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函数与函数的零点知识点总结


函数及函数的零点有关概念
函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x), x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集 合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 要点一:函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 1.1 求函数的定义域时从以下几个方面入手: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的 集合即交集.(7)三角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k? ?

?
2

(k ? Z ) .

(8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现,则函数的定义域为 R. 1.2 复合函数定义域的求法: 复合函数:如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 (1)已知 f(x)的定义域是[a,b],求 f[g(x)]的定义域,是指满足 a ? g ( x) ? b 的 x 的取值范围; (2)已知 f[g(x)]的定义域是[a,b],求 f(x)的定义域,是指在 x ? [a, b] 的条件下,求 g(x)的值域; (3) 已知 f[g(x)]的定义域是[a,b],求 f[h(x)]的定义域, 是指在 x ? [a, b] 的条件下, g(x)的值域,g(x)的值 求 域就是 h(x)的值域,再由 h(x)的范围解出 x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1 求函数值域的常用方法 1、图像法;2、层层递进法;3、分离常数法;4、换元法;5、单调性法;6、判别式法;7、有界性;8、奇偶性 法;9、不等式法;10、几何法; 3.2 分段函数的值域是各段的并集 3.3 复合函数的值域

(二)分段函数问题 1:已知定义域求值域问题(代入法) 2:已知定义域求值域问题(代入法) 3.分段函数解析式的求法 要点 2.函数的性质 (一)函数的单调性(局部性质): 1).函数单调性的判定 (A) 定义法:定义 1:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1, x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间。 等价定义:设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么:

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? 0 ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

定义 2.设函数 y ? f (x) 在某个区间内可导,如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为增函数;如果 f ?( x) ? 0 ,则 f (x) 为减 函数. (B)图象法(从图象上看升降) 2.函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 2 3 ○ 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;○ 作差 f(x1)-f(x2);○ 变形(通常是因式分解和配方); 4 5 ○ 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负);○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. (D) 导数法 2)函数的单调区间 3)利用函数单调性解不等式,比较大小,求参数的值或取值范围及最值问题 1. (比较大小) 2.(最值)

3.(参数范围问题) 4.(解不等式) 4)抽象函数的单调性 5).函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x), g ( x) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 在这个区间上也为增(减)函数 2、若 f ( x) 为增(减)函数,则 ? f ( x) 为减(增)函数 3、若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性相同,则 y ? f [ g ( x)] 是增函数;若 f ( x) 与 g ( x) 的单调性不同,则 y ? f [ g ( x)] 是 减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作函数图象。 (二)函数的奇偶性(整体性质):紧扣函数奇偶性的定义和函数的定义域区间关于坐标原点对称、函数图象的对 称性等对问题进行分析转化,特别注意“奇函数若在 x=0 处有定义,则一定有 f(0)=0,偶函数一定有 f(|x|) =f(x)”在解题中的应用. 1)函数奇偶性的判断 1.1 一般函数奇偶性的判断 1.定义:偶函数一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 奇函数一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 2.性质:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 3.利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 2 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+ f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对 称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3) 利用定理,或借助函数的图象判定 . 1.2 分段函数奇偶性的判断 方法:图像法、定义法(注意带人) 2)利用奇偶性求函数的解析式(注意带入)

3)抽象函数奇偶性的证明 4)函数奇偶性的常用结论: 1、 如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义, f (0) ? 0 , 则 如果一个函数 y ? f ( x) 既是奇函数又是偶函数, f ( x) ? 0 则 (反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那么该复合函数就是偶函数;当 两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5 、 若 函 数 y ? f (x) 是 偶 函 数 , 则 f ( x ? a) ? f (? x ? a) ; 若 函 数 y ? f ( x ? a) 是 偶 函 数 , 则

f ( x ? a) ? f (? x ? a) .
6、若函数 f ( x) 的定义域关于原点对称,则 f ( x) 可以表示为 f ( x) ? 的特点是:右端为一个奇函数和一个偶函数的和。 (三)函数的周期性 几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=a; (2) f ( x) ? f ( x ? a) ? 0 ,或 f ( x ? a) ?

1 1 [ f ( x) ? f (? x)] ? [ f ( x) ? f (? x)] ,该式 2 2

1 1 ( f ( x) ? 0) ,或 f ( x ? a) ? ? ( f ( x) ? 0) , f ( x) f ( x)



1 ? 2

f ( x) ? f 2 ( x) ? f ( x ? a), ( f ( x) ? ?0,1?) ,则 f (x) 的周期 T=2a;
1 ( f ( x) ? 0) ,则 f (x) 的周期 T=3a; f ( x ? a)
f ( x1 ) ? f ( x2 ) 且 f (a) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1, 0 ?| x1 ? x2 |? 2a) ,则 f (x) 的周期 T=4a; 1 ? f ( x1 ) f ( x2 )

(3) f ( x) ? 1 ?

(4) f ( x1 ? x2 ) ?

