9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2015年高一数学第一章


第一章 1.1.1

集合与函数概念 集 合

1.1 第 1 课时

集合的含义与表示 集合的含义


基础达标
1.考察下列每组对象,能组成一个集合的是( ①聪明的学生;②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;③不小于 3 的正整数;④ 2的近 似值. A.①② B.③④ C.②③ D.①③

解析 ①“聪明”这个词界限不确定,不明确哪些元素在该集合中,故①不能构成集合; ②直角坐标系中横、纵坐标相等的点是一个确定的标准,故②能构成集合; ③不小于 3 的正整数,即 3,4,5,??显然③能构成集合; ④ 2的近似值,太笼统,没有确定的界限(精确度),构不成集合. 答案 C 2.下面有四个语句: ①集合 N*中最小的数是 0;②-a?N,则 a∈N;③a∈N,b∈N,则 a+b 的最小值是 2; ④x2+1=2x 的解集中含有 2 个元素. 其中正确语句的个数是( A.0 B.1 C.2 D.3 ).

解析 N*是不含 0 的自然数,所以①错;取 a= 2,则- 2?N, 2?N,所以②错;对于 ③,当 a=b=0 时,a+b 取得最小值是 0,而不是 2,所以③错;对于④,解集中只含有 元素 1,故④错. 答案 A 3.已知集合 A 含有三个元素 2,4,6,且当 a∈A,有 6-a∈A,则 a 为( A.2 B.2 或 4 C.4 D.0 解析 若 a=2∈A,则 6-a=4∈A;或 a=4∈A, 则 6-a=2∈A;若 a=6∈A,则 6-a=0?A.故选 B. ).

答案 B 4.已知集合 A 中只有一个元素 1,若|b|∈A,则 b=________. 解析 由题意,|b|=1,∴b=± 1. 答案 ± 1 5.用符号“∈”或“?”填空. 设集合 M 中的元素为平行四边形,p 表示某个矩形,q 表示某个梯形,则 p________M, q________M. 解析 矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故 p∈M,q?M. 答案 ∈ ?

b 6.设 a,b∈R,集合 A 中有三个元素 1,a+b,a,集合 B 中含有三个元素 0,a,b,且 A =B,则 a+b=________. 解析 由于 B 中元素是 0, b a,b,故 a≠0,b≠0. 又 A=B,∴a+b=0. 答案 0 7.已知集合 M 是由三个元素-2,3x2+3x-4,x2+x-4 组成,若 2∈M,求 x. 解 当 3x2+3x-4=2 时,

即 x2+x-2=0, 则 x=-2 或 x=1. 经检验,x=-2,x=1 均不合题意. 当 x2+x-4=2 时, 即 x2+x-6=0,则 x=-3 或 2. 经检验,x=-3 或 x=2 均合题意. ∴x=-3 或 x=2.

能力提升
8.(2013· 青岛高一检测)若一个集合中的三个元素 a,b,c 是△ABC 的三边长,则此三角形一 定不是 ( ) B.直角三角形

A.锐角三角形

C.钝角三角形 解析 由集合元素的互异性,a≠b≠c, ∴△ABC 一定不是等腰三角形. 答案 D

D.等腰三角形

9. (2013· 重庆高一检测)由实数 t, |t|, t2 , -t, t3 所构成的集合 M 中最多含有________个元素. 解析 由于|t|至少与 t 和-t 中的一个相等, 故集合 M 中至多有 4 个元素. 如当 t=-2 时, t,-t,t2,t3 互不相同,集合 M 含有 4 个元素. 答案 4 10.已知数集 A 满足条件:若 a∈A,则 解 ∵2∈A,由题意可知, 1 ∈A(a≠1),如果 a=2,试求出 A 中的所有元素. 1-a

1 =-1∈A, 1-2

由-1∈A 可知,

1 1 =2∈A; 1-?-1?

1 1 由2∈A 可知, 1=2∈A. 1-2 1 故集合 A 中共有 3 个元素,它们分别是-1, ,2. 2

第 2 课时
1.下列集合中表示同一集合的是( A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={3,2},N={2,3} C.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} D.M={1,2},N={(1,2)} ).

集合的表示

基础达标

解析 A 中 M、N 都为点集,元素为点的坐标,顺序不同表示的点不同;C 中 M、N 分别 表示点集和数集;D 中 M 为数集,N 为点集. 答案 B 2.集合{x∈N|-1≤x<5}用列举法表示为( A.{0,1,2,3,4} B.{-1,0,1,2,3,4} ).

C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5} 解析 ∵-1≤x<5,且 x∈N,故 x=0,1,2,3,4. 答案 A 3.下列说法:①集合{x∈N|x3=x}用列举法表示为{-1,0,1}; ②实数集可以表示为{x|x 为所有实数}或{R}; ?x+y=3 ③方程组? 的解集为{x=1,y=2}. ?x-y=-1 其中正确的有( A.3 个 B.2 个 ). C.1 个 D.0 个

解析 ①中,由 x3=x,x∈N,∴x=0,1,因此①不正确. ②中,“{ }”含有“全体”、“所有”等含义,且“R”表示所有实数构成的集合.所以

实数集应为 R 或{x|x 为实数},因此②错误. ③中方程组的解集为{(1,2)},③错误. 答案 D 4.直线 y=2x+1 与 y 轴的交点所组成的集合为________. ?y=2x+1, ?x=0, 解析 由? 得? ?x=0 ?y=1, ∴两直线的交点为(0,1),所求集合为{(0,1)}. 答案 {(0,1)} 5.有下面四个结论: ①0 与{0}表示同一个集合; ②集合 M={3,4}与 N={(3,4)}表示同一个集合; ③方程(x-1)2(x-2)=0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}; ④集合{x|4<x<5}不能用列举法表示. 其中正确的结论是________(填写序号). 解析 {0}表示元素为 0 的集合,而 0 只表示一个元素,故①错误;②集合 M 是实数 3,4 的集合,而集合 N 是实数对(3,4)的集合,不正确;③不符合集合中元素的互异性,错误; ④中元素有无穷多个,不能一一列举,故不能用列举法表示. 答案 ④ 6.设-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2+ax+3=0}=________.

解析 由题意知,-5 是方程 x2-ax-5=0 的一个根, ∴(-5)2+5a-5=0,解得 a=-4. 则方程 x2+ax+3=0 即为 x2-4x+3=0, 解得 x=1 或 x=3. ∴{x|x2-4x+3=0}={1,3}. 答案 {1,3} 7.已知集合 A={x∈R|ax2-3x+1=0,a∈R}. (1)若 1∈A,求 a 的值; (2)若 A 为单元素集合,求 a 的值; (3)若 A 为双元素集合,求 a 的范围. 解 (1)∵1∈A,∴a×12-3×1+1=0,∴a=2.

1 (2)当 a=0 时,x=3; 9 当 a≠0 时,Δ=(-3)2-4a=0,∴a=4. 9 ∴a=0 或 a= 时 A 为单元素集合. 4 (3)当 a≠0,且 Δ=(-3)2-4a>0, 9 即 a<4且 a≠0 时, 方程 ax2-3x+1=0 有两解, 9 ∴a<4且 a≠0.

能力提升
8.已知 x,y 为非零实数,则集合
? x y xy ? M=?m|m=|x|+|y|+|xy|?为( ? ?

). C.{-1,3} D.{1,-3}

A.{0,3}

B.{1,3}

解析 当 x>0,y>0 时,m=3, 当 x<0,y<0 时,m=-1-1+1=-1. 若 x,y 异号,不妨设 x>0,y<0,

则 m=1+(-1)+(-1)=-1. 因此 m=3 或 m=-1,则 M={-1,3}. 答案 C 9.如图所示,图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________. 解析 图中阴影部分点的横坐标

-1≤x≤3,纵坐标为 0≤y≤3, 故用描述法可表示为 ? ??-1≤x≤3? ? ? ? ?x,y? ?? ??0≤y≤3 ? ? ? .

答案 {(x,y)|-1≤x≤3,且 0≤y≤3}. 10.已知集合 M={0,2,4},定义集合 P={x|x=ab,a∈M,b∈M},求集合 P. 解 ∵a∈M,b∈M,∴a=0,2,4,b=0,2,4.

当 a,b 至少有一个为 0 时,x=ab=0; 当 a=2 且 b=2 时,x=ab=4; 当 a=2 且 b=4 时,x=ab=8; 当 a=4 且 b=2 时,x=ab=8; 当 a=4 且 b=4 时,x=ab=16. 根据集合中元素的互异性,知 P={0,4,8,16}

1.1.2

集合间的基本关系
基础达标
).

1.已知集合 A={2,-1},B={m2-m,-1},且 A=B,则实数 m=( A.2 B.-1 C.2 或-1 D.4 解析 ∵A=B,∴m2-m=2,即 m2-m-2=0, ∴m=2 或-1.答案 C

2.已知 M={-1,0,1},N={x|x2+x=0},则能表示 M,N 之间关系的 Venn 图是(

).

解析 M={-1,0,1},N={0,-1},∴M 答案 C 3.(2013· 深圳高一检测)满足 M A.8 B.7 C.6 解析 ∵M 答案 B D.5

N.

{1,2,3}的集合 M 的个数是(

).

{1,2,3},∴M 可能为?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共 7 个.

4.已知集合 A={-1,3,m},B={3,4},若 B?A,则实数 m=________. 解析 ∵B?A,∴元素 3,4 必为 A 中元素,∴m=4. 答案 4 5.已知? {x|x2-x+a=0},则实数 a 的取值范围是________. {x|x2-x+a=0},

解析 ∵?

∴Δ=(-1)2-4a≥0, 1 ∴a≤4. 答案
? ? ? 1 ?a?a≤ 4 ? ? ? ? ? ? ? ?

6. 若集合 P={x|x2-3x+2=0}, 集合 Q={x|x<3 且 x∈N*}, 则集合 P、 Q 的关系是________. 解析 ∵P={x|x2-3x+2=0}={1,2}, Q={x|x<3 且 x∈N*}={1,2}. ∴P=Q. 答案 P=Q 7.(2013· 鹤壁高一检测)已知集合 A={x|x2-5x-6=0},B={x|mx+1=0},若 B?A,求实数 m 组成的集合. 解 ∵A={x|x2-5x-6}={-1,6},

B={x|mx+1=0}, 又 B?A,∴B=?或 B={-1}或 B={6}. 当 B=?时,m=0; 当 B={-1}时,m=1; 1 当 B={6}时,m=-6.

