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关于高考中的分段函数的几个问题


中学生理科月刊?2005—1



试题研究

31

江苏省如皋市第一中学◎潘佩邵韶来(2265001

一、求分段函数的函数值

《黔
又。..
.:

设,(z)是定义在R上的奇函数.若


当z≥0时,,(z)=log。(1+。),则,(一2)=

④设z<o,则一z>o,
一J吖z)=Jogs(】一z),

帆归譬1 2霉1辜175三二
^(£)一一赤(£一50)2+100,

,(-x)=l093(1--x),

,(z)是定义在R上的奇函数,

于是,(z)一一l093(1~z), 故,(一2)=一l093(1+2)=一1 二、求分段函数的解析式

《鞫

^(£)一一赤(£一350)2+100,

某蔬菜基地种植西红柿,由历年市场

行情得知,从二月一日起的300天内,西红柿市场售价
与上市时间的关系用图l的一条折线表示;西红柿的

种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示.

《黪(2004.全国)设函数f(z)= i4一v研,z≥1,则使得,‘z’≥1的自变量z的取
图1 图2 当z<1时,由(z+1)2≥1,得 z≥0或z≤一2,
.‘.

(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系 式P一,(£);写出图2表示的种植成本与时间的函数
关系式Q=g(£); (2)-iA定市场售价减去种植成本为纯收益,问何
.‘.

z∈(一。。,2]U[o,1]

当z≥1时,由4~、石jT≥1,得√乒可≤3,
z∈[1,10] 综上所述,X∈(一o。,2]U[o,i0],故选A.
四、求分段函数的值域或最值

时上市的西红柿收益最大?(注:市场售价和种植成 本的单位:元/102 kg,时间单位:天)

《黪

(1)由图1可得市场售价与时间的函

数关系为弛,一笆竺孺篙‰.
由图2可得种植成本与时间的函数关系为

矮孵

f2z+3,z≤O,

函数y=t。+3,o<。≤1,最大值是
l—z+5,z>l,

g(£)。丽1(£一150)2+100,o≤£≤300?
(2)设t时刻的纯收益为^(£),则由题意得
h(£)一.厂(£)一g(f),

赠睡设了=,(。),当。≤o时,‰。;一,(o)
=3;当O<x≤1时,Y…=,(1)一4;当z>1时,一.17 +5<一1+5—4.综上所述,有y…=,(z)…=4;

万方数据  

32

试题研究

中学生理科月刊?2005—1

五、判断分段函数奇偶性

同理可画出七√L十年代、九十年代代表年平均
土地沙化面积的线段图(如图5所示)

噬翁判断函数,(z)一x2(x--1),x≥O<。的
奇偶性并证明你的结论.
当z>0,一z<O, ,(-x)一一(一z)2(一z+1)一≯(x--1)=f(x); 当z一0时,,(一O)=,(O)一0; 当x<O时,厂(一z)一(一z)2(一z—1) 一一z2(z+1)一,(z);

蟋黪

设,(。)为定义在R上的偶函数,当z
-y 2

≤一1时,Y=,(z)的图 像是经过点(一2,O),斜

率为l的射线.又在y= ,(z)的图像中有一部分
是顶点在(0,2),且过点

众~ 一入.
r-2一l



1\



2、j

(一1,1)的一段抛物线, 试写出函数,(z)的表达
式,并作出其图像. 图6

因此,对任意z∈R都有,(一X)=,(z),所以, 函数,(z)为偶函数.
六、求分段函数的反函数

《黪(2004.全国)已知函数y一,(2)是
奇函数,则当z≥0时,,(z)一3。一1,设,(z)的反函
数是y=g(z),则g(一8)一

蔼p

当z≤一1时,设,(z)=z+6,射线

过点(一2,0),得6—2,于是,(z)一z+2; 当一l<x<l时,设,(z)一口∥+2,抛物线过点 (一1,1),得n一一1,于是,(z)一一≯+2;

噬黪设z<o,则一。>o,,(一z)一3一:一


又,(z)为定义在R上的偶函数,
7.当z≥1时,,(z)一一z+2,故 rz+2,z≤一1,

1,又...,(z)是定义在R上的奇函数,
7.

一,(z)一3一。一1,于是,(z)一l一3一。,


.?.

3~一1'z≥o, 厂(z):JIl一3~,x<O,
,、

,(z)=<2--x2,一l<x<l,其图像如图6所示.
1--X+2,z≥1. 八、解分段函数的方程



一烈列一{一Io“I一疵z<o,
...g(一8)=一l093(1+8)=一2 七、作分段函数的图像

fl093(z+1),z≥0,

《黪

据报道,我国目前已成为世界上受荒

漠化危害最严重的国家之一.图3表示我国土地沙化

总面积在上个世纪五、六十年代、七、八十年代、九十年 代的变.由图中的相关信息,可将上述有关年代中,我
国年平均土地沙化面积在图4中图示为


⑧设函螂加(=j篡麓,, 则满足,(z)。÷的z值为——. ⑧若2-x={,眦一,一2~,...z=2,
又...z∈(一o。,1), .‘.z一2应舍去;
.。.

若logslz一÷,即z一81#,
又...

z=3,

诵◇

z∈(1,+oo),

...

z一3为所求.

(2004.湖南)设函数f(z)一

仨篓一<0’若f(--4)=f㈣∥吲一z,
则关于z的方程,(z)=z的解的个数为(
A.1 ).

@由,(一4)一,(o),得
B.2 C.3

D.4

16—46+c—c,

...

6—4; .。.c一2;

由,(一2)=一2得4—26+c一一2,
...

厂(。)一』22+4z+2,z≤o, I 2,z>0.
z=一1或z一一2,

当z≤0时,由.222+4x+2=z,得

当z>0时,由2一z,得z=2,故选C.

由此可见,分段函数中蕴含了分类讨论思想,对
里),于是得到图5中 最左边的一条线段(右端点为空点) 图5

分段函数题型的分析需要较强的思维能力,因此,分 段函数题仍将是今后高考的热点题型之一.

万方数据  

关于高考中的分段函数的几个问题
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 潘佩, 邵韶来 江苏省如皋市第一中学,226500 中学生理科月刊(高中版) MIDDLE SCHOOL STUDENTS SCIENCE MONTHLY 2005,19(1)

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