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【最新】2018-2019学年度人教B版高中数学-必修4教学案-第二章-向量的线性运算(可直接打印)

2.1.1 向量的概念 预习课本 P77~79,思考并完成以下问题 (1)向量是如何定义的?怎样表示向量? (2)向量的相关概念有哪些? [新知初探] 1.向量的概念及表示 概念 表示 代数 表示 具有大小和方向的量称为向量 具有方向的线段, 叫做有向线段, 以 A 为始点, B 为终点的有向线段记作 AB , AB 的长度记作| AB |.用有向线段 AB 表示向量,读作向量 AB 印刷时,用黑体小写字母,手写时,小写字母要带箭头 [点睛] 向量可以用有向线段表示, 但向量不是有向线段. 向量是规定了大小和方向的量, 有向线段是规定了起点和终点的线段. 2.与向量有关的概念 名称 向量的 长度(模) 零向量 相等向量 向量的基线 向量共线或 若 AB =a,则 AB 的长度为向量的长度(模) 长度等于 0 的向量 两个向量 a 和 b 同向且等长 通过有向线段 AB 的直线 向量的基线互相平行或重合 a∥b |a| 0 a=b 定义 记法 平行 位置向量 规定:零向量与任意向量都平行 0∥a 任给一定点 O 和向量 a,过点 O 作有向线段 OA =a,则点 A 相对于点 O 的 位置被向量 a 所唯一确定,这时向量 OA 叫做点 A 相对于点 O 的位置向量 [点睛] 共线向量仅仅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)两个向量能比较大小.( (2)向量的模是一个正实数.( ) ) ) (3)向量 AB 与向量 BA 是相等向量.( 答案:(1)× (2)× (3)× 2.有下列物理量:①质量;②温度;③角度;④弹力;⑤风速. 其中可以看成是向量的个数( A.1 C .3 答案:B 3.已知向量 a 如图所示,下列说法不正确的是( ) ) B.2 D.4 A.也可以用 MN 表示 C.始点是 M 答案:D B.方向是由 M 指向 N D.终点是 M 4.如图, 四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形, 则与 ED 相等的向量有 ______. 答案: AB , DC 向量的有关概念 [典例] 有下列说法:①向量 AB 和向量 BA 长度相等;②方向不同的两个向量一定不平 行;③向量 BC 是有向线段;④向量 0=0,其中正确的序号为________. [解析] 对于①,| AB |=| BA |=AB,故①正确; 对于②,平行向量包括方向相同或相反两种情况,故②错误; 对于③,向量可以用有向线段表示,但不能把二者等同起来,故③错误; 对于④,0 是一个向量,而 0 是一个数量,故④错误. [答案] ① (1)判断一个量是否为向量应从两个方面入手 ①是否有大小;②是否有方向. (2)理解零向量应注意的问题 零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等. [活学活用] 有下列说法: ①若向量 a 与向量 b 不平行,则 a 与 b 方向一定不相同; ②若向量 AB , CD 满足| AB |>| CD |,且 AB 与 CD 同向,则 AB > CD ; ③若|a|=|b|,则 a,b 的长度相等且方向相同或相反; ④由于零向量方向不确定,故其不能与任何向量平行. 其中正确说法的个数是( A.1 C .3 ) B.2 D.4 解析:选 A 对于①,由共线向量的定义,知两向量不平行, 方向一定不相同, 故①正确; 对于②,因为向量不能比较大小,故②错误;对于③,由|a|=|b|,只能说明 a,b 的长度相等, 确定不了它们的方向,故③错误;对于④,因为零向量与任一向量平行,故④错误. 向量的表示 [典例] 在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为 1),用直尺和圆规画出下列向量: ① OA ,使| OA |=4 2,点 A 在点 O 北偏东 45° ; ② AB ,使| AB |=4,点 B 在点 A 正东; ③ BC ,使| BC |=6,点 C 在点 B 北偏东 30° . [解] (1)由于点 A 在点 O 北偏东 45° 处,所以在坐标纸上点 A 距点 O 的横向小方格数与 纵向小方格数相等.又| OA |=4 2,小方格边长为 1,所以点 A 距点 O 的横向小方格数与纵 向小方格数都为 4,于是点 A 位置可以确定,画出向量 OA 如图所示. (2)由于点 B 在点 A 正东方向处,且| AB |=4,所以在坐标纸上点 B 距点 A 的横向小方格 数为 4,纵向小方格数为 0,于是点 B 位置可以确定,画出向量 AB 如图所示. (3)由于点 C 在点 B 北偏东 30° 处,且| BC |=6,依据勾股定理可得:在坐标纸上点 C 距 点 B 的横向小方格数为 3, 纵向小方格数为 3 3≈5.2, 于是点 C 位置可以确定, 画出向量 BC 如图所示. 用有向线段表示向量的方法 用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的 终点. 必要时,需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模),选择合适的比例 关系作出向量. [活学活用] 一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 千米到达 B 点,然后改变方向,向北偏西 40° 方向行 BC , 驶了 200 千米到达 C 点, 最后又改变方向, 向东行驶了 100 千米到达 D 点. 作出向量 AB , CD , AD . 解:如图所示. 共线向量或相等向量 [典例] 如图所示, O 是正六边形 ABCDEF 的中心, 且 OA =a,OB =b, OC =c. (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些? (2)与 a 共线的向量有哪些? (3)请一一列出与 a,b,c 相等的向量. [解] (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有 OD , BC , AO , FE . (2)与 a 共线的向量有 EF , BC , OD , F


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