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人教A版高中数学必修5精品课件3.3.1二元一次不等式组与简单的线性规划问题_图文

课题引入: 二元一次不等式(组)与平面区域-1
在现实生活和数学中,我们会遇到各种不同的不等关系,需要

用不同的数学模型来刻画和研究他们.前面我们学习了一元二次不

等式及其解法,这里我们将学习另一种不等关系模型.

案例问题:

二元一次不等式(组)

一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于

企业和个人贷款, 希望这笔资金至少可带来30000

元的收益,其中从企业贷款中获益12%,从个人

贷款中获益10%.那么,信贷部应该如何分配资

金呢?

x ? y ? 25000000

设用于企业贷款的资 金为x元,用于个人 贷款的资金为y元, 根据题意,有:

x(12%) ? y(10%) ? 30000 x?0 y?0

二元一次不等式和二元一次不等式组的定义
(1)二元一次不等式:
含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的
不等式叫做二元一次不等式 ; x ? y ? 25000000 (2)二元一次不等式组: 由几个二元一次不等式组成的不 x ? y ? 25000000 等式组称为二元一次不等式组。 x(12%) ? y(10)% ? 3000
(3)二元一次不等式(组)的解集:
满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有 序实数对(x,y),所有这样的有序实数(x,y) 构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集。
?1,21?,?2, 22? ; ??1,21?,?2, 22? ?

(4)二元一次不等式(组)的解集与平面直角 坐标系内的点之间的关系:
二元一次不等式(组)的解集是有序实数对, 而点的坐标也是有序实数对,因此,有序 实数对就可以看成是平面内点的坐标, 进而,二元一次不等式(组)的解集就 可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。

3.探究二元一次不等式(组)的解集表示的图形

(1)回忆、思考 ?x ? 1 回忆:初中一元一次 ??x ? 3
不等式(组)的解集

所表示的图形

1

3

思考:在直角坐标系内,二元一次不 等式(组)的解集表示什么图形? (2)探究 从特殊到一般: 先研究具体的二元一 次不等式x-y<6的解集 所表示的图形。
完成课本第83页的表格,并 思考:当点A与点P有相同的 横坐标时,它们的纵坐标有 什么关系?根据此说说,直 线x-y=6左上方的坐标与不等 式x-y<6有什么关系?直线xy=6右下方点的坐标呢?

因此,在平面直角坐标系中,不等式x-y<6 表示直线x-y=6左上方的平面区域;如图。
类似的:二元一次不等式x-y>6表示直线xy=6右下方的区域;如图。
直线叫做这两个区域的边界(虚线表示区域
不包括边界直线)

由特殊例子推广到一般情况:
(3)结论: 二元一次不等式Ax+By+C>0在 平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧
所有点组成的平面区域.(虚线表示区域不包 括边界直线)
4.二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对直线同一侧的所有点(x,y),把它代入 Ax+By+C,所得实数的符号都相同(同侧同号) ,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ,从 Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示直线 Ax+By+C=0哪一侧的区域。
一般在C≠0时,取原点作为特殊点;C=0时,可 取其他特殊点。

应该注意的几个问题:
1、若不等式中不含0,则边界应画成虚线,否则应画成 实线。 2、画图时应非常准确,否则将得不到正确结果。
3、归纳:画二元一次不等式表示的平面区域常 采用“直线定界,特殊点定域”的方法。特殊 地,当
C ? 0 时,常把原点作为此特殊点; C=0时选用其他点。 4、归纳:不等式组表示的平面区域是各个不等式 所表示的平面点集的交集,因而是各个不等式所表 示的平面区域的公共部分。

例1:画出不等式

y

2x+y-6<0

6

表示的平面区域。

解:

o3

x

将直线2X+y-6=0画成虚线

将(0,0)代入2X+y-6

2x+y-6<0

得0+0-6=-6<0

2x+y-6=0

原点所在一侧为 2x+y-6<0表示平面区域

平面区域的确定常采 用“直线定界,特殊 点定域”的方法。

练习1:
画出下列不等式表示的平面区域:

(1)2x+3y-6>0 (2)4x-3y≤12

Y

Y

2
X
O3

O3 X -4

(1)

(2)

例2:画出不等式组
?x ? y ? 5 ? 0

Y

??x ? y ? 0

x+y=0

??x ? 3

5

表示的平面区域

解: 0-0+5>0

-5 O

X

1+0>0 x-y+5=0 x=3
注:不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。

练习2 :1.画出下列不等式组表示的平面区域

Y

?y ? x ??x ? 2 y ? 4 ??y ? ?2

2

o

4

(1)

-2

x

?x ? 3 ??2 y ? x
??3x ? 2 y ? 6 (2)
??3y ? x ? 9

Y

3

O

23

X

小结:
二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角 坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所 有点组成的平面区域。 确定步骤:
直线定界,特殊点定域;
若C≠0,则直线定界,原点定域;

练习3:

画出不等式(x+2y+1)(2x+y -2)<0表示的平面区域.

y
2x+y -2=0
(Ⅰ)
x+2y+1=0
o

分析:

(x ? 2y ?1)(2x ? y ? 2) ? 0

? (Ⅰ)

?x ? 2 ??2x ?

y y

?1? 0 ?2?0

或(Ⅱ)

?x?2y?1? 0 ??2x ? y ? 2 ? 0

x 画法: ⑴先画两直线;

本问题能否也只取 (Ⅱ)

⑵画区域(Ⅰ); ⑶画区域(Ⅱ).

