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1.转换法(条件,非条件不等式)2015.4


不等式问题的处理策略与技巧(1)转化法
对于比较复杂的不等式问题,不仅要用到重要的定理和性质,而且需要多种方法和技巧 的灵活运用。 一、将非条件不等式转化为条件不等式 1.(2003 年美国奥林匹克竞赛试题第 5 题) 设 a ? 0, b ? 0, c ? 0

证明:

(2a ? b ? c)2 (a ? 2b ? c)2 (a ? b ? 2c) 2 ? ? ?8 2a 2 ? (b ? c)2 2b2 ? (a ? c)2 2c 2 ? (a ? b)2

【证法一】 分析:不妨设 a ? b ? c ? 1 ,则原不等式变形为:

(1 ? a)2 (1 ? b)2 (1 ? c)2 ? ? ?8 2a 2 ? (1 ? a)2 2b2 ? (1 ? b)2 2c 2 ? (1 ? c) 2
(1 ? x) 2 1 8x ? 2 12 x ? 4 ? [1 ? ]? 由此联想到构造函数 f ( x) ? 2 2 1 2 2 x ? (1 ? x) 3 3 3( x ? ) 2 ? 3 3
故 f (a ) ? f (b) ? f (c) ? 【点评】 这里“不妨设 a ? b ? c ? 1“利用了该不等式的齐次性。因为假设 a ? b ? c ? s ,其中

12(a ? b ? c) ? 12 ?8 3

s 是任意正实数,则
a b c a b c ? ? ? 1 。令 x ? , y ? , z ? ,即 a ? sx, b ? ay, c ? sz ,则 x ? y ? z ? 1 s s s s s s
于是原问题可转化为: 已知 x ? y ? z ? 1 , x, y, z ? R
+

求证:

(2 x ? y ? z )2 ( x ? 2 y ? z)2 ( x ? y ? 2 z)2 ? ? ?8 2 x 2 ? ( y ? z )2 2 y 2 ? ( x ? z )2 2 z 2 ? ( x ? y)2

一般地,具有齐次性的不等式,通常可以增加条件 得简单; 【证法二】 【利用切线不等式】

? xi ? 1, ? xi ? 1等使得原不等式变
i ?1 i ?1

n

n

1

证明: 令 S ? a ? b ? c , x1 ? 将

a b c , x2 ? , x 3 ? ;则 x1 ? x 2 ? x3 ? 1 S S S

(2a ? b ? c ) 2 (2b ? a ? c ) 2 (2c ? b ? a ) 2 2 中分式上下同除以 S , ? ? 2a 2 ? (b ? c ) 2 2b 2 ? (a ? c ) 2 2c 2 ? (b ? a ) 2

2 2 x2 ? 2x ?1 x3 ? 2 x3 ? 1 x12 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 2 x2 ? 1 化简得 在点 ? ? ?8 ,易得 2 2 3x 2 ? 2 x ? 1 ? 2 x3 ? 1 3 x12 ? 2 x1 ? 1 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1 3 x3

1 8 4 ( , ) 的切线为 y ? 4 x ? . 3 3 3
下证

x2 ? 2x ?1 3x ? 2 x ? 1
2

? 4x ?
2

4 3 2 , x ? (0,1) ,化简即证 36x ? 15x ? 2 x ? 1 ? 0 . 3

令 f ( x ) ? 36x ? 15x ? 2 x ? 1 , f / ( x) ? 108x 2 ? 30x ? 2 ? (36x ? 2)(3x ? 1) , 易得
3

1 1 1 f ( x ) 在 (0, ) 单调递减,在 ( ,1) 单调递增; f ( x ) ? f ( x ) min ? f ( ) ? 0 得证 3 3 3
2 2 x3 ? 2 x3 ? 1 x12 ? 2 x1 ? 1 x2 ? 2 x2 ? 1 12 ? 8 得证 ( x ? x ? x ) ? ? ? 4 1 2 3 2 2 3 ? 2 x3 ? 1 3 x12 ? 2 x1 ? 1 3 x 2 ? 2 x 2 ? 1 3 x3

当且仅当 x1 ? x 2 ? x 3 ?

1 ,即 a ? b ? c 时取等 3
?

总结: 对于形如“已知 x i ? 0 , i ? N 且
/

? x i ? a ,求证 ? f ( x i ) ? (?) M ”的不等
i ?1 i ?1

n

n

式问题均可以采用构造 f ( x ) ? (? ) f ( )( x ?

a n

a a ) ? f ( ) 后累加. n n

2

2. (日本奥林匹克数学竞赛试题) 【切线不等式】 已知 a, b, c ? 0 ,求证: 【证明】令 x1 ?

