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2014年高二数学课时课件第一章《计数原理》《分类加法计数原理和分布乘法计数原理》1(北师大版选修2-3)_图文

本 课 时 栏 目 开 关

学习要求

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.

本 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.

课 时

学法指导

栏 目

两个计数原理是推导排列数、组合数计算公式的依据,其



基本思想贯穿本章始终,理解两个原理的关键是分清分类



与分步.

填一填·知识要点、记下疑难点

1.分类加法计数原理:完成一件事,可以有 n 类办法,在第



一类办法中有 m1 种方法,在第二类办法中有 m2 种方

课 时

法,……,在第 n 类办法中有 mn 种方法.那么,完成这

栏 目

件事共有 N=_m_1_+__m__2+__…__+__m__n _种方法.(也称加法原理)

开 关

2.分步乘法计数原理:完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一

不可,做第一步 有 m1 种方 法,做第二步有 m2 种 方

法,……,做第 n 步有 mn 种方法,那么完成这件事共有 N=_m__1×__m__2×__…__×__m__n_种方法.(也称乘法原理)

研一研·问题探究、课堂更高效

探究点一 分类加法计数原理

问题 1 用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里



课 的座位编号,总共能编出多少种不同的号码?



栏 答 因为英文字母共有 26 个,阿拉伯数字共 10 个,



开 关

所以总共可以编出 26+10=36(种)不同的号码.

研一研·问题探究、课堂更高效

问题 2 由问题 1 你能归纳出一般结论吗?

答 分类加法计数原理:完成一件事,可以有 n 类办法,

本 课

在第一类办法中有 m1 种方法,

时 栏

在第二类办法中有 m2 种方法,……,

目 开

在第 n 类办法中有 mn 种方法.



那么,完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种方法.(也称加

法原理)

研一研·问题探究、课堂更高效
问题 3 分类加法计数原理中的“各种方法”与“完成这件 本 事”有什么关系?

时 答 分类加法计数原理中的“各种方法”都能独立“完

目 成这件事”,与“其他方法”没关系.
开 关

研一研·问题探究、课堂更高效

例 1 在填写高考志愿表时,一名高中毕业生了解到 A、B

两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业,具体情况如下:

A 大学

B 大学

生物学

数学



化学

会计学





医学 信息技术学





物理学

法学





工程学

(1)如果这名同学只能选一个专业,那么他共有多少种选择

呢?

(2)若还有 C 大学,其中强项专业为:新闻学、金融学、人力

资源学,那么,这名同学可能的专业选择共有多少种?

研一研·问题探究、课堂更高效

解 (1)这名同学可以选择 A、B 两所大学中的一所. 在 A 大学中有 5 种专业选择方法, 在 B 大学中有 4 种专业选择方法. 又由于两所大学没有共同的强项专业,

本 因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择种数

课 时

为 5+4=9.

栏 目

(2)这名同学可以选择 A、B、C 三所大学中的一所.

开 关

在 A 大学中有 5 种专业选择方法,

在 B 大学中有 4 种专业选择方法,

在 C 大学中有 3 种专业选择方法.

又由于三所大学没有共同的强项专业,

因此根据分类加法计数原理,这名同学可能的专业选择种数

为 5+4+3=12.

研一研·问题探究、课堂更高效

小结 如果完成一件事有 n 类不同方案,在第 1 类方案中有

本 课

m1 种不同的方法,在第 2 类方案中有 m2 种不同的方法,……,

时 栏

在第 n 类方案中有 mn 种不同的方法,那么完成这件事共有

目 开

m1+m2+m3+…+mn 种不同的方法.



研一研·问题探究、课堂更高效

跟踪训练 1 某校高三共有三个班,其各班人数如下表: 班级 男生数 女生数 总数

高三(1) 30

20

50

高三(2) 30

30

60





高三(3) 35

20

55



栏 (1)从三个班中选一名学生会主席,有多少种不同的选法?



开 (2)从(1)班、(2)班男生中或从(3)班女生中选一名学生任学生



会生活部部长,有多少种不同的选法?

解 (1)从三个班中任选一名学生,可分三类:

第 1 类,从高三(1)班任选一名学生,有 50 种不同选法; 第 2 类,从高三(2)班任选一名学生,有 60 种不同选法;

研一研·问题探究、课堂更高效

第 3 类,从高三(3)班任选一名学生,有 55 种不同选法.

由分类加法计数原理知,不同的选法共有 N=50+60+55=

165(种).

本 课

(2)由题设知共有三类:

时 栏

第 1 类,从(1)班男生中任选一名学生,有 30 种不同选法;

目 开

第 2 类,从(2)班男生中任选一名学生,有 30 种不同选法;

关 第 3 类,从(3)班女生中任选一名学生,有 20 种不同选法.