一点就确定区域位置

∴区域(Ⅰ)和区域(Ⅱ)为所求区域.

例3:根据所给图形,把图中的平面区域 用不等式表示出来y:
(1)

1

?1 O

x

(2)

y

2

O

5

x

例4:求由三直线x-y=0;x+2y-4=0及y+2=0 所围成的平面区域所表示的不等式。

解:此平面区域在x-y=0的右下方, x-y≥0

Y

x-y=0 它又在x+2y-4=0的左下方, x+2y-4≤0

x+2y-4=0 2

o

4

-2 y+2=0

它还在y+2=0的上方, y+2≥0
则用不等式可表示为:
x ?x ? y ? 0 ??x ? 2 y ? 4 ? 0

??y ? 2 ? 0

小结: (1)二元一次方程Ax+By+C=0表示直线; (2)二元一次不等式Ax+By+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有 点组成的平面区域; (3)Ax+By+C≥0则表示上述两部分的并集(带直线边界的半平面).
注:1.若不等式中不包含“=”,则边界应画成虚线,否则 应画成实线。
2.熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

课堂练习一:

1.点(3,1)和(-4,6)在直线 3x ? 2y ? a ? 0 的两侧,则( )

(A) a ? ?7 或 a ? 24

(B) ?7 ? a ? 24

(C) a ? ?7 或 a ? 24

(D)以上都不对

2.求不等式 x ? 2 ? y ? 2 ≤2 表示的平面区域面积.

课堂练习二:

1. 不 等 式 3x+ay-6<0(a>0) 表 示 的 平 面 区 域 是 在 直 线

D 3x+ay-6=0( )的点的集合.
(A)右上方 (B)左上方 (C)右下方

(D)左下方

2. 点(-2,t)在直线 2x-3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是

__t__?__2____. 3

3. 在Δ ABC中,A(3,-1) , B(-1,1) ,

C(1,3),请写出Δ ABC区域所表示

的二元一次不等式组.

4.已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x2y+c=0的两侧,能否确定c的取值范围?

[课本例3] 要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格,
每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示:

钢型 规格 第一种钢板 第二种钢板

A规格
2 1

B规格
1 2

C规格
1 3

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、
18、27块,用数学关系式和图形表示上述要 求?

[解]:设需截第一种钢板x张,第二种钢板y张,

根据题意可得:?2 x ? y ? 15,

作出以上不等式组 所表示的平面区域:
y

? ?? ?

x x

? ?

2y 3y

? 18, ? 27,

? ?

x

?

0,

?? y ? 0.

15

C ( 4, 8 )

0 7 . 5 18

x + 3 y = 27

27

x

2 x + y = 15 x + 2 y = 18

补充例题 1.某人准备投资 1200 万元兴办一所完全学校,对

教育市场进行调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为

单位)

学段 班级学生数 配备教 硬件建设 教师年薪

师数

(万元)

(万元)

初中

45

2

26/班

2/人

高中

40

3

54/班

2/人

分别用数学关系式和图形来表示上述限制条件。

(注:办学规模以 20~30 个班为宜,教师实行聘任制,要从准备 资金里付给教师一年年薪)

解:设开设初中班x个,高中班y个。因办学规模 以20~30个班为宜,所以, 20≤x+y≤30 而由于资金限制,26x+54y+2×2x+2×3y≤1200 另外,开设的班级不能为负,则x≥0,y≥0。

把上面四个不等式合在一起,得限制条件用数学关系式表示为

y

?20 ? x+y ? 30

??x+2y ? 40

30

??x ? 0

20

??y ? 0

o

20

30

限制条件图形表示为图中绿色阴影部分含边界。

40 x

课本例4、一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,生产1车 皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t;生产1车 皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库 存磷酸盐10t、硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥 料。列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面 区域。
解:设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合 肥料的车皮数,于是满足条件的数学关系式是:

?4x+y ? 10

y

??18x+15y ? 66 ??x ? 0

??y ? 0

x

条件表示的平面区域为图中红色阴影部分含边界。

o

求不等式组表示的平面区域的面积
例4. 由直线L1 :x + y + 2 = 0 , L2 :x + 2y +1 = 0 和L3 :2x + y +1 = 0围成的三角形区域
(包括边界)用不等式可表示为_______ 该区域的面积为_________
EX:

?x ? 4 y ≤ ?3

思考:不等式组 ??3x ? 5y ≤ 25 表示的平面区域如下图.

??x ≥1 在平面区域内

y
A:(5.00, 2.00) B:(1.00, 1.00)

问题1:x 有无最大(小)值?

C C:(1.00, 4.40)

5
问题2:y 有无最大(小)值?

x-4y+3=0

问题3:z=2x+y 有无最大(小)值? B
O1
x=1

A
x
3x+5y-25=0
5



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