? 1 ? ∴实数 m 组成的集合为?-6,0,1?. ? ?

能力提升
? ? ? ? k k 8.已知集合 A=?x|x=3,k∈Z?,B=?x|x=6,k∈Z?,则( ? ? ? ?

).

A.A C.A=B

B

B.B A D.A 与 B 关系不确定

k m m 1 解析 对 B 集合中, x=6, k∈Z, 当 k=2m 时, x= 3 , m∈Z; 当 k=2m-1 时, x= 3 -6, m∈Z,故按子集的定义,必有 A 答案 A 9. 已知 M={y|y=x2-2x-1, x∈R}, N={x|-2≤x≤4}, 则集合 M 与 N 之间的关系是________. 解析 由 y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2, ∴M={y|y≥-2}, 又 N={x|-2≤x≤4},故 N 答案 N M M. B.

10.已知集合 A={x|x+2>0},B={x|ax-3<0},且 B?A,求 a 的取值范围. 解 ∵A={x|x>-2},B={x|ax<3}.

(1)当 a=0 时,B=R,不满足 B?A.
? ? ? ? 3 ? (2)当 a>0 时,B=?x?x<a ?,不满足 B?A. ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ? (3)当 a<0 时,B=?x?x>a ?,要使 B?A. ? ? ? ? ?

3 3 只需a≥-2,即 a≤-2.
? ? ? ? 3 ? 综上可知 a 的取值范围为?a?a≤-2 ?. ? ? ? ? ?

1.1.3 集合的基本运算 第 1 课时 并集、交集
基础达标

1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N=( A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 解析 N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}. 又 M={-1,0,1},∴M∩N={0,1}. 答案 B 2.若集合 A={x||x|≤1},B={x|x≥0},则 A∩B=( A.{x|-1≤x≤1} C.{x|0≤x≤1}

).

).

B.{x|x≥0} D.?

解析 ∵A={x|-1≤x≤1},又 B={x|x≥0}, ∴A∩B={x|-1≤x≤1}∩{x|x≥0}={x|0≤x≤1}. 答案 C 3.集合 A={0,2,a},B={1,a2},若 A∪B={0,1,2,4,16},则 a 的值为( A.0 B.1 C.2 D.4 ).

解析 ∵A∪B={0,1,2,a,a2},又 A∪B={0,1,2,4,16}, ∴{a,a2}={4,16},∴a=4. 答案 D 4.已知集合 M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则 P 的子集的个数是________. 解析 ∵M={0,1,2,3,4},N={1,3,5}, ∴M∩N={1,3}. ∴M∩N 的所有子集为?,{1},{3},{1,3},共 4 个. 答案 4 5.已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|x<-2 或 x>5},则 A∪B=________. 解析 将-3≤x≤4 与 x<-2 或 x>5 在数轴上表示出来

由图可得: A∪B={x|x≤4 或 x>5}. 答案 {x|x≤4 或 x>5} 6.若集合 A={x|x≤2},B={x|x≥a},满足 A∩B={2},则实数 a=________. 解析 ∵A∩B={x|a≤x≤2}={2},

∴a=2. 答案 2 7.定义 A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B},若 A={1,2,3},B={1,2}. (1)求 A*B; (2)求 A∩(A*B)∪B. 解 (1)∵A={1,2,3},B={1,2},

∴A*B={x|x=x1+2x2,x1∈A,x2∈B}={3,4,5,6,7}. (2)A∩(A*B)∪B={1,2,3}∩{3,4,5,6,7}∪{1,2} ={3}∪{1,2}={1,2,3}.

能力提升
8.已知集合 A={(x,y)|y=2x+1},B={x|y=x-1},则 A∩B=( A.{-2} C.? B.{(-2,-3)} D.{-3} ).

解析 由于 A 是点集,B 是数集,∵A∩B=?. 答案 C 9.设集合 A={-2},B={x|ax+1=0,a∈R},若 A∪B=A,则 a=________. 解析 ∵A∪B=A,∴B?A. ∵A={-2}≠?,∴B=?或 B≠?. 当 B=?时,方程 ax+1=0 无解,此时 a=0.
? 1? 1 当 B≠?时,此时 a≠0,则 B=?-a?,∴-a∈A, ? ?

1 1 即有-a=-2,得 a=2. 1 综上,得 a=0 或 a= . 2 1 答案 0 或2 10.集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2+2x-8=0}. (1)若 A∩B=A∪B,求 a 的值; (2)若? 解 A∩B,A∩C=?,求 a 的值.

由已知,得 B={2,3},C={2,-4}.

(1)∵A∩B=A∪B,∴A=B.于是 2,3 是一元二次方程 x2-ax+a2-19=0 的两个根,由根 与系数之间的关系知: ?2+3=a, ? 解之得 a=5. 2 ?2×3=a -19, (2)由 A∩B ??A∩B≠?,又 A∩C=?,

得 3∈A,2?A,-4?A. 由 3∈A 得 32-3a+a2-19=0, 解得 a=5 或 a=-2.当 a=5 时, A={x|x2-5x+6=0}={2,3},与 2?A 矛盾; 当 a=-2 时,A={x|x2+2a-15=0}={3,-5},符合题意.

第 2 课时

补集及集合运算的综合应用
基础达标
).

1.设全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3,5},B={2,4,5},则(?UA)∩(?UB)等于( A.? B.{4} C.{1,5} D.{2,5} 解析 ?UA={2,4},?UB={1,3}, ∴(?UA)∩(?UB)=?,故选 A. 答案 A

2. (2013· 济南高一检测)若全集 U={1,2,3,4,5,6}, M={2,3}, N={1,4}, 则集合{5,6}等于( A.M∪N C.(?UM)∪(?UN) B.M∩N D.(?UM)∩(?UN)

).

解析 ∵?UM={1,4,5,6},?UN={2,3,5,6}, ∴(?UM)∩(?UN)={5,6}. 答案 D 3. 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, 且 A∪(?RB)=R, 则实数 a 的取值范围是( A.a≤1 B.a<1 C.a≥2 D.a>2 ).

解析 如图所示,若能保证并集为 R,则只需实数 a 在数 2 的右边(含端点 2).∴a≥2. 答案 C

4.设全集 U=A∪B={x∈N* |0<x<10},若 A∩(?UB)={m|m=2n+1,n=0,1,2,3,4},则集合 B =________. 解析 由题意,得 U=A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, A∩(?UB)={1,3,5,7,9},∴B={2,4,6,8}. 答案 {2,4,6,8} 5.(2013· 抚顺高一检测)设 U=R,A={x|x>0},B={x|x>1},则 A∩(?UB)=________. 解析 ∵?UB={x|x≤1},借助数轴可以求出?UB 与 A 的交集为图中阴影部分,即{x|0<

x≤1}.

答案 {x|0<x≤1} 6.设全集 U=R,集合 A={x|x≥0},B={y|y≥1},则?UA 与?UB 的包含关系是________. 解析 先求出?UA={x|x<0},?UB={y|y<1}={x|x<1}. ∴?UA 答案 ?UA ?UB. ?UB

7.(2013· 佛山高一检测)设全集为 R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求: (1)A∩B;(2)?RA;(3)?R(A∪B). 解 (1)∵A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},

∴A∩B={x|3≤x<7}. (2)又全集为 R,A={x|3≤x<7}, ∴?RA={x|x<3 或 x≥7}. (3)∵A∪B={x|2<x<10},∴?R(A∪B)={x|x≤2 或 x≥10}.

能力提升
8.如图所示,阴影部分表示的集合是( ).

A.A∩(B∩C) B.(?UA)∩(B∩C)

C.C∩?U(A∪B) D.C∩?U(A∩B)

解析 由于阴影部分在 C 中,均不在 A、B 中,则阴影部分表示的集合是 C 的子集,也是

?U(A∪B)的子集,即是 C∩?U(A∪B). 答案 C 9.已知全集 U={x|1≤x≤5},A={x|1≤x<a},若?UA={x|2≤x≤5},则 a=________. 解析 ∵A={x|1≤x<a},?UA={x|2≤x≤5}, ∴A∪(?UA)=U={x|1≤x≤5},且 A∩(?UA)=?,因此 a=2. 答案 2 10.(2013· 温州高一检测)已知 A={x|-1<x≤3},B={x|m≤x<1+3m}. (1)当 m=1 时,求 A∪B; (2)若 B??RA,求实数 m 的取值范围. 解 (1)m=1,B={x|1≤x<4},

A∪B={x|-1<x<4}. (2)?RA={x|x≤-1 或 x>3}. 1 当 B=?时,即 m≥1+3m 得 m≤-2,满足 B??RA, 当 B≠?时,使 B??RA 成立, ?m<1+3m, ?m<1+3m, 则? 或? ?1+3m≤-1 ?m>3, 解之得 m>3. 1 综上可知,实数 m 的取值范围是 m>3 或 m≤-2.

周练(一)
(时间:80 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

集合

满分:100 分)

1.已知集合 A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则( A.A B B.B A

).

C.A=B

D.A∩B=? A.

解析 A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<1}.∴B 答案 B

2.已知 S={(x,y)|y=1,x∈R},T={(x,y)|x=1,y∈R},则 S∩T=( A.空集 B.{1}

).

C.(1,1)

D.{(1,1)}

解析 集合 S 表示直线 y=1 上的点,集合 T 表示直线 x=1 上的点,S∩T 表示直线 y=1 与直线 x=1 的交点. ∴S∩T={(1,1)}. 答案 D 3. 已知集合 A={1,2,3,4,5}, B={(x, y)|x∈A, y∈A, x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为( A.3 B.6 C.8 D.10 ).

解析 由 x∈A,y∈A,x-y∈A, 得 x=2 时,y=1; x=3 时,y=1,或 y=2; x=4 时,y=1,或 y=2,或 y=3; x=5 时,y=1,或 y=2,或 y=3,或 y=4. ∴B 中共有 10 个元素. 答案 D 4.已知集合 M={x|x-2>0,x∈R},N={y|y= x2+1,x∈R},则 M∪N 等于( A.{x|x≥1} C.{x|x>2} B.{x|1≤x<2} D.{x|x>2 或 x<0} ).