(5) f ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) ? f ( x ? 4a) ? f ( x) f ( x ? a) f ( x ? 2a) f ( x ? 3a) f ( x ? 4a) ,则 f (x) 的周期 T=5a; (6) f ( x ? a) ? f ( x) ? f ( x ? a) ,则 f (x) 的周期 T=6a. 要点 3.函数的图象 1.解决该类问题要熟练掌握基本初等函数的图象和性质,善于利用函数的性质来作图,要合理利用图象的三种变 换.2.在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系、结合图象研究. (一)图像变换问题

(1) 画法 A、描点法: B、图象变换法常用变换方法有三种:1)平移变换;2)伸缩变换;3)对称变换; (二)图像识别问题 要点 4.二次函数 (一)闭区间上的二次函数的最值 二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ? p, q ? 上的最值只能在 x ? ?
2

b 处及区间的两端点处取得,具 2a

体如下: (1)当 a>0 时,若 x ? ?

b b ? ? p, q? ,则 f ( x)min ? f (? ), f ( x)max ?max ? f ( p), f (q)? ; 2a 2a

b ? ? p, q? , f ( x) max ? max ? f ( p), f (q)? , f ( x)min ?min ? f ( p), f (q)? . 2a b b i ( (2) 当 a<0 时 , 若 x ? ? , ) ? ? p, q? , 则 f ( x) i n m ? n f p )f ,? q ( 若 x ? ? ? ? p, q? , 则 m ? 2a 2a x??
f ( x) a x m a x f ? ? m p )f , ,( f ()x)min ? min ? f ( p), f (q)? . ( ?q

(二)二次函数的移轴问题 1)定区间动轴 2)定轴动区间 3)轴动区间动 (三)一元二次方程的实根分布 依据:若 f (m) f (n) ? 0 ,则方程 f ( x) ? 0 在区间 (m, n) 内至少有一个实根 . 设 f ( x) ? x2 ? px ? q ,则

? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x) ? 0 在区间 (m,??) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p ; ?? ? m ? 2
? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? f ( m) ? 0 ? ( 2)方 程 f ( x) ? 0 在区间 (m , n ) 内 有根的 充要条件 为 f (m) f (n) ? 0 或 ? p 2 ? 4q ? 0 或 ? 或 ? af ( n) ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2

? f ( n) ? 0 ; ? ? af (m) ? 0

? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x) ? 0 在区间 (??, n) 内有根的充要条件为 f (m) ? 0 或 ? p . ?? ? m ? 2
(四).定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 (??,??) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? , ?? ?, ? ? , ?? ,??? 不同)上含参数的二次不等 式

f ( x, t ) ? 0( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x, t ) min ? 0( x ? L) .
(2)在给定区间 (??,??) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x, t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是

f ( x, t )man ? 0( x ? L) .
?a ? 0 ?a ? 0 ? (3) f ( x) ? ax ? bx ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ?b ? 0 或 ? 2 . ?c ? 0 ?b ? 4ac ? 0 ?
4 2

(五)二次函数的奇偶性 要点 5.基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念:一般地,如果 x ? a ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根,其中 n >1,且 n ∈ N .
n
*

?

负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 当 n 是奇数时, a 2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m
n n

?a (a ? 0) ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? ?? a (a ? 0)

a n ? n a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) , a
?

?

m n

?

1 a
m n

?

1
n

a

m

(a ? 0, m, n ? N * , n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) a · a ? a
r r r ?s

(a ? 0, r, s ? R) ; (a ? 0, r, s ? R) ;

(2) (a ) ? a
r s r

rs

(3) (ab) ? a a
r

s

(a ? 0, r, s ? R) .

(二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R.
x

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1. 2、指数函数的图象和性质 a>1
6

0<a<1
6

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1) 注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

(1)在[a,b]上, f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或 [f (b), f (a )] ;
x

(2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ; (3)对于指数函数 f ( x ) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ;
x

二、对数函数 (一)对数
x 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N (a ? 0, a ? 1) ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作: x ? log a N ( a . ..

— 底数, N — 真数, log a N — 对数式) 说明:○ 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ; 1 2 ○ a ? N ? log a N ? x ;
x

3 ○ 注意对数的书写格式. 两个重要对数: 1 ○ 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ;

loga N

2 ○ 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ?为底的对数的对数 ln N .

?

指数式与对数式的互化 幂值 真数

a b = N ? log a N = b

底数 指数 (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 ○ log a ( M · N ) ? log a M + log a N ; 2 ○ log a 对数

M ? log a M - log a N ; N
(n ? R) .

n 3 ○ log a M ? n log a M

注意:换底公式

log a b ?

log c b log c a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).

利用换底公式推导下面的结论 (1) log a m b n ? (二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log a x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+ ∞). 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: y ? 2 log 2 x , y ? log 5 x 都不是对 1
5

1 n . log a b ;(2) log a b ? log b a m

数函数,而只能称其为对数型函数. 2 ○ 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . 2、对数函数的性质:

a>1
3 2.5 2

0<a<1
3 2.5 2

1.5

1.5

1
-1

1

1
1

1

0.5

0.5

0

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递增 函数图象都过定点(1,0) (三)幂函数

定义域 x>0 值域为 R 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0)

1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数.
?

2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下 凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴 右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 要点 6.函数模型的实际应用 解决函数模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,并要注意定义域,然后结合所给模型,列 出函数关系式,最后结合其实际意义作出解答.明确下面的基本解题步骤是解题的必要基础: ? 读题 → 文字语言? ? 建模 求解 → → 数学语言? ? 数学应用? ? 收集数据 反馈 检验作答?

画散点图

不 符 合 实 际

选择函数模型

求函数模型

符合实际

检验

要点 7.函数零点 1.函数零点(方程的根)的确定问题,常见的类型有(1)零点或零点存在区间的确定;(2)零点个数的确 定;(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定;解决这类问题的常用方法有:解方 程法、利用零点存 在的判定或数形结合法,尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解。 2.函数零点(方程的根)的应用问题,即已知函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,解决该类问 题关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解。 3.用二分法求函数零点近似值,用二分法求函数零点近似值的步骤(1)确定区间[a,b],验证 f(a)·f(b)<0, 给定精确度 ? ;2) ( 求区间(a,b)的中点 x1 ;3) ( 计算 f( x1 );①当 f( x1 )=0,则 x1 就是函数的零点; ②若 f(a)· x1 )<0, f( 则令 b= x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ),③若 f( x1 )·f(b)<0,则令 a= x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) )。(4)判断是否达到其 精确度 ? ,则得零点近似值,否则重复以上步骤。


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