a = | ? 15?2+12 - ? 15?2+72|=4,故 a=2.又 b2=32-22=5,故所求双曲线方 y2 x2 程为 4 - 5 =1.
知识与方法 热点与突破

法二

x2 y2 y2 x2 + =1 的焦点坐标是(0,± 3),设双曲线方程为 2- 2= 27 36 a b
2 2

16 15 1(a>0,b>0),则 a +b =9, 2 - 2 =1,解得 a2=4,b2=5,故 a b y2 x2 所求双曲线方程为 4 - 5 =1. 法三 x2 y2 设双曲线方程为 + =1(27<λ<36), 由于双曲线过 27-λ 36-λ

15 16 点( 15,4),故 + =1,解得 λ1=32,λ2=0(舍去),故 27-λ 36-λ y2 x2 所求双曲线方程为 4 - 5 =1. 答案 y2 x2 - =1 4 5
知识与方法 热点与突破

[规律方法] 本例可有三种解法:一是根据双曲线的定义直接

求解,二是待定系数法;三是共焦点曲线系方程,其要点是
根据题目的条件用含有一个参数的方程表示共焦点的二次曲 线系,再根据另外的条件求出参数.

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【训练 1】 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦 2 点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 2 两 点 , 且 △ ABF2 的 周 长 为 16 , 那 么 椭 圆 C 的 方 程 为 ____________. 解析 x2 y2 设椭圆方程为 2+ 2=1(a >b>0), a b

2 c 2 b2 1 由 e= ,知 = ,故 2= . 2 a 2 a 2 由于△ABF2 的周长为|AB|+|BF2|+|AF2| =|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=16, 2 2 x y 故 a=4.∴b2=8,∴椭圆 C 的方程为 + =1. 16 8 x2 y2 答案 + =1 16 8
知识与方法 热点与突破

热点二 圆锥曲线的几何性质 x2 2 【例 2】 (2013· 浙江卷改编)如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y =1 4 与双曲线 C2 的公共焦点,A,B 分别是 C1,C2 在第二、四象 限的公共点.若四边形 AF1BF2 为矩形,则 C2 的离心率是 ________.

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x2 y2 解析 由题意可知|F1F2|=2 3, ∴c= 3.设双曲线的方程为 2- 2 a b =1(a>0,b>0).∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a,∴|AF2|=2 +a, |AF1|=2-a.在 Rt△F1AF2 中, ∠F1AF2=90° , ∴|AF1|2+|AF2|2 =|F1F2|2,即(2-a)2+(2+a)2=(2 3)2,∴a= 2, c 3 6 ∴e=a= = 2 . 2 答案 6 2

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[规律方法] 求解圆锥曲线的离心率,基本思路有两种:一是

根据圆锥曲线的定义、方程、性质等分别求出a,c,然后根
据离心率的定义式求解;二是根据已知条件构造关于a,c的 方程,多为二次齐次式,然后通过方程的变形转化为离心率 e的方程求解,要灵活利用椭圆、双曲线的定义求解相关参 数.

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x2 y2 【训练 2】 (1)(2013· 天津卷改编)已知双曲线a2-b2=1(a>0,b>0) 的两条渐近线与抛物线 y2=2px(p>0)的准线分别交于 A,B 两 点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为 2,△AOB 的面积 为 3,则 p=________. x2 y2 (2)椭圆a2+b2=1(a>b>0)的焦距为 2c, 若直线 y=2x 与椭圆的 一个交点的横坐标为 c,则椭圆的离心率为________.

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解析

c (1)因为双曲线的离心率 e= =2,所以 b= 3a,所以双曲 a

b p 线的渐近线方程为 y=± 与抛物线的准线 x=-2相交于 ax=± 3x,
? p A? ?-2, ? ? p 1 p 3 ? 3 ? ? ? ? ,B?- ,- p?,所以△AOB 的面积为2×2× 3p p ? 2 ? 2 ? ? 2

= 3,又 p>0,所以 p=2. (2)因为直线与椭圆的一个交点的横坐标为 c,所以这个交点的坐
? b2? b2 标为?c, a ?,则有 a =2c,即有 ? ?

b2=a2-c2=2ac,e2+2e-1=0,

解得 e= 2-1(另一个解不符合要求,舍去). 答案 (1)2 (2) 2-1
知识与方法 热点与突破

热点三 求动点的轨迹方程 【例 3】 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(a,b)(a>b>0)为动点, x2 y2 F1,F2 分别为椭圆a2+b2=1 的左、右焦点.已知△F1PF2 为 等腰三角形. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设直线 PF2 与椭圆相交于 A, B 两点, M 是直线 PF2 上的点, 满足AM· BM=-2,求点 M 的轨迹方程.