解析 M={x|x>2},N={y|y≥1},∴M∪N={x|x≥1}. 答案 A 5.已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?
UB)=(

). B.{7,9} C.{0,1,3} D.{2,4,6}

A.{5,8}

解析 ∵A={0,1,3,5,8},B={2,4,5,6,8}, ∴?UA={2,4,6,7,9},?UB={0,1,3,7,9}. 因此(?UA)∩(?UB)={7,9}. 答案 B 6.设集合 A={x|y=x2-4},B={y|y=x2-4},C={(x,y)|y=x2-4},则下列关系: ①A∩C=?;②A=C;③A=B;④B=C.其中不正确的共有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ).

解析 易知 A=R,B={y|y≥-4},C 为点集,

∴A∩C= ? ,①正确,②③④均不正确. 答案 C 7.如图,I 是全集,A、B、C 是它的子集,则阴影部分所表示的集合是( ).

A.(B∩?IA)∩C C.(A∩B)∩?IC 答案 D

B.(A∪?IB)∩C D.(A∩?IB)∩C

8. 已知全集 U=R, 集合 A={x|x≤1 或 x≥3}, 集合 B={x|k<x<k+1, k∈R}, 且(?UA)∩B≠ ? , 则实数 k 的取值范围为( A.k<0 或 k>3 C.0<k<3 解析 ?UA={x|1<x<3},(?UA)∩B≠?, ∴1<k<3 或 1<k+1<3. 因此 k 的取值范围是 0<k<3. 答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.(2013· 温州高一检测)设 A∪{-1,1}={-1,1},则满足条件的集合 A 共有________个. 解析 ∵A∪{-1,1}={-1,1},∴A?{-1,1}, 故满足条件的集合 A 为:?,{-1},{1}或{-1,1}共 4 个. 答案 4 10.设全集 U=R,A={x∈N|1≤x≤10},B={x∈R|x2+x-6=0},则右图 中阴影表示的集合为________. 解析 A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},B={-3,2}, ∴阴影表示的集合为 A∩B={2}. 答案 {2} 11.设集合 A={x|-1<x<2},B={x|x<a},若全集 U=R,且?UB 范围是________. 解析 ∵?UB ?UA,知 A B, ?UA,则实数 a 的取值 ). B.2<k<3 D.-1<k<3

又 A={x|-1<x<2},B={x|x<a}, ∴a≥2. 答案 a≥2 12.设集合 A={x|x+m≥0},B={x|-2<x<4},全集 U=R,且(?UA)∩B=?,则实数 m 的 取值范围是________. 解析 ∵A={x|x≥-m},U=R, ∴?UA={x|x<-m},

要使(?UA)∩B=?,只需-m≤-2,∴m≥2. 答案 {m|m≥2} 三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) 13.已知集合 A={1,3,5},B={1,2,x2-1},若 A∪B={1,2,3,5},求 x 及 A∩B. 解 ∵B?(A∪B),∴x2-1∈A∪B.

∴x2-1=3 或 x2-1=5. 解得 x=± 2 或 x=± 6. 若 x2-1=3,则 A∩B={1,3}, 若 x2-1=5,则 A∩B={1,5}. 综上可知:x=± 2 时,A∩B={1,3}; x=± 6时,A∩B={1,5}. 14.设集合 A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且 A≠B,A∪B={-3,4},A∩B ={-3}, 求实数 b,c 的值. 解 ∵A∩B={-3},∴-3∈A,则 9-3a-12=0,

∴a=-1,从而 A={-3,4}, 由于 A≠B,因此集合 B 只有一个元素-3, 即 x2+bx+c=0 有等根.
2 ??-3? -3b+c=0, ?b=6, ∴? 2 解之得? ?b -4c=0, ?c=9,

所以实数 b,c 的值分别为 6,9. 15.已知全集 U=R,集合 A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}. (1)求?U(A∩B);

(2)若集合 C={x|2x+a>0}满足 B∪C=C,求实数 a 的取值范围. 解 (1)B={x|x≥2},A={x|-1≤x<3},

∴A∩B={x|2≤x<3}, 因此?U(A∩B)={x|x<2 或 x≥3},
? a? (2)由 2x+a>0,得 C=?x|x>-2?, ? ?

又 B∪C=C,知 B?C, a ∴-2<2,∴a>-4. 16.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={x|x2-5x+m=0},B={x|x2+nx+12=0},且(?UA)∪B= {1,3,4,5},求 m+n 的值. 解 ∵U={1,2,3,4,5},(?UA)∪B={1,3,4,5},

∴2∈A,又 A={x|x2-5x+m=0}, ∴2 是关于 x 的方程 x2-5x+m=0 的一个根,得 m=6, ∴A={2,3}, ∴?UA={1,4,5},而(?UA)∪B={1,3,4,5}, ∴3∈B,又 B={x|x2+nx+12=0}, ∴3 一定是关于 x 的方程 x2+nx+12=0 的一个根. ∴n=-7,∴B={3,4}, ∴m+n=-1.

1.2 函数及其表示
1.2.1
1.下列对应法则是集合 M 上的函数的有(

函数的概念
基础达标 ).

①M=Z,N=N*, 对应法则 f:对集合 M 中的元素,取绝对值与 N 中的元素对应; ②M={1,-1,2,-2},N={1,4},对应法则 f:x→y=x2,x∈M,y∈N; ③M={三角形},N={x|x>0},对应法则 f:对 M 中的三角形求面积与 N 中元素的对应. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个

解析 ①M 中的元素 0 在 N 中无对应元素,③M 中的元素不是数集.②是函数. 答案 A

2.(2013· 九江高一检测)函数 f(x)= x-2+ A.[2,+∞) B.(3,+∞)

1 的定义域是( x-3

).

C.[2,3)∪(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞) ?x-2≥0, 解析 要使函数有意义,需满足? ?x-3≠0, 解之得 x≥2,且 x≠3. 答案 C 3.若函数 f(x)=ax2-1,a 为一个正常数,且 f[f(-1)]=-1,那么 a 的值是( A.1 B.0 C.-1 D.2 ).

解析 f(-1)=a· (-1)2-1=a-1, f[f(-1)]=a· (a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1. ∴a3-2a2+a=0,∴a=1 或 a=0(舍去). 答案 A 4.下列各组函数是相等函数的是________(只填序号). ①f(x)=x-1,g(x)=( x-1)2; ②f(x)=|x-3|,g(x)= ?x-3?2; x2-4 ③f(x)= ,g(x)=x+2; x-2 ④f(x)= ?x-1??x-3?,g(x)= x-1· x-3. 解析 ①③④中两函数定义域不同,②是相等函数.答案 5.设 f(x)=2x2+2,g(x)= 1 ,则 g[f(2)]=________. x+2 1 1 =12.答案 10+2 1 12 ②

解析 ∵f(2)=2×22+2=10,∴g[f(2)]=g(10)=

6.如果函数 f:A→B,其中 A={-3,-2,-1,1,2,3,4},对于任意 a∈A,在 B 中都有唯一确 定的|a|和它对应,则函数的值域为________. 解析 由题意知,对 a∈A,|a|∈B,故函数值域为{1,2,3,4}.答案 7.求函数 f(x)= ?x+2?2 ?3? - 2-x的定义域,并求 f?4?的值. ? ? x+2 {1,2,3,4}



?x+2≠0, 要使 f(x)有意义,需使? 解之得 x≤2,且 x≠-2, ?2-x≥0,

∴原函数的定义域为{x|x≤2,且 x≠-2}. 又 f(x)=x+2- 2-x,x≤2 且 x≠-2, ?3? 3 ∴f?4?=4+2- ? ? 3 11-2 5 2-4= . 4 能力提升 8.下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| C.f(x)=x+1 解析 C 中,f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2. ∴f(2x)≠2f(x),则 C 项不满足 f(2x)=2f(x). 答案 C ? x? 9.已知函数 f(x)的定义域为(-1,1),则函数 g(x)=f?2?+f(x-1)的定义域是________. ? ? x ? ?-1< <1, ?-2<x<2, 2 解析 由题意知? 即? ?0<x<2. ? ?-1<x-1<1, 从而 0<x<2,于是函数 g(x)的定义域为(0,2).答案 10.已知函数 f(x)= x2 . 1+x2 (0,2) ). B.f(x)=x-|x| D.f(x)=-x

?1? ?1? (1)求 f(2)与 f?2?,f(3)与 f?3?; ? ? ? ? ?1? (2)由(1)中求得的结果,你能发现 f(x)与 f?x?有什么关系?证明你的发现. ? ? 解 x2 1 (1)由 f(x)= , 2=1- 2 1+x x +1 1 4 ?1? 1 1 =5,f?2?=1-1 =5. ? ? 2 +1 4+1
2

∴f(2)=1-

f(3)=1-

1 9 1 1 ?1? =10,f?3?=1-1 =10. ? ? 3 +1 9+1
2

?1? (2)由(1)中发现 f(x)+f?x?=1. ? ? x ?1? 证明 f(x)+f?x?= + ? ? 1+x2 x2 1 = =1. 2+ 2 1+x x +1
2

1 x2 1 1+x2

1.2.2 函数的表示法 第 1 课时 函数的表示法
基础达标 1.若 f(x+2)=2x+3,f(3)的值是( A.9 B.7 C.5 D.3 C ).

解析 令 x+2=3,则 x=1,∴f(3)=2×1+3=5.答案 2.下列图形中,不可能作为函数 y=f(x)图象的是( ).