由分类加法计数原理知,不同的选法共有 N=30+30+20=

80(种).

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探究点二 分步乘法计数原理 问题 1 如图,从丽水经杭州到上海的途径有________种.
本 课 时 栏 目 开 关
答 所有途径为 6×10=60(种).

研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 用前 6 个大写英文字母和 1~9 九个阿拉伯数字,以 A1,A2,…,B1,B2,…的方式给教室里的座位编号,总 共能编出多少个不同的号码? 答 编写一个号码要先确定一个英文字母,后确定一个阿
本 拉伯数字,我们可以用树形图列出所有可能的号码.如图:
课 时 栏 目 开 关
由于前 6 个英文字母中的任意一个都能与 9 个数字中的任 何一个组成一个号码,而且它们各不相同,因此共有 6×9 =54(个)不同的号码.

研一研·问题探究、课堂更高效

问题 3 由上述问题 1,2,你能归纳猜想出一般结论吗?

答 分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,



课 时

做第 1 步有 m 种不同的方法,

栏 做第 2 步有 n 种不同的方法,



开 那么完成这件事共有 N=m×n 种不同的方法.



研一研·问题探究、课堂更高效

问题 4 分步乘法计数原理中的“各步方法”与“完成这件

本 事”有什么关系?

课 时

答 要完成这件事,“各步”中的方法必须依次都完成,

栏 目

步与步之间是连续的,且相互依存.





研一研·问题探究、课堂更高效
问题 5 如果完成一件事需要三个步骤,做第 1 步有 m1 种不 同的方法,做第 2 步有 m2 种不同的方法,做第 3 步有 m3
本 种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?

时 如果完成一件事需要 n 个步骤,做每一步中都有若干种不

目 同的方法,那么应当如何计数呢?

关 答 m1×m2×m3,m1×m2×…×mn.

研一研·问题探究、课堂更高效

例 2 某商店现有甲种型号电视机 10 台,乙种型号电视机 8

台,丙种型号电视机 12 台,从这三种型号的电视机中各

选一台检验,有多少种不同的选法?

本 解 完成从这三种型号的电视机中各选一台检验可分三步

课 时

完成:

栏 目

第一步:从甲种型号中选一台,有 10 种不同的方法;

开 关

第二步:从乙种型号中选一台,有 8 种不同的方法;

第三步:从丙种型号中选一台,有 12 种不同的方法;

根据分步乘法计数原理,得 10×8×12=960(种).

因此共有 960 种不同的方法.

研一研·问题探究、课堂更高效
小结 利用分步乘法计数原理解决问题时,一定要正确设计 本 “分步”的程序,即完成这件事共分几步,每一步的具体内

时 容是什么,各步的方法、种数是多少,最后用分步乘法计数

目 原理求解.
开 关

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跟踪训练 2 已知 a∈{3,4,6},b∈{1,2,7,8},r∈{8,9},则方 程(x-a)2+(y-b)2=r2 可表示不同的圆的个数是多少?

本 解 圆的方程由三个量 a、b、r 确定,a、b、r 分别有 3 种、



时 4 种、2 种选法,



目 开

由分步乘法计数原理得,

关 可表示不同的圆的个数为 3×4×2=24.

研一研·问题探究、课堂更高效

探究点三 两个计数原理的综合应用

问题 比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理,你能找

出它们的区别与联系吗? 答 (1)相同点:都是回答有关完成一件事的不同方法种数

本 的问题.

课 时

(2)不同点:分类加法计数原理针对的是“分类”问题,完

栏 成一件事可分为若干类,各类的方法相互独立,各类中的



开 各种方法也相互独立,用任何一类中的任何一种方法都可

关 以单独完成这件事,是独立完成;

而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题,完成一件事

分为若干步,各个步骤相互依存,只完成任何其中的一步

都不能完成该件事,只有当各个步骤都完成后,才算完成

这件事,是合作完成.

研一研·问题探究、课堂更高效

例 3 书架的第 1 层放有 4 本不同的计算机书,第 2 层放有 3

本不同的文艺书,第 3 层放有 2 本不同的体育书.

(1)从书架上任取 1 本书,有多少种不同的取法?

(2)从书架的第 1、2、3 层各取 1 本书,有多少种不同的取法?



课 (3)从书架上任取两本不同学科的书,有多少种不同的取法?



栏 目

解 (1)从书架上任取 1 本书,有 3 类方法:

开 关

第 1 类方法是从第 1 层取 1 本计算机书,有 4 种方法;

第 2 类方法是从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法;

第 3 类方法是从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种方法.

