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20年全国高中数学联赛加试试题与答案PDF版整


2006 年全国高中数学联合竞赛 加试试题参考答案
一、 (本题满分 50 分)以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与△ AB0 B1 的边 ABi 交于 Ci ( i = 0,1 ). 在 AB0 的

q 延长线上任取点 P 0 ,以 B0 为圆心, B0 P 0 为半径作圆弧 P 0 Q0 交

2006-10-15

q C1 B0 的延长线于 Q0 ;以 C1 为圆心, C1Q0 为半径作圆弧 Q 0P 1 交 q 交BC B1 A 的延长线于 P 以 B1 为圆心, B1 P 1; 1 为半径作圆弧 PQ 1 1 1 0

q ′ 交 AB0 的延长线于 Q1 ;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q 1P 0 ,
的延长线于 P0′ . 试证:

q q (1) 点 P0′ 与点 P 0 重合,且圆弧 P 0 Q0 与 P 0 Q1 相内切于 P 0;
(2) 四点 P0 , Q0 , Q1 , P 1 共圆.

q q ,Q q q , PQ q 和Q q ′ 【证明】 (1)显然 B0 P0 = B0Q0 ,并由圆弧 P 0 Q0 和 Q0 P 1 0P 1 和 PQ 1 1 1 1 1P 0 分别相内切于

′ 点 Q0 , P 1 , Q1 ,得 C1 B0 + B0Q0 = C1 P 1 , B1C1 + C1 P 1 = B1C0 + C0 Q1 以及 C0Q1 = C0 B0 + B0 P 0 . 四式相
加,利用 B1C1 + C1 B0 = B1C0 + C0 B0 以及 P0′ 在 B0 P0 或其延长线上,有 B0 P0 = B0 P0′ .

q 的圆心 C ,圆弧 P q 从而可知点 P0′ 与点 P 0 重合。由于圆弧 Q1 P 0 0 0 Q0 的圆心 B0 以及 P 0 在同一直线上,所 q q 以圆弧 Q 1P 0 和P 0 Q0 相内切于点 P 0.

2006-10-15

(2)现在分别过点 P0 和 P 1 引上述相应相切圆 弧的公切线 P0T 和 PT 1 交于点 T.又过点 Q1 引 相应相切圆弧的公切线 R1S1 ,分别交 P0T 和

PT 得等腰三 1 于点 R1 和 S1 .连接 P 0Q1 和 PQ 1 1,
角形 P0Q1 R1 和 PQ 1 1 S1 . 基于此,我们可由

∠P0Q1 P 1 = π ? ∠P 0Q1 R1 ? ∠PQ 1 1 S1

= π ? ( ∠PP 1 0T ? ∠Q1 P 0P 1 ) ? ( ∠P 0 PT 1 ? ∠Q1 PP 1 0)

-1-



π ? ∠P0Q1 P 1 = ∠Q1 P 0P 1 + ∠Q1 P 1P 0 ,代入上式后,即得
∠P0Q1 P 1 =π ? 1 ( ∠P1P0T + ∠P0 PT 1 ). 2

同理可得 ∠P0Q0 P 1 =π ?

1 ( ∠P1 P0T + ∠P0 PT 1 ) .所以四点 P 0 , Q0 , Q1 , P 1 共圆. 2
a n a n ?1 + 1 , n = 1,2," . a n + a n ?1

二、 (本题满分 50 分)已知无穷数列 {an } 满足 a 0 = x, a1 = y , a n +1 = 2006-10-15

1) 对于怎样的实数 x 与 y ,总存在正整数 n0 ,使当 n ≥ n0 时 a n 恒为常数? 2) 求通项 a n . 【解】1) 我们有
2 an an ?1 + 1 an ?1 , n = 1, 2,". an ? an +1 = an ? = an + an ?1 an + an ?1

(2.1)

所以,如果对某个正整数 n ,有 an +1 = an ,则必有 an = 1 , 且 an + an ?1 ≠ 0 .
2

如果该 n = 1 ,我们得

y =1 且
如果该 n > 1 ,我们有

x ≠ ?y .

(2.2)

an ? 1 =


an ?1an ? 2 + 1 (a ? 1)(an ? 2 ? 1) ? 1 = n ?1 , an ?1 + an ? 2 an ?1 + an ? 2

n≥2

(2.3)

a ?1an ? 2 + 1 (a + 1)(an ? 2 + 1) an + 1 = n + 1 = n ?1 , 2006-10-15 an ?1 + an ? 2 an ?1 + an ? 2
将式(2.3)和(2.4)两端相乘,得
2 an ?1 = 2 an a2 ?1 ?1 ? 1 , ? n?2 an ?1 + an ? 2 an ?1 + an ? 2

n ≥ 2.

(2.4)

n ≥ 2.

(2.5)

由(2.5)递推,必有(2.2)或

x =1



y ≠ ?x .