解析 对 C,当 x=0 时,有两个不同的值与之对应,不符合函数概念,故 C 不可能作为 函数图象.答案 C ). B.f(x)=x2-2x+1 D.f(x)=x2-2x-1

3.已知 f(x-1)=x2,则 f(x)的解析式为( A.f(x)=x2+2x+1 C.f(x)=x2+2x-1

解析 令 x-1=t,则 x=t+1,∴f(t)=f(x-1)=(t+1)2=t2+2t+1, ∴f(x)=x2+2x+1.答案 A

4.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出

x f(x) x

1 2 1

2 1 2

3 1 3

g(x)

3

2

1

(1)f[g(1)]=________;(2)若 g[f(x)]=2,则 x=________. 解析 由表知 g(1)=3,∴f[g(1)]=f(3)=1; 由表知 g(2)=2,又 g[f(x)]=2,得 f(x)=2, 再由表知 x=1.答案 1 1

5.如图,函数 f(x)的图象是曲线 OAB,其中点 O,A,B 的坐标分别为(0,0),(1,2),(3,1),那

? 1 ? 么 f?f?3??的值等于________. ? ? 解析 由函数 f(x)图象,知 f(1)=2,f(3)=1, ? 1 ? ∴f?f?3??=f(1)=2.答案 ? ? 2

6. (2013· 陕西师大附中高一检测)已知 f(x)是一次函数, 满足 3f(x+1)=6x+4, 则 f(x)=________. 解析 设 f(x)=ax+b(a≠0),则 f(x+1)=a(x+1)+b=ax+a+b, 依题设,3ax+3a+3b= 6x+4, a=2, ? ? ?3a=6, ∴? ∴? 2 b=-3, ?3a+3b=4, ? ? 2 答案 2x-3 7.画出二次函数 f(x)=-x2+2x+3 的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较 f(0)、f(1)、f(3)的大小; (2)若 x1<x2<1,比较 f(x1)与 f(x2)的大小; (3)求函数 f(x)的值域. 解 f(x)=-(x-1)2+4 的图象,如图所示: 2 则 f(x)=2x-3.

(1)f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0, ∴f(1)>f(0)>f(3).

(2)由图象可以看出, 当 x1<x2<1 时, 函数 f(x)的函数值随着 x 的增大而增大,∴f(x1)<f(x2). (3)由图象可知二次函数 f(x)的最大值为 f(1)=4,则函数 f(x)的值域为(-∞,4]. 能力提升 8.某航空公司规定,乘客所携带行李的重量(kg)与其运费(元)由图所示的函数图象确定,那 么乘客免费可携带行李的最大重量为( ).

A.50 kg B.30 kg C.19 kg D.40 kg

解析

由题图知函数的图象是一条直线,可以用一次函数表示,设为 y= kx + b ,将点

(30,330),(40,630)代入得 k=30,b=-570, ∴y=30x-570,令 y=0 得 x=19. 答案 C 9.函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞),且对于定义域内的任意 x,y 都有 f(xy)=f(x)+f(y),且 f(2)=1,则 f( 2)的值为________. 解析 依据题意令 x=y= 2,由 f(xy)=f(x)+f(y),得 f( 2× 2)=f( 2)+f( 2), 1 即 f(2)=2f( 2)=1,所以 f( 2)=2. 1 答案 2 10.已知二次函数 f(x)满足 f(0)=0 且 f(x+1)=f(x)+x+1,g(x)=2f(-x)+x.求: (1)f(x)的表达式; (2)f[g(x)]的表达式. 解 (1)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

∵f(0)=0,∴c=0, 则 f(x)=ax2+bx. ∴f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1) =ax2+2ax+a+bx+b=ax2+(2a+b)x+a+b. f(x)+x+1=ax2+bx+x+1=ax2+(b+1)x+1. 由 f(x+1)=f(x)+x+1 得: ?2a+b=b+1, 1 1 1 1 ?1 ? ? 解得 a=b=2.∴f(x)=2x2+2x.(2)∵g(x)=2?2?-x?2+2?-x??+x=x2, ? ? ?a+b=1, 1 1 ∴f[g(x)]=f(x2)=2x4+2x2.

第 2 课时
?1,x>0, 1.设 f(x)=?0,x=0, ?-1,x<0,
A.1 B.0 C.-1 D.π

分段函数及映射
基础达标 ?1,x为有理数, g(x)=? 则 f[g(π)]的值为( ?0,x为无理数,

).

解析 由题设,g(π)=0,f[g(π)]=f(0)=0.答案 2.f(x)=|x-1|的图象是( ).

B

?x-1,x≥1, 解析 ∵f(x)=|x-1|=? x=1 时,f(1)=0 可排除 A、C.又 x=-1 时 f(-1) ?1-x,x<1, =2,排除 D. 答案 B ?-x,x≤0, 3.设函数 f(x)=? 2 若 f(α)=4,则实数 α=( ?x ,x>0. A.-4 或-2 C.-2 或 4 B.-4 或 2 D.-2 或 2 ).

解析 当 α≤0 时,f(α)=-α=4,∴α=-4; 当 α>0 时,f(α)=α2=4,∴α=2 或-2(舍去). 答案 B 4. (2013· 郑州高一检测)设 f: x→ax-1 为从集合 A 到 B 的映射, 若 f(2)=3, 则 f(3)=________. 解析 由 f(2)=3,可知 2a-1=3,∴a=2,∴f(3)=3a-1=3×2-1=5. 答案 5
2 ?1-x ,x≤1, ? 1 ? ? 5.设函数 f(x)= 2 则 f?f?2??的值是________. ? ? ?x +x-2,x>1,

解析 f(2)=22+2-2=4,∴ 15 答案 16

1 1 ? 1 ? ?1? ?1? 15 =4,∴f?f?2??=f?4?=1-?4?2=16. ? ? f?2? ? ? ? ?

?b ?a≥b?, 6.若定义运算 a⊙b=? 则函数 f(x)=x⊙(2-x)的值域是________. ?a ?a<b?, ?2-x ?x≥1?, 解析 由题意知 f(x)=? ?x ?x<1?, 当 x≥1 时,f(x)=2-x≤1; 当 x<1 时,f(x)<1,∴f(x)的值域为(-∞,1].答案 |x|-x 7.已知函数 f(x)=1+ 2 (-2<x≤2). (1)用分段函数的形式表示该函数; (2)画出该函数的图象; (3)写出该函数的值域. 解 x-x (1)当 0≤x≤2 时,f(x)=1+ 2 =1, -x-x 2 =1-x. ?1,0≤x≤2, ∴f(x)=? ?1-x,-2<x<0. (-∞,1]

当-2<x<0 时,f(x)=1+

(2)函数 f(x)的图象如图所示:

(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3). 能力提升 ? ?1?? 8.已知函数 f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则 f?f?3??等于( ? ? ?? ).

1 A.-3

1 B.3

2 C.-3

2 D.3

解析 由图可知,函数 f(x)的解析式为 ?x-1,0<x<1, f(x)=? ?x+1,-1<x<0, 2 ?1? 1 ∴f?3?=3-1=-3, ? ? 2 1 ? ?1?? ? 2? ∴f?f?3??=f?-3?=-3+1=3. ? ? ?? ? ? 答案 B ?1,x≥0, 9.已知 f(x)=? 则不等式 xf(x)+x≤2 的解集是________. ?0,x<0,

解析 当 x≥0 时,f(x)=1,由 xf(x)+x≤2,知 x≤1, ∴0≤x≤1; 当 x<0 时,f(x)=0,∴x<0. 综上:x≤1. 答案 {x|x≤1} 10. 某市出租车的计价标准是: 4 km 以内 10 元, 超过 4 km 且不超过 18 km 的部分 1.2 元/km, 超过 18 km 的部分 1.8 元/km. (1)如果不计等待时间的费用,建立车费与行车里程的函数关系式; (2)如果某人乘车行驶了 20 km,他要付多少车费? 解 (1)由题意知,当 0<x≤4 时,y=10;

当 4<x≤18 时,y=10+1.2(x-4)=1.2x+5.2; 当 x>18 时,y=10+1.2×14+1.8(x-18)=1.8x-5.6.

所以,所求函数关系式为

?10,0<x≤4, y=?1.2x+5.2,4<x≤18, ?1.8x-5.6,x>18.
(2)当 x=20 时,y=1.8×20-5.6=30.4. 所以乘车行驶了 20 km 要付 30.4 元的车费.

周练(二)

函数及其表示
满分:100 分)

(时间:80 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.函数 y=f(x)(f(x)≠0)的图象与 x=1 的交点个数是( A.1 B.2 C.0 或 1 D.1 或 2 解析 结合函数的定义可知,如果 f:A→B 成立,则任意 x∈A,则有唯一确定的 B 与之 对应, 由于 x=1 不一定是定义域中的数, 故 x=1 可能与函数 y=f(x)没有交点, 故函数 f(x) 的图象与直线 x=1 至多有一个交点. 答案 C 2.如下图给出的四个对应关系,其中构成映射的是( ). ).

A.(1)(2) C.(1)(2)(4)

B.(1)(4) D.(3)(4)

解析 在(2)中,元素 1 和 4 没有对应关系,(3)中元素 1 和 2 都有两个元素与它们对应, 不满足映射的定义;(1)、(4)符合映射定义.故选 B. 答案 B 3.(2013· 汕头高一检测)已知正方形的周长为 x,它的外接圆的半径为 y,则 y 关于 x 的解析 式为( 1 A.y=2x ). 2 B.y= 4 x

2 C.y= 8 x

2 D.y= 16 x

2 1 2 2 解析 正方形的对角线长为 4 x,从而外接圆半径为 y=2× 4 x= 8 x. 答案 C 4.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”, 例如解析式为 y=2x2+1,值域为{9}的“孪生函数”三个: (1)y=2x2+1,x∈{-2};(2)y=2x2+1,x∈{2};(3)y=2x2+1,x∈{-2,2}. 那么函数解析式为 y=2x2+1,值域为{1,5}的“孪生函数”共有( A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个 ).

解析 当 y=1 时,x=0; 当 y=5 时,x=± 2. ∴y=2x2+1,x∈{0, 2},或 x∈{0,- 2}或 x∈{0, 2,- 2},则所求的“孪生函 数”有 3 个. 答案 C ?2x,x>0, 5.已知 f(x)=? 则f ?f?x+1?,x≤0, A.-2 B.4 C.2 D.-4 ?4? ? 4? ?3?+f ?-3?的值等于( ? ? ? ? ).

4 8 ?4? 解析 ∵f ?3?=2×3=3, ? ? ? 4? ? 4 ? ? 1? ∴f ?-3?=f ?-3+1?=f ?-3?=f ? ? ? ? ? ? ?4? ? 4? 8 4 ∴f ?3?+f ?-3?=3+3=4. ? ? ? ? 答案 B 6.一列货运火车从某站出发,匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶,过了一段时间,火车到 达下一站停下,装完货以后,火车又匀加速行驶,一段时间后再次匀速行驶.下列图象可 以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( ). ?2? 4 ?3?= . ? ? 3

解析 根据题意,知火车从静止开始匀加速行驶,所以只有 B、C 两项符合题意,然后匀

速行驶一段时间后又停止了一段时间,所以可以确定选 B 项. 答案 B ?1? 7.若函数 f(x)满足关系式 f(x)+2f?x?=3x,则 f(2)的值为( ? ? 3 A.1 B.-1 C.-2 3 D.2 ).

