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高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线学业分层测评新人教B版选修2_1

2.5 直线与圆锥曲线 (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1. 直线 y=kx-2 交抛物线 y =8x 于 A, B 两点, 若 AB 中点的横坐标为 2, 则 k 等于( A.2 或-2 C.2 【解析】 由? ? ?y=kx-2, ? ?y =8x, 2 2 2 2 ) B.-1 D.3 得 k x -4(k+2)x+4=0, ∴x1+x2= 【答案】 C k+ k2 =4,∴k=2(k=-1 舍去). 2.已知双曲线 C:x - =1,过点 P(1,2)的直线 l,使 l 与 C 有且只有一个公共点, 4 则满足上述条件的直线 l 共有( A.1 条 C.3 条 ) B.2 条 D.4 条 2 y2 【解析】 因为双曲线的渐近线方程为 y=±2x,点 P 在一条渐近线上,又由于双曲线 的顶点为(±1,0),所以过点 P 且与双曲线相切的切线只有一条.过点 P 平行于渐近线的直 线只有一条,所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条. 【答案】 B 3.已知双曲线 - 2=1 的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到 4 b 其渐近线的距离等于 ( ) 【导学号:15460053】 A. 5 C.3 2 x2 y2 2 B.4 2 D.5 【解析】 ∵抛物线 y =12x 的焦点为(3,0),故双曲线 - 2=1 的右焦点为(3,0),即 4 b x2 y2 c=3,故 32=4+b2, ∴b =5, ∴双曲线的渐近线方程为 y=± 5 x, 2 2 1 ∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为 ? 5 ? ? ×3? ?2 ? 5 1+ 4 = 5. 【答案】 A 4.已知椭圆 C1: 2+y =1(m>1)与双曲线 C2: 2-y =1(n>0)的焦点重合,e1,e2 分别 为 C1,C2 的离心率,则( A.m>n 且 e1e2>1 C.m<n 且 e1e2>1 2 x2 m 2 x2 n 2 ) B.m>n 且 e1e2<1 D.m<n 且 e1e2<1 2 【解析】 C1 的焦点为(± m -1,0),C2 的焦点为(± n +1,0), ∵C1 与 C2 的焦点重合, ∴ m -1= n +1,∴m =n +2,∴m >n . ∵m>1,n>0,∴m>n. ∵C1 的离心率 e1= ∴e1e2= = = 2 2 2 2 2 2 m2-1 n2+1 ,C2 的离心率 e2= , m n m2-1 n2+1 · m n n2+1 mn n2+1 2 = n2+2 n2 = m2-1 m2-1 n2+1 m2n2 n4+2n2+1 > 1=1. n4+2n2 【答案】 A 5.已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A,B 两点,F 为 C 的焦点.若 2 FA=2FB,则 k 等于( A. 1 3 ) B. 2 3 2 C. 3 2 2 D. 3 【解析】 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 易知 x1>0,x2>0,y1>0,y2>0, 由? ? ?y=k 2 x+ , ? ?y =8x, 得 k x +(4k -8)x+4k =0, 2 2 2 2 ∴x1x2=4.① ∵FA=x1+ =x1+2,FB=x2+ =x2+2, 2 2 p p 2 且 FA=2FB,∴x1=2x2+2.② 由①②得 x2=1,∴B(1,2 2), 2 2 代入 y=k(x+2),得 k= . 3 【答案】 D 二、填空题 6.若直线 x-y-m=0 与椭圆 +y =1 有且仅有一个公共点,则 m=________. 9 【导学号:15460054】 【解析】 将直线方程代入椭圆方程,消去 x,得到 10y +2my+m -9=0, 令 Δ =0,解得 m=± 10. 【答案】 ± 10 7.已知 F1 为椭圆 C: +y =1 的左焦点,直线 l:y=x-1 与椭圆 C 交于 A,B 两点, 2 那么|F1A|+|F1B|的值为________. 【解析】 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2), 由? ?x +2y =2, ? ? ?y=x-1, 2 2 2 2 x2 2 x2 2 消去 y,得 3x -4x=0. 2 ?4 1? ∴A(0,-1),B? , ?. ?3 3? 4 2 ∴|AB|= , 3 ∴|F1A|+|F1B|=4a-|AB|=4 2- 【答案】 8 2 3 2 4 2 8 2 = . 3 3 8.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________. 【解析】 直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= 4 3 + 3 y-4=0, 解得 yA= 【答案】 三、解答题 9.如图 2?5?1 所示,直线 l:y=x+b 与抛物线 C:x =4y 相切于点 A. 3 2 3 4 3 y+1,代入抛物线方程得 y2- 3 3 16 +16 3 1 =2 3(yB<0, 舍去), 故△OAF 的面积为 ×1×2 3= 3. 2 2 3 图 2?5?1 (1)求实数 b 的值; (2)求以点 A 为圆心,且与抛物线 C 的准线相切的圆的方程. 【解】 (1)由? ? ?y=x+b, ?x =4y, ? 2 得 x -4x-4b=0.(*) 2 因为直线 l 与抛物线 C 相切, 所以 Δ =(-4) -4×(-4b)=0,解得 b=-1. (2)由(1)可知 b=-1, 故方程(*)即为 x -4x+4=0,解得 x=2. 将其代入 x =4y,得 y=1.故点 A(2,1). 因为圆 A 与抛物线 C 的准线相切, 所以圆 A 的


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