(2.6)

反之,如果条件(2.2)或(2.6)满足,则当 n ≥ 2 时,必有 an = 常数,且常数是 1 或-1. 2)由(2.3)和(2.4) ,我们得到

an ? 1 an ?1 ? 1 an ? 2 ? 1 = ? , an + 1 an ?1 + 1 an ? 2 + 1

n ≥ 2.

(2.7)

-2-

记 bn =

an ? 1 , 则当 n ≥ 2 时, an + 1

3 2 bn = bn ?1bn ? 2 = (bn ? 2bn ?3 )bn ? 2 = bn2? 2bn ?3 = (bn ?3bn ? 4 ) 2 bn ?3 = bn ? 3bn ? 4 = "

由此递推,我们得到

an ? 1 ? y ? 1 ? ? x ?1 ? = ? 2006-10-15 ? ?? ? an + 1 ? y + 1 ? ? x +1?
这里

Fn?1

Fn?2

,

n ≥ 2,

(2.8)

Fn = Fn ?1 + Fn ? 2 , n ≥ 2 ,
由(2.9)解得

F0 = F1 = 1 .
n +1

(2.9)

1 ? ? 1+ 5 ? ?? Fn = ? 2 ? 5 ?? ? ? ?
上式中的 n 还可以向负向延伸,例如

n +1

? 1? 5 ? ?? ? 2 ? ? ? ?

? ?. ? ?

(2.10)

F?1 = 0, F?2 = 1 .
这样一来,式(2.8)对所有的 n ≥ 0 都成立.由(2.8)解得

an =

( x + 1) Fn?2 ( y + 1) Fn?1 + ( x ? 1) Fn?2 ( y ? 1) Fn?1 , n≥0. ( x + 1) Fn?2 ( y + 1) Fn?1 ? ( x ? 1) Fn?2 ( y ? 1) Fn?1

(2.11)

式(2.11)中的 Fn ?1 , Fn ? 2 由(2.10)确定. 三、 (本题满分 50 分)解方程组

? x ? y + z ? w = 2, ? x 2 ? y 2 + z 2 ? w 2 = 6, ? 2006-10-15 ? 3 3 3 3 ? x ? y + z ? w = 20, 4 4 4 4 ? ? x ? y + z ? w = 66.
【解】 令 p = x + z , q = xz, 我们有

p 2 = x 2 + z 2 + 2q , p 3 = x 3 + z 3 + 3 pq, p 4 = x 4 + z 4 + 4 p 2 q ? 2q 2 ,
同样,令 s = y + w, t = yw, 有

s 2 = y 2 + w2 + 2t , s 3 = y 3 + w3 + 3st , s 4 = y 4 + w4 + 4 s 2t ? 2t 2 .
在此记号系统下,原方程组的第一个方程为

p = s+2.
于是
-3-

(3.1)

p 2 = s 2 + 4 s + 4, p 3 = s 3 + 6 s 2 + 12s + 8, p 4 = s 4 + 8s 3 + 24s + 32 s + 16,
现在将上面准备的 p , p , p 和 s , s , s 的表达式代入,得
2 3 4 2 3 4

x 2 + z 2 + 2q = y 2 + w2 + 2t + 4 s + 4, 2006-10-15 x 3 + z 3 + 3 pq = y 3 + w3 + 3st + 6 s 2 + 12 s + 8, x 4 + z 4 + 4 p 2 q ? 2q 2 = y 4 + w4 + 4 s 2t ? 2t 2 + 8s 3 + 24 s + 32 s + 16,
利用原方程组的第二至四式化简,得

q = t + 2 s ? 1, pq = st + 2 s + 4s ? 4,
2

(3.2) (3.3)
2 3

2 p q ? q = 2 s t ? t + 4 s + 12s + 16s ? 25,
2 2 2 2

(3.4)

将(3.1)和(3.2)代入(3.3) ,得

t=
将(3.5)代入(3.2) ,得

s ? 1. 2

(3.5)

q=

5 s ? 2. 2

(3.6)

将(3.1) (3.5) (3.6)代入(3.4) ,得 s = 2. 所以有 t = 0, p = 4, q = 3. 这样一来, x, z 和 y, w 分别是方程 X ? 4 X + 3 = 0 和 Y ? 2Y = 0 的两根, 即
2 2

? x = 3, ? ? z =1


或 ?

? x = 1, ?z = 3

2006-10-15
? y = 2, ? ?w = 0
或 ?

? y = 0, ? w = 2.

详言之,方程组有如下四组解: x = 3, y = 2, z = 1, w = 0 ;或 或

x = 3, y = 0, z = 1, w = 2 ;

x = 1, y = 2, z = 3, w = 0 ;或

x = 1, y = 0, z = 3, w = 2 .

注:如果只得到一组解,或者不完整,最多得 40 分。

关 于 加 试 试 题 的 背 景 说 明 可 陆 续 见 王 兴 华 教 授 http://wangxinghua.name 和 浙 江 省 数 学 会 网 站 http://www.zjms.org . 有兴趣的同志敬请关注。

-4-


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