?1? 解析 令 x=2 时,f(2)+2f?2?=6,① ? ? 1 3 ?1? 令 x=2时,f?2?+2f(2)=2.② ? ? 由①、②联立,得 f(2)=-1. 答案 B x2-x+1,x<1, ? ? 8.函数 f(x)=?1 ,x>1, ? ?x ?3 ? A.?4,+∞? ? ?

的值域是(

).

B.(0,1)

?3 ? C.?4,1? ? ?

D.(0,+∞)

? 1? 3 3 解析 f(x)=x2-x+1=?x-2?2+4≥4(x<1), ? ? 1 当 x>1 时,f(x)= x∈(0,1), ?3 ? ∴f(x)的值域(0,1)∪?4,+∞?=(0,+∞). ? ? 答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
2 ?x ,x<0, 9.下列图形是函数 y=? 的图象的是________. ?x-1,x≥0,

解析 由于 f(0)=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1);当 x<0 时,y=x2,则函数是开 口向上的抛物线在 y 轴左侧的部分.因此只有图形③符合. 答案 ③ 10.已知集合 A=R,B={(x,y)|x,y∈R},f:A→B 是从 A 到 B 的映射,f:x→(x+1,x2+

?3 5? 1),求 B 中元素?2,4?与 A 中________对应. ? ? 3 ? ?x+1=2, 由题意知? 5 2 x + 1 = ? ? 4, 1 解得 x=2.答案 1 2

解析

11.若函数 f(x)的定义域为[0,4],则 g(x)= 解析 ∵f(x)的定义域为[0,4],

f?2x? 的定义域为________. x-1

?0≤2x≤4, ∴要使 g(x)有意义,应有? 因此 0≤x≤2,且 x≠1. ?x-1≠0, ∴g(x)的定义域为[0,1)∪(1,2].答案 [0,1)∪(1,2]

?-x-1?-1≤x<0?, 12.已知函数 f(x)=? 则 f(x)-f(-x)>-1 的解集为________. ?-x+1?0<x≤1?, 解析 (1)当-1≤x<0 时,f(x)=-x-1, f(-x)=x+1, 1 1 ∴原不等式化为-x-1-(x+1)>-1,x<-2,因此-1≤x<-2. (2)当 0<x≤1 时, 3 f(x)=-x+1,f(-x)=x-1,∴原不等式化为-2x+2>-1,x<2. 1 因此 0<x≤1.综上(1)、(2)知,原不等式的解集为[-1,-2)∪(0,1]. 1 答案 [-1,-2)∪(0,1] 三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) ?x?x+4? ?x≥0?, 13.已知 f(x)=? 若 f(1)+f(a+1)=5,求 a 的值. ?x?x-4? ?x<0?, 解 f(1)=1×(1+4)=5,∵f(1)+f(a+1)=5,∴f(a+1)=0.

当 a+1≥0,即 a≥-1 时,有(a+1)(a+5)=0,∴a=-1 或 a=-5(舍去); 当 a+1<0,即 a<-1 时,有(a+1)(a-3)=0,无解.综上可知 a=-1. 14.如图所示,函数 f(x)的图象是折线段 A、B、C,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0), (6,4).

(1)求 f[f(0)]的值; (2)求函数 f(x)的解析式. 解 (1)直接由图中观察,可得 f[f(0)]=f(4)=2.

(2)设线段 AB 所对应的函数解析式为 y=kx+b,k≠0, ?x=0, ?x=2 ?4=b, ?b=4, 将? 与? 代入,得? ∴? ∴y=-2x+4(0≤x≤2). ?y=4, ?y=0 ?0=2k+b. ?k=-2. 同理,线段 BC 所对应的函数解析式为 y=x-2(2<x≤6). ?-2x+4,0≤x≤2, 因此函数 f(x)=? ?x-2,2<x≤6. 15.已知函数 f(x)对任意实数 a,b,都有 f(ab)=f(a)+f(b)成立. (1)求 f(0)与 f(1)的值; ?1? (2)求证:f? x?=-f(x); ? ? (3)若 f(2)=p,f(3)=q(p,q 均为常数),求 f(36)的值. (1)解 令 a=b=0,得 f(0)=f(0)+f(0),解得 f(0)=0; 令 a=1,b=0,得 f(0)=f(1)+f(0),解得 f(1)=0. 1 ?1? (2)证明 令 a=x ,b=x,得 f(1)=f? x?+f(x)=0, ? ? ?1? ∴f?x?=-f(x). ? ? (3)解 令 a=b=2,得 f(4)=f(2)+f(2)=2p, 令 a=b=3,得 f(9)=f(3)+f(3)=2q, 令 a=4,b=9,得 f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.

16.如图所示,已知底角为 45° 的等腰梯形 ABCD,底边 BC 长为 7 cm, 腰长为 2 2cm, 当垂直于底边 BC(垂足为 F)的直线 l 从左至右移动(与 梯形 ABCD 有公共点)时,直线 l 把梯形分成两部分,令 BF=x,试写

出左边部分的面积 y 关于 x 的函数解析式,并画出大致图象. 解 过点 A,D 分别作 AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是 G,H.

因为 ABCD 是等腰梯形,底角为 45° ,AB=2 2 cm, 所以 BG=AG=DH=HC=2 cm,又 BC=7 cm, 所以 AD=GH=3 cm. (1)当点 F 在 BG 上时, 1 即 x∈(0,2]时,y=2x2; (2)当点 F 在 GH 上时,即 x∈(2,5]时,y= (3)当点 F 在 HC 上时,即 x∈(5,7]时, y=S 五边形 ABFED=S 梯形 ABCD-SRt△CEF 1 1 =2(7+3)×2-2(7-x)2 1 =-2(x-7)2+10. 综合(1)(2)(3),得函数解析式为 x+?x-2? ×2=2x-2; 2

? ? y=?2x-2,x∈?2,5], 1 ? ?-2?x-7? +10 ,x∈?5,7].
2

1 2 2x ,x∈?0,2],

图象如图所示.

则 f(x1)-f(x2)=

?x1-x2??1-x1x2? x1 x2 2- 2= 2 1+x1 1+x2 ?1+x2 1??1+x2?

∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1-x1x2>0,从而 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在(-1,1)上是增函数.

1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值 第 1 课时 函数的单调性
基础达标 1.定义在 R 上的函数 f(x)对任意两个不相等的实数 a,b,总有 A.函数 f(x)先增后减 B.f(x)是 R 上的增函数 C.函数 f(x)先减后增 D.函数 f(x)是 R 上的减函数 解析 由 f?a?-f?b? >0 知,当 a>b 时,f(a)>f(b);当 a<b 时,f(a)<f(b),所以函数 f(x)是 R 上 a-b f?a?-f?b? >0,则必有( a-b ).

的增函数. 答案 B 2.函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),则实数 m 的取值范围是( A.(-∞,-3) C.(3,+∞) B.(0,+∞) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) ).

解析 因为函数 y=f(x)在 R 上为增函数,且 f(2m)>f(-m+9),所以 2m>-m+9,即 m>3. 答案 C 3.(2013· 天津高一检测)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是( 1 A.y= x C.y=-x2+1 B.y=|x|+1 D.y=-2x+1 ).

1 解析 函数 y= x在(0,+∞)上是减函数;y=|x|+1 在(0,+∞)上是增函数,y=-x2+1 在(0,+∞)上是减函数,y=-2x+1 在(0,+∞)上是减函数. 答案 B 4.(2013· 盐城高一检测)已知 f(x)=x2-2mx+6 在(-∞,-1]上是减函数,则 m 的范围为 ________.

解析 ∵f(x)的对称轴方程为 x=m, ∴要使 f(x)在(-∞,-1]上是减函数,只需 m≥-1. 答案 [-1,+∞) ?1? 5. 已知函数 f(x)为区间[-1,1]上的增函数, 则满足 f(x)<f?2?的实数 x 的取值范围为________. ? ? -1≤x≤1, ? ? 解析 由题设得? 1 x< , ? ? 2 1 答案 -1≤x<2 6.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间为________. 解析 y=-(x-3)|x|
2 ?-x +3x?x>0?, 3? ? =? 2 作出其图象如图,观察图象知递增区间为?0,2?. ? ? ?x -3x?x≤0?,

1 即-1≤x<2.

3? ? 答案 ?0,2? ? ? 7.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0. (1)求 b 与 c 的值; (2)试证明函数 f(x)在区间(2,+∞)上是增函数. (1)解 ∵f(1)=0,f(3)=0, ?1+b+c=0, ∴? 解得 b=-4,c=3. ?9+3b+c=0, (2)证明 由(1)知 f(x)=x2-4x+3, 任取 x1,x2∈(2,+∞)且 x1<x2,
2 由 f(x1)-f(x2)=(x1 -4x1+3)-(x2 2-4x2+3) 2 =(x1 -x2 2)-4(x1-x2)=(x1-x2)(x1+x2-4),

∵x1-x2<0,x1>2,x2>2, ∴x1+x2-4>0.

∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). ∴函数 f(x)在区间(2,+∞)上为增函数. 能力提升 8.下列说法中正确的有( ).

①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 y=f(x)在 I 上是增函数; ②函数 y=x2 在 R 上是增函数; 1 ③函数 y=- x在定义域上是增函数; 1 ④y= 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞). x A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个

解析 函数的单调性的定义是指定义在区间 I 上任意两个值 x1,x2,强调的是任意,从而 ①不对;②y=x2 在 x≥0 时是增函数,x<0 时是减函数,从而 y=x2 在整个定义域上不具 1 1 有单调性;③y=- x 在整个定义域内不是单调递增函数;④y= x 的单调区间是(-∞,0) 和(0,+∞). 答案 A 9.(易错题)函数 f(x)= 解析 f(x)= 1 在(a,+∞)上单调递减,则 a 的取值范围是________. x+1

1 的单调减区间为(-1,+∞)与(-∞,-1), x+1

又 f(x)在(a,+∞)上是减函数,∴a≥-1. 答案 [-1,+∞) 10.讨论函数 f(x)= 解 f(x)= ax+1? 1? ?a≠2?在(-2,+∞)上的单调性. ? x+2 ?

ax+1 1-2a =a+ , x+2 x+2

设任意 x1,x2∈(-2,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)= 1-2a 1-2a - x1+2 x2+2

x2-x1 =(1-2a) , ?x2+2??x1+2? ∵-2<x1<x2,∴x2-x1>0,

又(x2+2)(x1+2)>0. 1 (1)若 a<2时,1-2a>0, ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 则 f(x)在(-2,+∞)上为减函数. 1 (2)若 a>2,则 1-2a<0. ∴f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2), 故 f(x)在(-2,+∞)上为增函数. 1 综上,当 a<2时,f(x)在(-2,+∞)上为减函数; 1 当 a>2时,f(x)在(-2,+∞)上为增函数.