→ →

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(1)设 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).

由题意可得|PF2|=|F1F2|,即 ?a-c?2+b2=2c. 整理得
?c? c 2 ? ? 2 a + -1=0, a ? ?

c 1 c 1 得a=2或a=-1(舍),所以 e=2. (2)由(1)知 a=2c,b= 3c,可得椭圆方程为 3x2+4y2=12c2,直线 PF2 方程为 y= 3(x-c). A,B
2 2 2 ? 3 x + 4 y = 12 c , ? 两点的坐标满足方程组? ? ?y= 3?x-c?.

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8 消去 y 并整理,得 5x -8cx=0,解得 x1=0,x2= c,得方程组的 5
2

8 ? x2= c, ? ? 5 x = 0 , ? 1 ? 解? ? 3 3 ?y1=- 3c, ? y2= 5 c. ? 不妨设 设点 M
?8 3 3 ? ? ? ? A? c, ,B??0,- c ? 5 ? ?5

3c???.

? 8 3 3 ? ? ? 的坐标为(x,y),则AM=?x- c,y- c ?, 5 5 ? ?



3 BM=(x,y+ 3c).由 y= 3(x-c),得 c=x- y. 3
知识与方法 热点与突破



?8 3 → 3 8 3 3 ? ? ? 于是AM=? y-5x,5y- 5 x?,BM=(x, 15 ? ?



3x).由题意知

?8 3 8 3 3 3 ? ? ? AM· BM=-2,即? x+ y- x· 3x=-2,化简得 y- x?· 5 5 15 5 ? ?

→ →

2 18 x -15 3 2 18x -16 3xy-15=0.将 y= 代入 c=x- 3 y, 16 3x

10x2+5 得 c= 16x >0,所以 x>0.因此,点 M 的轨迹方程是 18x2-16 3xy-15=0(x>0).

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[规律方法] (1)求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预

知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法
求解或用待定系数法求解. (2)讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的 取值范围.

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【训练3】 (2013·新课标全国Ⅰ卷)已知圆

M :(x +1)2 +y2 =1 ,圆N:(x -1)2 +y2 =9,动圆P与圆
M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l 是与圆 P ,圆 M 都相切的一条直线, l 与曲线 C 交于 A , B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.

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解 (1)设圆 P 的半径为 r,则|PM|=1+r, |PN|=3-r,∴|PM|+|PN|=4>|MN|, ∴P 的轨迹是以 M,N 为焦点的椭圆(左顶 点除外),且 2a=4,2c=2,∴a=2,c=1, ∴b2=a2-c2=3. x2 y2 ∴P 的轨迹曲线 C 的方程为 + =1(x≠-2). 4 3 (2)由(1)知 2r=(|PM|-|PN|)+2≤|MN|+2=4, ∴圆 P 的最大半径为 r=2.此时 P 的坐标为(2,0). 圆 P 的方程为(x-2)2+y2=4.
知识与方法 热点与突破

①当 l 的倾斜角为 90° ,方程为 x=0 时,|AB|=2 3, ②当 l 的倾斜角不为 90° , 设 l 的方程为 y=kx+b(k∈R), | ? ?|-k+b 2 =1, ? 1+k ? ? |2k+b| 2=2, ? ? 1+k ? 2 ?k= , 4 解得? ? ?b= 2 ? 2 ?k=- , 4 或? ? ?b=- 2.

2 2 ∴l 的方程为 y= x+ 2,y=- x- 2. 4 4
2 2 ?x y ? 4 + 3 =1, 联立方程? ?y= 2x+ 2, 4 ?

化简得 7x2+8x-8=0,
知识与方法 热点与突破

-4+6 2 -4-6 2 解之得 x1= ,x2= . 7 7 18 ∴|AB|= 1+k |x1-x2|= . 7
2

2 18 当 k=- 4 时,由图形的对称性可知|AB|= 7 . 18 综上,|AB|=2 3或 . 7

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