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2013届高考理科数学第一轮复习测试题10


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(时间:40 分钟 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分)

满分:60 分)

?x=-2- 2t, 1. (2011· 深圳模拟)直线? (t 为参数)上与点 A(-2,3)的距离等于 2 ?y=3+ 2t 的点的坐标是________. 解析 1 2 由 题 意 知 ( - 2 t)2 + ( 2 t)2 = ( 2 )2 , 所 以 t2 = 2 , t = ± 2 , 代 入

?x=-2- 2t, ? (t 为参数),得所求点的坐标为(-3,4)或(-1,2). ?y=3+ 2t 答案 (-3,4)或(-1,2) ?x=2+cos θ, 2.(2011· 东莞模拟)若直线 l:y=kx 与曲线 C:? (参数 θ∈R)有唯 ?y=sin θ 一的公共点,则实数 k=________. 解析 曲线 C 化为普通方程为(x-2)2+y2=1,圆心坐标为(2,0),半径 r=1.由已 知 l 与圆相切,则 r= 3 答案 ± 3 ?x=cos α, 3. (2011· 广东高考全真模拟卷一)直线 3x+4y-7=0 截曲线? (α 为参 ?y=1+sin α 数)的弦长为________. 解析 曲线可化为 x2+(y-1)2=1,圆心到直线的距离 d= 8 l=2 r2-d2=5. 8 答案 5 ?x=1-2t, ?x=s, 4.(2011· 揭阳模拟)已知直线 l1:? (t 为参数),l2:? (s 为参 ?y=2+kt ?y=1-2s 数),若 l1∥l2,则 k=________;若 l1⊥l2,则 k=________.
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|2k| 3 2=1?k=± 3 . 1+k

|0+4-7| 3 = ,则弦长 9+16 5

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解析 将 l1、l2 的方程化为直角坐标方程得 l1:kx+2y-4-k=0,l2:2x+y-1 k 2 4+k =0,由 l1∥l2,得2=1≠ 1 ?k=4,由 l1⊥l2,得 2k+2=0?k=-1. 答案 4 -1

?x=3+3cos θ, 5.(2011· 湛江调研)参数方程? (θ 为参数)表示的图形上的点到直 ?y=-3+3sin θ 线 y=x 的最短距离为________. 解析 ?x=3+3cos θ, 参数方程? 化为普通方程为(x-3)2+(y+3)2=9,圆心坐 ?y=-3+3sin θ |3-?-3?| =3 2,则圆 2

标为(3,-3),半径 r=3,则圆心到直线 y=x 的距离 d=

上点到直线 y=x 的最短距离为 d-r=3 2-3=3( 2-1). 答案 3( 2-1) 6.(2011· 陕西)(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x ?x=3+cos θ, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ ?y=sin θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上,则|AB|的最小值为________. 解析 消掉参数 θ,得到关于 x、y 的一般方程 C1:(x-3)2+y2=1,表示以(3,0) 为圆心,以 1 为半径的圆;C2 表示的是以原点为圆心的单位圆,|AB|的最小值为 3-1-1=1. 答案 1 7.已知在平面直角坐标系 xOy 中,经过点(0, 2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 C: ?x= 2cos θ, ? (θ 是参数)有两个不同的交点 P 和 Q,则 k 的取值范围为 ?y=sin θ ________. ?x= 2cos θ, x2 ? 解析 曲线 C 的参数方程: (θ 是参数)化为普通方程:2 +y2=1, ?y=sin θ 故曲线 C 是一个椭圆.由题意,利用点斜式可得直线 l 的方程为 y=kx+ 2,将 x2 ?1 ? 其代入椭圆的方程得 2 +(kx+ 2)2=1,整理得?2+k2?x2+2 2kx+1=0,因为直 ? ?
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?1 2? 线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q,所以 Δ=8k2-4×?2+k ?=4k2-2>0,解 ? ? 2 2 ? ? 2? ? 2 得 k<- 2 或 k> 2 .即 k 的取值范围为 ?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2? ?2 ? ? ? ? 2? ? 2 答案 ?-∞,- ?∪? ,+∞? 2? ?2 ? ? ?x=a+2cos θ, 8.如果曲线 C:? (θ 为参数)上有且仅有两个点到原点的距离为 ?y=a+2sin θ 2,则实数 a 的取值范围是________. 解析 将曲线的参数方程转化为普通方程,即(x-a)2+(y-a)2=4,由题意可知, 以原点为圆心,以 2 为半径的圆与圆 C 总相交,根据两圆相交的充要条件,得 0 < 2a2<4, ∴0<a2<8,解得 0<a<2 2或-2 2<a<0. 答案 (-2 2,0)∪(0,2 2) 二、解答题(共 20 分) ?x=cos θ, ? 9. 分)(2010· (10 辽宁)已知 P 为半圆 C: (θ 为参数, 0≤θ≤π)上的点, ?y=sin θ 点 A 的坐标为(1,0), 为坐标原点, M 在射线 OP 上, O 点 线段 OM 与 C 的弧 AP π 的长度均为3. (1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. π π ?π π? 解 (1)由已知, 点的极角为3, M 点的极径等于3, M 且 故点 M 的极坐标为?3,3?. ? ? ?π 3π? ?,A(1,0). (2)M 点的直角坐标为? , 6 6 ? ?

?x=1+?π-1?t, ?6 ? ? ? ? 故直线 AM 的参数方程为? 3π ?y= 6 t ?

(t 为参数).

?x=1+tcos α, 10.(10 分)(2010· 新课标全国)已知直线 C1:? (t 为参数),圆 C2: ?y=tsin α
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?x=cos θ, ? (θ 为参数). ?y=sin θ π (1)当 α=3时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 的中点.当 α 变化时,求 P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. π 解 (1)当 α=3时,C1 的普通方程为 y= 3(x-1), ?y= 3?x-1?, C2 的普通方程为 x2+y2=1.联立方程组? 2 2 ?x +y =1, ?1 3? 解得 C1 与 C2 的交点坐标为(1,0),? ,- ?. 2? ?2 (2)C1 的普通方程为 xsin α-ycos α-sin α=0. A 点坐标为(sin2 α,-cos αsin α), 故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为

?x=1sin2α, ? 2 ? 1 ?y=-2sin αcos α ?

(α 为参数),

1 ? 1? P 点轨迹的普通方程为?x-4?2+y2=16. ? ? 1 ?1 ? 故 P 点轨迹是圆心为?4,0?,半径为4的圆. ? ?

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