第 2 课时

函数的最值
基础达标 ).

1.(2013· 温州高一检测)设定义在 R 上的函数 f(x)=x|x|,则 f(x)( A.只有最大值 B.只有最小值 C.既有最大值,又有最小值 D.既无最大值,又无最小值

2 ?x ?x≥0?, 解析 f(x)=? 2 画出图象可知,既无最大值又无最小值. ?-x ?x<0?,

答案 D 2.函数 f(x)=x2+3x+2 在区间(-5,5)上的最大、最小值分别为( A.42,12 1 C.12,-4 1 B.42,-4 1 D.无最大值,最小值为-4 ).

? 3? 1 解析 ∵f(x)=?x+2?2-4,x∈(-5,5), ? ? 3 1 ∴当 x=-2时,f(x)有最小值-4,f(x)无最大值.

答案 D 3.函数 f(x)= 4 5 A.5 B.4 1 的最大值是( 1-x?1-x? 3 C.4 4 D.3 D ).

4 4 ? 1? 3 3 解析 t=1-x(1-x)=?x-2?2+4≥4.∴0<f(x)≤3,即 f(x)的最大值为3.答案 ? ? 4.函数 f(x)= x 在区间[2,4]上的最小值是________. x+2

解析 f(x)=

x 2 2 1 =1- 在 x∈[2,4]上是增函数,∴f(x)min=f(2)= = .答案 x+2 x+2 2+2 2

1 2

5.已知函数 f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且 f(x)的最小值为 f(a),则实数 a 的取值范围是 ________. 解析 由题意知,f(x)在[1,a]内是单调递减的, 又∵f(x)的单调减区间为(-∞,3],∴1<a≤3. 答案 (1,3] 6.某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车,利润(单位:万元)分别为 L1=-x2+21x 和 L2= 2x, 其中销售量单位: 辆. 若该公司在两地共销售 15 辆, 则能获得的最大利润为________. 解析 设该公司在甲地销售 x 辆车,则在乙地销售(15-x)辆,根据题意,总利润 y=-x2 19 +21x+2(15-x)(0≤x≤15,x∈N)整理得:y=-x2+19x+30.函数的对称轴为 x= 2 .∵x ∈N,∴x=9 或 10 时,y 取得最大值 120 万元.答案 120 万元

2 ? ?- ,x∈?-∞,0?, 7.(2013· 梅州高一检测)画出函数 f(x)=? x ? ?x2+2x-1,x∈[0,+∞?, 的图象,并写出函数的单调区间及最小值. 解 f(x)的图象如图所示, f(x)的单调递增区间是(-∞, 0)和[0, +∞), 函数的最小值为 f(0)

=-1.

能力提升

8.已知函数 f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若 f(x)有最小值-2,则 f(x)的最大值为( A.-1 B.0 C.1 D.2

).

解析 f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a, ∴当 x∈[0,1]时,f(x)是增函数, 则 f(x)min=f(0)=a=-2,∴f(x)max=f(1)=3+a=1.答案 C

?3? 9.已知函数 y=f(x)是(0,+∞)上的减函数,则 f(a2-a+1)与 f?4?的大小关系是________. ? ? 1? 3 3 ? 解析 ∵a2-a+1=?a-2?2+4≥4, ? ? ?3? 又 f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(a2-a+1)≤f?4?. ? ? ?3? 答案 f(a2-a+1)≤f?4? ? ? 10.(2013· 南昌高一检测)某旅行团去风景区旅游,若每团人数不超过 30 人,飞机票每张收费 900 元;若每团人数多于 30 人,则给予优惠,每多 1 人,机票每张减少 10 元,直至每张 降为 450 元为止,每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元,假设一个旅行 团体不能超过 70 人. (1)写出飞机票的价格关于人数的函数式; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 解 (1)设旅行团的人数为 x,机票价格为 y 元,则:

?900,1≤x≤30, ?900,1≤x≤30, y=? 即 y=? 10,30<x≤70, ?900-?x-30?· ?1 200-10x,30<x≤70. (2)设旅行社可获得利润为 Q 元,则: ?900x-15 000,1≤x≤30, Q=? ??1 200-10x?x-15 000,30<x≤70, ?900x-15 000,1≤x≤30, 即 Q=? 2 ?-10x +1 200x-15 000,30<x≤70, 当 x∈[1,30]时,Qmax=900×30-15 000=12 000(元), 当 x∈(30,70]时,Q=-10(x-60)2+21 000, ∴x=60 时,取 Qmax=21 000(元), ∴当每团人数为 60 时,旅行社可获得最大利润 21 000 元.

1.3.2
1.下列函数是偶函数的是( A.y=x C.y= 1 x ).

奇偶性
基础达标 B.y=2x2-3 D.y=x2,x∈[0,1]

解析 A 选项是奇函数;B 选项为偶函数;C、D 选项的定义域不关于原点对称,故为非 奇非偶函数. 答案 B 2.(2013· 济南高一检测)若函数 f(x)= 1 A.2 2 B.3 x 为奇函数,则 a=( ?2x+1??x-a? 3 C.4 D.1 ).

1 解析 函数 f(x)的定义域为{x|x≠-2且 x≠a}. 1 又 f(x)为奇函数,定义域应关于原点对称,∴a=2. 答案 A 3.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(-2),f(π),f(-3)的 大小关系是( ). B.f(π)>f(-2)>f(-3) D.f(π)<f(-2)<f(-3)

A.f(π)>f(-3)>f(-2) C.f(π)<f(-3)<f(-2) 解析 ∵f(x)是偶函数,

则 f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),又当 x≥0 时,f(x)是增函数, 所以 f(2)<f(3)<f(π),从而 f(-2)<f(-3)<f(π). 答案 A 4.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=2x2-x,则 f(1)=________. 解析 ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x≤0 时,f(x)=2x2-x, ∴f(1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3.答案 -3

5.已知函数 y=f(x)是偶函数,其图象与 x 轴有四个交点,则方程 f(x)=0 的所有实根之和是 ________.

解析 ∵偶函数的图象关于 y 轴对称,∴f(x)与 x 轴的四个交点也关于 y 轴对称. 若 y 轴右侧的两根为 x1,x2,则 y 轴左侧的两根为-x1,-x2,∴四根和为 0. 答案 0 6.函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,且它是减函数,若实数 a,b 满足 f(a)+f(b)>0,则 a +b________0(填“>”“<”或“=”). 解析 由 f(a)+f(b)>0,得 f(a)>-f(b). ∵f(x)为奇函数,则 f(-x)=-f(x). ∴f(a)>f(-b),又 f(x)为减函数, ∴a<-b,即 a+b<0. 答案 < 7.(2013· 泰安高一检测)函数 f(x)= ax+b ?1? 2 是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且 f?2?= . 2 ? ? 5 x +1

(1)求实数 a,b,并确定函数 f(x)的解析式; (2)判断 f(x)在(-1,1)上的单调性,并且用定义证明你的结论.



f?0?=0, ? ? (1)根据题意得? ?1? 2 f? ?= , ? ? ?2? 5

? 1+0 =0, ?a 即? +b 2 2 = 1 5, ? ?1+4
a×0+b
2

?a=1, x 解得? ∴f(x)= . 1+x2 ?b=0,

(2)任意 x1,x2∈(-1,1),且 x1<x2. 则 f(x1)-f(x2)= ?x1-x2??1-x1x2? x1 x2 2- 2= 2 1+x1 1+x2 ?1+x2 1??1+x2?

∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1-x1x2>0,从而 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 故 f(x)在(-1,1)上是增函数. 能力提升 8.已知函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数,f(x)在[0,5]上是单调函数,且 f(-4)<f(-2),则下列不 等式一定成立的是( A.f(-1)<f(3) C.f(-3)<f(5) ). B.f(2)<f(3) D.f(0)>f(1)

解析 ∵函数 f(x)在[-5,5]上是偶函数,

∴f(-4)<f(-2)?f(4)<f(2).又 f(x)在[0,5]上是单调函数. ∴f(x)在[0,5]上递减,从而 f(0)>f(1).答案 D

9.已知函数 y=f(x)是奇函数,若 g(x)=f(x)+2,且 g(1)=1,则 g(-1)=________. 解析 由 g(1)=1,且 g(x)=f(x)+2,∴f(1)=g(1)-2=-1,又 y=f(x)是奇函数. ∴f(-1)=-f(1)=1,从而 g(-1)=f(-1)+2=3.答案 10.已知 f(x)为奇函数,且当 x<0 时,f(x)=x2+3x+2. 若当 x∈[1,3]时,f(x)的最大值为 m,最小值为 n,求 m-n 的值. 解 ∵x<0 时,f(x)=x2+3x+2,且 f(x)是奇函数, 3

∴当 x>0 时,-x<0,则 f(-x)=x2-3x+2. 故当 x>0 时,f(x)=-f(-x)=3x-x2-2. 3? ? ∴当 x∈?1,2?时,f(x)是增函数; ? ? ?3 ? 当 x∈?2,3?时,f(x)是减函数. ? ? 1 9 ?3? 1 因此当 x∈[1,3]时,f(x)max=f?2?=4,f(x)min=f(3)=-2.∴m=4,n=-2,从而 m-n=4. ? ?

周练(三)

函数的基本性质
满分:100 分)

(时间:80 分钟

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.若点(-1,3)在奇函数 y=f(x)的图象上,则 f(1)等于( A.0 B.-1 C.3 D.-3 ).

