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必修2——4.3.2空间两点间的距离公式_图文

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通过建立直角坐标系可以确定空间中点的位置。 z z

M (x,y,z)
O x x y y

如何计算空间两点之间的距离?

4.3.2 空间两点间的 距离公式

思考
类比平面两点间距离公式的推导,你能猜想一下 空间两点 P1 (x1 , y 1 , z1 ), P2 (x 2 , y 2 , z 2 ) 间的距离公式吗? 平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式
| P1 P2 |? (x 2 ? x1 ) 2 ? (y 2 ? y 1 ) 2

P
1

y

o

P
2

x

空间任一点P(x,y,z)到原点O的距离。 z C

0
x A

P(x,y,z) By

|OA|=|x|, |OB|=|y|, |OC|=|z|

从立体几何可知,|OP| 2 =|OA| 2 +|OB| 2 +|OC| 2
所以 | OP |?

x ?y ?z
2 2

2

思考
x 2 ? y 2 ? r 2 表示什么图形?

y

O r

x

表示以原点为圆心,r为半径的圆。

思考
2 2 2 2 如果|OP|是定长r,那么 x ? y ? z ? r 表示什 么图形? z

O
x y

表示以原点为球心,r为半径的球体。

思考:若直线P1P2 是xOy平面的一条斜线, 则点P1、P2的距离如何计算?
z
P1 O x P2

A
y

M

N

| P1P2 |=

(x 1 - x 2 ) + (y 1 - y 2 ) + (z 1 - z 2 )

2

2

2

这就是空间两点间的距离公式.

空间任意两点间的距离. R2 z S2 O x Q1 y Q2

P2 (x2,y2,z2) S1 P1 (x1,y1,z1) R1

|P1Q1|=|x1-x2|; |Q1R1|=|y1-y2|;|R1P2|=|z1-z2|

|P1P2|2=|P1Q1||2+|Q1R1|2+|R1P2|2

| P1 P2 |? (x1 ? x 2 )2 ? (y 1 ? y 2 )2 ? (z 1 ? z 2 ) 2

例题

已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,1,4),求证其连线组成的三角形为直角三角形。
利用两点间距离公式,由

| AB |? 89, | AC |? 75, | BC |? 14

| AC | 从而,

2

? | BC | ?| AB |
2

2

根据勾股定理,结论得证。

例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (1)三角形三边的边长; 解: AB ?

?1 ? 2? ? ?5 ? 3? ? ?2 ? 4?
2 2

2

?3

BC ? AC ?

?2 ? 3? ? ?3 ? 1? ? ?4 ? 5?
2 2

2

? 6 ? 29

?1 ? 3? ? ?5 ? 1? ? ?2 ? 5?
2 2

2

例1:已知三角形的三个顶点A(1,5,2), B(2,3,4),C(3,1,5),求: (2)BC边上中线AM的长。
1? 2 ? 3 ? x ? ? 3 解: ? 2 ? 5 ? 3 ?1 9 ? ? 9 11 ? ? ? M ? 3, , ? ?y? 2 2 ? 2 2? ? ? z ? 2 ? 4 ? 5 ? 11 ? 2 2 ?
2 2

9 ? ? 11 ? 66 ? AC ? ?1 ? 3? ? ? 5 ? ? ? ? 2 ? ? ? 2? ? 2? 2 ?

2

例2:求证以 M 1 (4,3,1) , M 2 (7,1,2) , M 3 (5,2,3),
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解: M1 M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? ( 2 ? 1)2 ? 14,
M 2 M 3 ? (5 ? 7 )2 ? ( 2 ? 1)2 ? ( 3 ? 2)2 ? 6, M 3 M 1 ? (4 ? 5)2 ? ( 3 ? 2)2 ? (1 ? 3)2 ? 6,
2 2

2

? M 2 M 3 ? M 3 M 1 , 原结论成立.

例3:设P在x轴上,它到 P1 (0, 2,3) 的距离为
到点 P2 (0,1,?1)的距离的两倍,求点P的坐标。 解: 因为 P 在 x 轴上, 设P点坐标为( x ,0,0),

PP1 ? x 2 ? ? 2 ?2 ? 32 ?
PP2 ? x ? ?? 1? ? 1 ?
2 2 2

x ? 11,
2

x ? 2,
2

? PP1 ? 2 PP2 , ? x 2 ? 11 ? 2 x 2 ? 2
? x ? ?1, 所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

二、空间中点坐标公式:
在空间直角坐标系中,点P(x1,y1,z1)和 点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

x1 ? x2 ? x3 ? x ? ? 2 ? y1 ? y2 ? y3 ? ?y ? 2 ? z ? z ? z 1 2 3 ?z? ? 2 ?

随堂练习
1.若已知A(1,1,1),B(-3,-3,-3),则 线段AB的长为(A )
A.4 3 C.4 2 B.2 3 D.3 2

2.点B是点A(1,2,3)在坐标平面yOz内的射 影,则OB等于( B )
A. 14 C.2 3

B. 13 D. 11

3.在空间直角坐标系中,一定点到三个坐标轴的距 离都是1,则该点到原点的距离是( A )
6 2 3 C. 2 A.

B. 3 6 D. 3

4.已知ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B (2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为 ( D ) A.(7/2,,4,-1) B.(2,3,1) C.(-3,1,5) D.(5,13,-3)

练习答案
1. (1) 6
(2) 70

2.解:设点M的坐标是(0,0,z)。 依题意,得:

(0 ? 1)2 ? 0 ? (z ? 2)2 ? (0 ? 1)2 ? (0 ? 3)2 ? (z ? 1)2
解得 z=-3。 所以M点的坐标是(0,0,-3)。

3.证明:根据空间两点间距离公式,得:
| AB |? (10 ? 4)2 ? ( ?1 ? 1)2 ? (6 ? 9)2 ? 7 | BC |? (4 ? 2)2 ? (1 ? 4)2 ? (9 ? 3)2 ? 7 | AC |? (10 ? 2)2 ? ( ?1 ? 4)2 ? (6 ? 3)2 ? 98

因为 7 ? 7 ? 98,

且|AB|=|BC|,

所以 ΔABC 是直角三角形。 4.由已知,得点N的坐标为 ( , ,0), 3 3 a 2a 点M的坐标为 ( ,a, )。 于是 3 3 a a 2 2a 2a 2 5 2 | MN |? ( ? ) ? ( ? a) ? (0 ? ) ? a 3 3 3 3 3
a 2a

作业: P138练习:1,2,3,4. P139习题:A2.A3.B1.

如图,在正方体ABCDA`B`C`D`中,点P、Q分别在棱长为1的正方 体的对角线BD`和棱CC`上运动,求P、Q两 点间的距离的最小值,并指出此时P、Q两点 的位置. z
D`
A`
| PQ |= = (1 - z 1 ) + z + (z 1 - z 2 ) 12 1 ) + 2 2
2 2 1 2

P139.B3例4

C`
B` Q(0,1,z2)

O

P(x,y,z1)
C

(z 1 - z 2 )2 + 2(z 1 -

A
x

B H(x,x,0)

y



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