根据分类加法计数原理,不同取法的种数是 N=m1+m2+

m3=4+3+2=9.

研一研·问题探究、课堂更高效

(2)从书架的第 1,2,3 层各取 1 本书,可以分成 3 个步骤完成:

第 1 步,从第 1 层取 1 本计算机书,有 4 种方法;

本 课

第 2 步,从第 2 层取 1 本文艺书,有 3 种方法;

时 栏

第 3 步,从第 3 层取 1 本体育书,有 2 种方法.



开 关

根据分步乘法计数原理,不同取法的种数是 N=m1×m2×m3

=4×3×2=24.

(3)N=4×3+4×2+3×2=26.

研一研·问题探究、课堂更高效

小结 解两个计数原理的综合应用题时,最容易出现不知道

本 应用哪个原理解题的情况,其思维障碍在于没有区分该问题

课 时

是“分类”还是“分步”,突破方法在于认真审题,明确“完

栏 目

成一件事”的含义.具体应用时灵活性很大,要在做题过程

开 关

中不断体会和思考,基本原则是“化繁为简”.

研一研·问题探究、课堂更高效

跟踪训练 3 现有 5 幅不同的国画,2 幅不同的油画,7 幅不

同的水彩画.

(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?

本 课

(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种

时 栏

不同的选法?

目 开

(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同

关 的选法?

(4)要从甲、乙、丙 3 幅不同的画中选出 2 幅,分别挂在左、

右两边墙上的指定位置,问共有多少种不同的挂法?

研一研·问题探究、课堂更高效

解 (1)分为三类:从国画中选,有 5 种不同的选法;

从油画中选,有 2 种不同的选法;

从水彩画中选,有 7 种不同的选法,

根据分类加法计数原理,共有 5+2+7=14(种)不同的选法.


课 时

(2)分为三步:国画、油画、水彩画分别有 5 种、2 种、7 种

栏 不同的选法,


开 关

根据分步乘法计数原理,共有 5×2×7=70(种)不同的选法.

(3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画.由分

步乘法计数原理知,有 5×2=10(种)不同的选法;

第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有 5×7=35(种) 不同的选法;

研一研·问题探究、课堂更高效

第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有 2×7=14(种) 不同的选法,

所以共有 10+35+14=59(种)不同的选法.


课 (4)从 3 幅画出选出 2 幅分别挂在左、右两边墙上,可以分两


栏 个步骤完成:

目 开

第 1 步,从 3 幅画中选 1 幅挂在左边墙上,有 3 种选法;


第 2 步,从剩下的 2 幅画中选 1 幅挂在右边墙上,有 2 种选

法.

根据分步乘法计数原理,不同挂法的种数是 N=3×2=6.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.现有 4 件不同款式的上衣和 3 条不同颜色的长裤,如果一

本 条长裤与一件上衣配成一套,则不同的配法种数为( B )

课 时

A.7

B.12

C.64

D.81

栏 目

解析 要完成配套,分两步:

开 关

第 1 步,选上衣,从 4 件上衣中任选一件,有 4 种不同选法;

第 2 步,选长裤,从 3 条长裤中任选一条,有 3 种不同选法.

故共有 4×3=12(种)不同的配法.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.从 A 地到 B 地,可乘汽车、火车、轮船三种交通工具,如

果一天内汽车发 3 次,火车发 4 次,轮船发 2 次,那么一

本 课

天内乘坐这三种交通工具的不同走法为

(B )

时 栏

A.1+1+1=3

B.3+4+2=9

目 开

C.3×4×2=24

D.以上都不对



练一练·当堂检测、目标达成落实处

3.十字路口来往的车辆,如果不允许掉头,共有不同的行

车路线



课 时

A.24 种

栏 C.12 种







B.16 种 D.10 种

(C)

练一练·当堂检测、目标达成落实处

4.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数 a,b 组成

复数 a+bi,其中虚数有____3_6___个.

本 解析 第一步取 b 的数,有 6 种方法,



时 栏

第二步取 a 的数,也有 6 种方法,

目 开

根据乘法计数原理,共有 6×6=36(种)方法.



练一练·当堂检测、目标达成落实处

5.将 3 封信投入 6 个信箱内,不同的投法有___2_1_6___种.

解析 每封信都有 6 种投法,

本 课

共有 6×6×6=216(种)不同的投法.











练一练·当堂检测、目标达成落实处

1.本课主要学习了两个重要的计数原理,应用两个原理时,



要仔细区分原理的不同,加法原理关键在于分类,不同





类之间互相排斥,互相独立;乘法原理关键在于分步,





各步之间互相依存,互相联系.



关 2.通过对这两个原理的学习,要进一步体会分类讨论思想

及等价转化思想在解题中的应用.



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