解析 由题知,f(-1)=3,因为 f(x)为奇函数,所以 f(1)=-f(-1)=-3. 答案 D 2.若函数 f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,则 a 等于( A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析 ∵f(x)=(x+1)(x-a)为偶函数,∴f(-x)=f(x). 即(-x+1)(-x-a)=(x+1)(x-a),∴x· (a-1)=x· (1-a),故 1-a=0,∴a=1. 答案 C ).

3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( A.y=x+1 1 C.y=x

).

B.y=-x3 D.y=x|x|

解析 A 中为非奇非偶函数,B 为减函数,C 在定义域内不单调,对于 D,当 x≥0,y= x2 是增函数;当 x<0,y=-x2 是增函数,显然是奇函数. 答案 D 4.函数 y= 1 在[2,3]上的最小值为( x-1 1 C.3 1 D.-2 1 1 1 在[2,3]上是减函数,ymin= =2.答案 x-1 3-1 ). B.偶函数 D.非奇非偶函数 B ).

1 A.2 B.2

解析 作出图象可知 y= 5.函数 y= 1-x2+ A.奇函数

9 是( 1+|x|

C.既是奇函数又是偶函数

2 ?1-x ≥0 解析 先求定义域,由? ?-1≤x≤1.∴定义域为[-1,1],且定义域关于原点对 ?1+|x|≠0

称.又 f(-x)= 1-?-x?2+ 答案 B

9 =f(x),∴f(x)为偶函数. 1+|-x|

6.已知 f(x)在实数集上是减函数,若 a+b≤0,则下列正确的是( A.f(a)+f(b)≤-[f(a)+f(b)] C.f(a)+f(b)≥-[f(a)+f(b)]

).

B.f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b) D.f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b)

解析 由 a+b≤0,得 a≤-b,∵f(x)在 R 上是减函数,∴f(a)≥f(-b). 同理 f(b)≥f(-a),∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).答案 B ).

7.若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=x2+3x+1,则 f(x)=( A.x2 C.2x2+2 解析 ∵f(x)+g(x)=x2+3x+1,① ∴f(-x)+g(-x)=x2-3x+1.又 f(x)是偶函数,且 g(x)是奇函数, B.2x2 D.x2+1

∴f(x)-g(x)=x2-3x+1.②由①②联立,得 f(x)=x2+1.答案

D ).

x ?2 +1,x<1, 8.已知函数 f(x)=? 2 若 f(f(0))=4a,则实数 a 等于( ?x +ax,x≥1,

1 4 A.2 B.5

C.2 D.9

x ?2 +1,x<1, 解析 f(x)=? 2 ?x +ax,x≥1.

∵0<1,∴f(0)=20+1=2.∵f(0)=2≥1,∴f[f(0)]=22+2a=4a,∴a=2.答案 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

C

9.已知函数 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,其定义域为[a-1,2a],则 a+b=________. 1 解析 ∵偶函数的定义域关于原点对称,∴a-1=-2a,a=3. 1 又 f(x)=ax2+bx+3a+b 为偶函数,则 b=0.因此 a+b=3. 1 答案 3 1 10.设函数 f(x)(x∈R)为奇函数,f(1)=2,且 f(x+2)=f(x)+f(2),则 f(5)=________. 1 解析 ∵f(x)是奇函数, 且 x∈R, ∴f(0)=0, 且 f(-1)=-f(1)=-2.又 f(x+2)=f(x)+f(2), 1 且 f(1)=2.令 x=-1,则 f(1)=f(-1)+f(2),∴f(2)=1. 3 5 因此 f(3)=f(1)+f(2)=2,所以 f(5)=f(2)+f(3)=2.答案 ??3-a?x-4a 11. (2013· 长沙高一检测)已知 f(x)=? 2 ?x ?x≥1? 围是________. ?3-a>0, 2 解析 ∵f(x)在 R 上是增函数,∴? 2 解之得5≤a<3. ??3-a?×1-4a≤1 . ?2 ? 答案 ?5,3? ? ? 12. 若函数 f(x)=- x+a 为区间[-1,1]上的奇函数, 则它在这一区间上的最大值为________. bx+1 ?x<1? 5 2 是 R 上的增函数, 那么 a 的取值范

解析 f(x)为[-1,1]上的奇函数,且在 x=0 处有定义,所以 f(0)=0,故 a=0,则 f(x)=-

x . bx+1 又 f(-1)=-f(1),得- -1 1 = ,故 b=0,于是 f(x)=-x. -b+1 b+1

因此 f(x)=-x 在[-1,1]上是减函数,故 f(x)max=1. 答案 1 三、解答题(每小题 10 分,共 40 分) 13.判断下列函数的奇偶性: 1 (1)f(x)=x4+ 2; x (2)f(x)=|x-2|-|x+2|. 解 (1)函数的定义域为{x|x≠0},其关于原点对称.

1 ∵f(-x)=x4+x2=f(x),∴函数为偶函数. (2)函数的定义域为 R,关于原点对称, ∵f(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-f(x), ∴函数为奇函数. 14.已知 y=f(x)是 R 上的奇函数,且当 x>0 时,f(x)=-x2+2x+2. (1)求 f(x)的解析式; (2)画出 f(x)的图象,并指出 f(x)的单调区间. 解 (1)设 x<0,则-x>0,所以

f(-x)=-(-x)2-2x+2=-x2-2x+2,又∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴f(x)=x2+2x-2,又 f(0)=0,

?x +2x-2 ∴f(x)=?0 ?-x2+2x+2
象如图所示.

2

?x<0?, ?x=0?, ?x>0?.

(2)先画出 y=f(x)(x>0)的图象,利用奇函数的对称性可得到相应 y=f(x)(x<0)的图象,其图

由图可知,其增区间为(-1,0)及(0,1],减区间为(-∞,-1]及(1,+∞). 15.某租车公司拥有汽车 100 辆,当每辆车的月租金为 3 000 元时,可全部租出,当每辆车 的月租金每增加 60 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费 160 元, 未租出的车每月需要维护费 60 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 900 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金为多少元时,租车公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解 (1)租金增加了 900 元.

所以未出租的车有 15 辆,一共出租了 85 辆. (2)设租金提高后有 x 辆未租出,则已租出(100-x)辆,租车公司的月收益为 y 元.

y=(3 000+60x)(100-x)-160(100-x)-60x, 其中 x∈[0,100],x∈N, 整理得:y=-60x2+3 100x+284 000 ? 155? 972 125 =-60?x- 6 ?2+ 3 , ? ? 当 x=26 时,ymax=324 040, 此时,月租金为:3 000+60×26=4 560 元. 即当每辆车的月租金为 4 560 元时,租车公司的月收益最大为 324 040 元. 16.已知函数 f(x)的定义域是{x|x≠0},对定义域内的任意 x1,x2 都有 f(x1· x2)=f(x1)+f(x2),且 当 x>1 时 f(x)>0. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 证明 (1)令 x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0, 令 x1=x2=-1,可求 f(-1)=0.令 x1=x,x2=-1, ∴f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)设任意 x2>x1>0,则 ? x2? ?x2? ?-f(x1)=f?x ?, f(x2)-f(x1)=f?x1· x ? 1? ? 1? x2 ∵x2>x1>0,则x >1,又 x>1 时,f(x)>0,
1

∴f(x2)-f(x1)>0,即 f(x2)>f(x1),

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.

章末质量评估(一)
(时间:120 分钟

集合与函数概念
满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合 A={1,3, m},B={1,m},A∪B=A,则 m=( A.0 或 C.1 或 3 3 B.0 或 3 D.1 或 3 ).

解析 由 A∪B=A,知 B?A,∴m=3 或 m= m(且 m≠1),因此 m=3 或 m=0. 答案 B 2. 设集合 A={-1,3,5}, 若 f: x→2x-1 是集合 A 到集合 B 的映射, 则集合 B 可以是( A.{0,2,3} C.{-3,5} B.{1,2,3} D.{-3,5,9} ).

解析 当 x=-1,3,5 时对应的 2x-1 的值分别为-3,5,9. 答案 D 3.若 P={x|x<1},Q={x|x>-1},则( A.P?Q C.?RP?Q ). B.Q?P D.Q??RP

解析 P={x|x<1},∴?RP={x|x≥1}.又∵Q={x|x>-1},∴Q??RP. 答案 C 4.下列图象中不能作为函数图象的是( ).

解析 B 选项对于给定的变量有两个值与其对应,不是函数的图象. 答案 B 1 5.函数 f(x)= 1+x+x 的定义域是( A.[-1,+∞) C.[-1,0)∪(0,+∞) ). B.(-∞,0)∪(0,+∞) D.R C

?1+x≥0, 解析 要使函数有意义,需满足? 即 x≥-1 且 x≠0.答案 ?x≠0, 6.下面四个结论: ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点, ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数又是偶函数的函数是 f(x)=0. 其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4 ).

1 解析 偶函数的图象关于 y 轴对称,但不一定与 y 轴相交,如 y=x2,故①错,③对;奇 1 函数的图象不一定通过原点,如 y= x,故②错;既奇又偶的函数除了 f(x)=0,还可以是 f(x)=0,x∈[-1,1],④错.答案 A ).

7.下列四个函数中,在(-∞,0)上是增函数的为( A.f(x)=x2+1 C.f(x)=x2-5x-6

1 B.f(x)=1- x D.f(x)=3-x

解析 A、C、D 选项中的三个函数在(-∞,0)上都是减函数,只有 B 正确. 答案 B 8. (2013· 龙海高一检测)若函数 f(x)为奇函数, 且当 x>0 时, f(x)=x-1, 则当 x<0 时, 有( A.f(x)>0 C.f(x)· f(-x)≤0 B.f(x)<0 D.f(x)-f(-x)>0 ).

解析 f(x)为奇函数,当 x<0 时,-x>0, ∴f(x)=-f(-x)=-(-x-1)=x+1,∴f(x)· f(-x)=-(x+1)2≤0. 答案 C

9.函数 f(x)=ax3+bx+4(a,b 不为零),且 f(5)=10,则 f(-5)等于( A.-10 B.-2 C.-6 D.14 解析 ∵f(5)=125a+5b+4=10,∴125a+5b=6, f(-5)=-125a-5b+4=-(125a+5b)+4=-6+4=-2.答案 10.二次函数 y=x2-4x+3 在区间(1,4]上的值域是( A.[-1,+∞) C.[-1,3] B.(0,3] D.(-1,3] ). B

).