(b ? c ? a ) 2 (a ? c ? b) 2 (b ? a ? c ) 2 3 ? ? ? 2 2 2 2 2 2 5 (b ? c ) ? a (a ? c ) ? b (b ? a ) ? c

a b c , x3 ? , x2 ? , a?b?c a?b?c a?b?c

易得 x1 ? x 2 ? x3 ? 1且 x1 , x 2 , x3 ? 0 (先猜想 x1 ? x2 ? x3 ? 原不等式分式中上下同除以 (a ? b ? c) 2 得

1 3

(1 ? 2 x3 ) 2 (1 ? 2 x1 ) 2 (1 ? 2 x 2 ) 2 ? ? 2 2 (1 ? x1 ) 2 ? x12 (1 ? x1 ) 2 ? x 2 (1 ? x3 ) 2 ? x3
? 6?

1 1 1 , ? ? 2 2 2 x ? 2 x1 ? 1 2 x 2 ? 2 x 2 ? 1 2 x 3 ? 2 x 3 ? 1
2 1

即证

27 1 1 1 ? , ? ? 2 2 2 x ? 2 x1 ? 1 2 x 2 ? 2 x 2 ? 1 2 x 3 ? 2 x 3 ? 1 5
2 1
2

1 1 9 54 27 x? 在点 ( , ) 的切线为 y ? . 3 5 25 25 2x ? 2x ?1 1 54 27 ? x? 下证 ( 0 ? x ? 1 )x、y. 2 25 2 x ? 2 x ? 1 25
易得 化简即证明:108x ? 54x ? 2 ? 0
3 2



f ( x) ?
1 ? x ?1 3

108x 3 ? 54x 2 ? 2

/ 2 ( 0 ? x ? 1 ). f ( x ) ? 324x ? 108x ? 0 ?

1 ? f ( x ) min ? f ( ) ? 0 3
.?
2 1

得证

54 81 27 1 1 1 ? ( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? ? . ? ? 2 2 25 5 2 x ? 2 x1 ? 1 2 x 2 ? 2 x 2 ? 1 2 x 3 ? 2 x 3 ? 1 25
1 ,即 a ? b ? c 时取等 3

得证,当且仅当 x1 ? x 2 ? x 3 ?

3. (2005 年塞尔维亚数学奥林匹克竞赛题) 已知 x , y, z ? (0,??) ,求证:

x y?z

?

y z?x

?

z x? y

?

3 ( x ? y ? z) 2

3

【证明】 令 S ? x ? y ? z , x1 ?

x y z , x2 ? , x 3 ? ;则 x1 ? x 2 ? x3 ? 1. S S S

x y?z

?

y z?x

?

z x? y

?

3 ( x ? y ? z) ? 2 x3 x1 x2 3 ? ? ? ? 2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 3 2

x y z ? ? ? S S?x S?y S S?z S
易得

x 1? x

在点 ( ,

1 6 5 6 6 ) 的切线为 y ? x? 3 3 8 24

下证

x 1? x

?

5 6 6 x 5 6 6 , x ? (0,1) ,令 g ( x ) ? ; x? ? x? 8 24 8 24 1? x

g / ( x) ?

2? x 2(1 ? x ) 1 ? x
2? x

?

5 6 , x ? (0,1) ; 8
1 ? x (4 ? x ) ?0 4(1 ? x ) 3

令 t( x) ?

2(1 ? x ) 1 ? x

,得 t / ( x ) ?

1 1 / / 由 g ( x ) ? t ( x ) ? t ( ) ,得当 x ? ( ,1) 时 g ( x ) ? 0 ,g ( x ) 单 ? t ( x ) 在 (0,1) 上单调递增, 3 3
调递增;
/ 当 x ? ( 0, ) 时 g ( x ) ? 0 , g ( x ) 单调递减; ? g ( x ) ? g ( ) ? 0 得证

1 3

1 3

?

x1 1 ? x1

?

x2 1 ? x2

?

x3 1 ? x3

?

3 5 6 3 6 ( x1 ? x 2 ? x 3 ) ? . ? 8 24 2

当且仅当 x1 ? x 2 ? x 3 ?

1 ,即 x ? y ? z 时取等 3
?

定理(推广): 若 x i ? 0 , i ? N 且

?x
i ?1

n

i

?1
n (证明略,方法同上) n ?1



x1 1 ? x1

?

x2 1 ? x2

?

x3 1 ? x3

? ????

xn 1 ? xn

?