解析 ∵y=(x-2)2-1,∴函数 y=x2-4x+3 在(1,2]上递减,在(2,4]上递增.∴当 x=2 时,ymin=-1. 又当 x=1 时,y=1-4+3=0, 当 x=4 时,y=42-16+3=3, ∴该函数在(1,4]上的值域为[-1,3].答案 C f?x2?-f?x1? 11.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),有 <0,则( x2-x1 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2) f?x2?-f?x1? <0,即 x2-x1 与 f(x2)-f(x1)异号, x2-x1 ).

解析 对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),都有

∴f(x)在[0,+∞)上是减函数,又 f(x)是 R 上的偶函数, ∴f(-2)=f(2),∴f(3)<f(-2)<f(1)..答案 A

f?x?+f?-x? 12.若函数 y=f(x)为偶函数,且在(0,+∞)上是减函数,又 f(3)=0,则 <0 的解集 2x 为( ). B.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(0,3) f?x?+f?-x? f?x? <0 可化为 2x x <0.

A.(-3,3) C.(-3,0)∪(3,+∞)

解析 ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x),故

又 f(x)在(0,+∞)上是减函数,且 f(3)=0,故当 x>3 时,f(x)<0.当-3<x<0 时,f(x)>0, f?x? 故 x <0 的解集为(-3,0)∪(3,+∞).答案 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确的答案填在题中的横线上)

13. 已知 M, N 为集合 I 的非空真子集, 且 M, N 不相等, 若 N∩?IM=?, 则 M∪N=________. 解析 因为 M,N 为集合 I 的非空真子集,且 M,N 不相等,N∩?IM=?,所以由韦恩图 可知 N?M,所以 M∪N=M.

答案 M 14.(2013· 兰州高一检测)已知定义在 R 上的偶函数 f(x),当 x>0 时,f(x)=-x3+1,则 f(- 2)· f(3)的值为________. 解析 ∵x>0,f(x)=-x3+1,∴f(3)=-33+1=-26,f(-2)=f(2)=-23+1=-7.∴f(- 2)· f(3)=(-26)×(-7)=182.答案 182

15.若 f(x)=(m-1)x2+6mx+2 是偶函数,则 f(0),f(1),f(-2)从小到大的顺序是________. 解析 因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x)恒成立, 即(m-1)x2-6mx+2=(m-1)x2+6mx+2 恒成立.所以 m=0,即 f(x)=-x2+2. 因为 f(x)的图象开口向下,对称轴为 y 轴,所以 f(2)<f(1)<f(0),即 f(-2)<f(1)<f(0). 答案 f(-2)<f(1)<f(0) 16.若 y=f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数,f(-2)=0,则 不等式 x· f(x)<0 的解集为________. 解析 根据题意画出 f(x)大致图象:

由图象可知-2<x<0 或 0<x<2 时,x· f(x)<0. 答案 (-2,0)∪(0,2) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知集合 A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1 或 x≥4}. (1)当 a=3 时,求 A∩B; (2)若 A∩B=?,求实数 a 的取值范围. 解 (1)当 a=3 时,A={x|-1≤x≤5},B={x|x≤1 或 x≥4},∴A∩B={x|-1≤x≤1 或

4≤x≤5}. (2)(ⅰ)若 A=?,此时 2-a>2+a,∴a<0,满足 A∩B=?.

(ⅱ)当 a≥0 时,A={x|2-a≤x≤2+a}≠?, ?2-a>1, ∵A∩B=?,∴? ∴0≤a<1. ?2+a<4, 综上可知,实数 a 的取值范围是 a<1.
2 ?3-x ,x∈[-1,2], 18.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=? ?x-3,x∈?2,5].

(1)在给定的直角坐标系内画出 f(x)的图象; (2)写出 f(x)的单调递增区间与减区间. 解 (1)函数 f(x)的图象如下图

(2)当 x∈[-1,2]时,f(x)=3-x2, 知 f(x)在[-1,0]上递增;在[0,2]上递减, 又 f(x)=x-3 在(2,5]上是增函数, 因此函数 f(x)的增区间是[-1,0]和(2,5];减区间是[0,2]. 19.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (1)若 a=2,求 f(x)的定义域; (2)若 f(x)在区间(0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围. 解 (1)a=2 时,f(x)= 3-2x. 3-ax (a≠1). a-1

3? 3 ? 由 3-2x≥0,得 x≤2.∴f(x)的定义域为?-∞,2?. ? ? 3? ? (2)①当 a>1 时,f(x)的减区间是?-∞,a?, ? ? 3 又 f(x)在(0,1]上是减函数,∴a≥1,从而 1<a≤3; ②当 0≤a<1 时,f(x)在区间(0,1]上不是减函数; ③当 a<0 时,显然 f(x)在(0,1]上是减函数. 综上,实数 a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].

20.(本小题满分 12 分)(2013· 淮安高一检测)已知函数 f(x)=

2x+1 . x+1

(1)判断函数在区间[1,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论; (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值与最小值. 解 (1)f(x)在[1,+∞)上是增函数.证明如下:任取 x1,x2∈[1,+∞),且 x1<x2, 2x1+1 2x2+1 x1-x2 - = . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1?

f(x1)-f(x2)=

∵x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,所以,f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), 所以函数 f(x)在[1,+∞)上是增函数. (2)由(1)知函数 f(x)在[1,4]上是增函数.所以最大值为 f(4)= 2×1+1 3 = . 2 1+1 ?x? 21.(本小题满分 12 分)若 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切 x,y>0,满足 f?y?= ? ? f(x)-f(y). (1)求 f(1)的值; ?1? (2)若 f(6)=1,解不等式 f(x+3)-f?3?<2. ? ? 解 ?x? (1)在 f?y?=f(x)-f(y)中,令 x=y=1, ? ? 2×4+1 9 =5,最小值为 f(1)= 4+1

则有 f(1)=f(1)-f(1),∴f(1)=0. ?1? (2)∵f(6)=1,∴f(x+3)-f?3?<2=f(6)+f(6). ? ? ?x+3? ?<f(6). ∴f(3x+9)-f(6)<f(6),即 f? ? 2 ? ∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, ?x+3>0, ? ∴?x+3 <6, ? ? 2

解得-3<x<9.

∴原不等式的解集为(-3,9). 22.(本小题满分 12 分)(2013· 湖州高一检测)通过研究学生的学习行为,心理学家发现,学生 接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间,讲座开始时,学生的兴趣激增,中

间有一段不太长的时间,学生的兴趣保持理想的状态,随后学生的注意力开始分散.分析 结果和实验表明,用 f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)的值越大,表示接受能力越 强),x 表示提出和讲授概念的时间(单位:分),可以有以下公式:

?-0.1x +2.6x+43 ?0<x≤10? f(x)=?56 ?10<x≤16? ?-3x+107 ?16<x≤30?
(1)开讲多少分钟后,学生的接受能力最强?能维持多少时间? (2)开讲 5 分钟与开讲 20 分钟比较,学生的接受能力何时强一些? 解 (1)当 0<x≤10 时,

2

f(x)=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9, 故 f(x)在 0<x≤10 时递增,最大值为 f(10)=-0.1(10-13)2+59.9=59. 当 10<x≤16 时,f(x)=59. 当 x>16 时,f(x)为减函数,且 f(x)<59. 因此,开讲 10 分钟后,学生达到最强接受能力(为 59),能持续 6 分钟时间. (2)f(5)=-0.1(5-13)2+59.9=53.5, f(20)=-3×20+107=47<53.5. 故开讲 5 分钟时学生的接受能力比开讲 20 分钟时要强一些.


赞助商链接

更多相关文章:
2015高一数学必修一第一章集合测试题经典
2015高一数学必修一第一章集合测试题经典_数学_高中教育_教育专区。肇庆市百花中学...全体可以组成集合的是( A.学校篮球水平较高的学生 C.2007 年所有的欧盟国家 ...
人教版2015-2016学年高一数学讲义1-必修1第一章1.1集合
人教版2015-2016学年高一数学讲义1-必修1第一章1.1集合_数学_高中教育_教育专区。必修一 第一章 集合与函数概念 1.1 集合 一、集合概念 课型 A 1、常用数...
天津市第一中学2015-2016学年高一数学讲义1-必修1第一...
天津市第一中学2015-2016学年高一数学讲义1-必修1第一章1.1集合_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修一 第一章 集合与函数概念 1.1 集合一、集合概念 课...
2015年度高一数学必修二第一章周测卷
2015年度高一数学必修二第一章周测卷_数学_高中教育_教育专区。必修二第一章 2015年度高一数学必修二第一章周测卷(空间几何体)一.选择题(共有 8 小题,...
浙江省金华市外国语学校2015年高一数学 第一章 第5课时...
浙江省金华市外国语学校2015年高一数学 第一章 第5课时 函数的概念(1)导学案_数学_高中教育_教育专区。《必修 1》第一章《集合与函数》 第 5 课时学习目标 ...
高一数学第一章测试
高一数学第一章测试_数学_高中教育_教育专区。第一章一、选择题 1.1 1.1....3 6.(2015·湖南郴州模拟)用列举法写出集合{∈Z|x∈Z}=___. 3-x [答案...
北师大版高一数学必修1第一章试题及答案
北师大版高一数学必修1第一章试题及答案 - 高一年级数学(必修 1)第一章质量检测试题 参赛试卷 学校 :石油中学 命题人:王燕南 (时间 90 分钟 总分 150 分) ...
人教版高一数学必修一第一章检测试卷
人教版高一数学必修一第一章检测试卷_数学_高中教育_教育专区。人教版高一数学必修...文档贡献者 乘风揽月666 贡献于2015-06-23 相关文档推荐 暂无相关推荐文档 ...
最新人教版高一数学必修1第一章《集合的含义与表示》课...
最新人教版高一数学必修1第一章《集合的含义与表示》课后训练(第1课时) - 课后训练 1.下列给出的对象中,能表示集合的是( ) A.一切很大的数 B.无限接近于 ...
新人教版高一数学必修3第一章测试题
新人教版高一数学必修3第一章测试题 - 2015-2016 学年高中数学 第一章 算法初步综合素能检 一、选择题 1.下列赋值语句错误的是( A.i=i-1 C.k= -1 )...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图