(二) 、化条件不等式为非条件不等式 对非条件不等式,通常可以通过代入法转化为条件不等式,条件不等式也可以通过一 些特殊的代换转化为非条件不等式,为进一步解题带来方便 1. 设 a, b, c ? R ,abc ? 1
+

4

证明: (a ? 1 ? )(b ? 1 ? )(c ? 1 ? ) ? 1 【分析】令 a ?

1 b

1 c

1 a

x y z , b ? , c ? ( x, y, z ? R+ ) y z x
(这里可有舒尔不等式证明)

(x ? y ? z )( y ? z ? x)( z ? x ? y) ? xyz 于是只需证明:
再令 u ? x ? y ? z , v ? y ? z ? x, w ? z ? x ? y 则x?

u?v v?w w?u ? 0, y ? ? 0, z ? ?0 2 2 2

故(1)式等价于证明 (u ? v)(v ? w)(w ? u ) ? 8uwv

u , w, v 中至多有一个为负数。
若仅有一个负数,则上式显然成立;若全为正数,则有均值不等式易证; 2.设 a, b, c ? R+,a+b+c ? 1 证明:

1 1 1 2 2 2 ? ? ? ? ? 1? a 1? b 1? c 1? a 1? b 1? c

【分析】讲条件代入,转化为

1 1 1 2 2 2 ? ? ? ? ? b+c c ? a a ? b 2a ? b ? c a ? 2b ? c a ? b ? 2c


1 1 4 ? ? 易证得上式; x y x? y
1 1 1 3 ? 3 ? 3 ? . a (b ? c) b (a ? c) c (a ? b) 2
3

3、设 a, b, c ? 0 且 abc ? 1 ,试证:

【证法一】应用柯西不等式推论 由 abc ? 1 ,得
1 b 2c 2 , ? a 3 (b ? c) ab ? ac

b2c 2 c2a2 a 2b 2 3 ? ? ? , 从而原不等式等价于 ab ? ac bc ? ba ca ? ab 2
2 (bc ? ca ? ab) 左? (ab ? ac) ? (bc ? ba) ? (ca ? cb)

3 ? 3 (abc) 2 3 1 ? (bc ? ca ? ab) ? ? . 2 2 2

【证法二】 (平均值不等式的推论)

5

由 4x 2 ? y 2 ? 4 xy ,有 x ? x ? y ( y ? 0) ,
2

y

4



( )2 1 1 1 1 1 1 . a ? ) a 3 (b ? c) a 2 (ab ? ac) ? 1 1 ? a ? 4 ( c ? b ) c ? b

1

同理

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), b (c ? a ) b 4 a c
3

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), c ( a ? b) c 4 a b
3

三式相加得 左 ? 1 ( 1 ? 1 ? 1 ) ? 3 3 1 ? 3
2 a b c 2 abc 2

三、将条件不等式转化为新的条件不等式 1、已知 a, b, c ? 0 ,且 a ? b ? c ? 1
1? a 1? b 1? c

1 1 1 ? 2 ? 2 ? 12 . 2 a b c 1 1 1 【证法一】 由已知得 令x ? 1 ,y ? 1 ,z ? 1 , ? ? ? 1, 1 1 1 1 1 1 1? 1? 1? 1? 1? 1? a b c a b c

求证:

则 由

x ? y ? z ? 1,
1 1 1 1 1 1 ? ?1 , ? ?1, ? ?1 , a x c z b y

y ? z x ? z x ? y 2 yz 2 xz 2 xy 3 得 1 ? 1? x ? 1? y ? 1? z ? ? ? ? ? ? ?2 , x y z abc x y z x y z

从而 abc ? 2 ?3 , 得 1 ? 1 ? 1 ? 2 2 2 3
a b c

3 a b2c 2
2

? 12 .

【证法二】切线不等式 2、设 p, q, r 为正数,且满足 pqr ? 1 证明:对所有的 n ? N? ,都有
1 1 1 ? n n ? n ?1 n p ? q ? 1 q ? r ? 1 r ? pn ? 1
n

【分析】作代换 a ? pn , b ? qn , c ? r n ,则 abc ? 1
1 1 1 ? ? ?1 a ? b ?1 b ? c ?1 c ? a ?1 这里从局部入手分析,由排序不等式得

且原不等式等价于

6

a?b ? a a ?b b ? a b ?b a
1

2 3

1 3

2 3

1 3

2 3

1 3

2 3

1 3

1

1

1 故 = a ? b ?1

(abc) 3 (abc) ? a ? b
1 3

?

(abc) 3 (abc) ? a b ? b a
1 3 2 3 1 3 2 3 1 3

=

c3 c3 ? a3 ? b3
1 1 1

将上面式子轮换,相加后即得原不等式;

7



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