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山东省潍坊市2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题_图文

高三数学(理)
2015.5 本试卷共 5 页,分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(选择题

共 50 分)

注意事项: 1.答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填 写在规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中。 只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位,复数 A.2 B. ?2

2 ? 2i ? 1? i
C.2i D. ? 2i

2.已知集合 A ? x y ? ln x ? x
2

?

?

?? , B ? ?x x

2

? 9 ? 0?,则A ? B ?
C.

A.

0? ??13 , ??3, ?

B.

0? ? ?13 , ??3, ?

1? ? 0,

D.

3? ??3,

3.若 a, b, c, 均为实数,且 ab ? 0 ,则下列不等式正确的是 A. a ? b ? a ? b B. a ? b ? a ? b

C. a ? c ? a ? b ? b ? c D. a ? b ? a ? b 4. 设 a ? 0且a ? 1 . 则 “ 函 数 f ? x ? ? loga x是? 0, ? ?? 上 的 增 函 数 ” 是 “ 函 数

g ? x ? ? ?1 ? a ? ? a x ”是 R 上的减函数的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.一个几何体的三视图如图所示,其中左视图为直角三 角形,则该几何体的体积为 A. 16 2 B.

4 2 3 16 2 3
1

C.

8 2 3

D.

6.运行如图所示的程序框图,若输出的 S 是 254,则①处应为 A. n ? 5 B. n ? 6 C. n ? 7 D. n ? 8

7. 已知函数 f ? x? ? 2 sin? ? x ?

? ?

??

? x? R? 的图象的一条 ?? 1 6?
12? 5

对称轴为 x ? ? ,其中 ? 为常数,且 ? ? ?1,2? ,则函数 f ? x ? 的最小正周期为 A.

3? 5

B.

6? 5

C.

9? 5

D.

2 x 8.当 a ? 0 时,函数 f ? x ? ? x ? 2ax e 的图象大致是

?

?

9.已知抛物线 C1 : y 2 ? 2x 的焦点 F 是双曲线 C2 : 两条曲线的一个交点为 M,若 MF ?

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个顶点, a 2 b2

3 ,则双曲线 C2 的离心率是 2
D.

A.

2

B.

17 3

C.

2 6 3

33 3

10.已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 是两个定义在区间 M 上的函数,若对任意的 x ? M ,存在常 数 x0 ? M ,使得 f ? x ? ? f ? x0 ? , g ? x ? ? g ? x0 ?,且f ? x0 ? ? g ? x0 ? ,则称函数 f ? x ? 和

g ? x ? 在区间 M 上是“相似函数”.若 f ? x ? ? log 2 ? x ? 1? ? b与g ? x ? ? x 3 ? 3x 2 ? 8 在
2

?5 ? ?5 ? ,则函数 f ? x ? 在区间 ? ,3? 上的最大值为 ,3? 上是“相似函数” ? ?4 ? ?4 ?
A.4 B.5 C.6 D.

9 2

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

注意事项: 将第 II 卷答案用 0.5mm 的黑色签字笔答在答题卡的相应位置上. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.已知 a ? b ? 2, ? a ? 2b ? ? ?a ? b ? ? ?2,则a与b 的夹角为_________. 12.已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0与x 轴的交点, 且圆 C 与圆 ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 8
2 2

相外切,则圆 C 的方程为__________.

?x ? 0 ?y ? 0 ? 13.已知 x, y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? x ? my ? m ? 0? 取得最大值时 ?x ? y ? 2 ? 0 ? ?x ? y ? 4 ? 0
最优解有无数个,则 m 的值为___________. 14.有 2 位女生,3 位男生站成一排合影,要求女生甲不在队伍两端,3 位男生中有且仅有 2 位相邻,则不同的排队方法共有__________种. 15. 已 知 函 数 f ? x ? 对 任 意 x ? R 满 足 f ? x ?1? ? f ? x ?1?,且f ? x ? 是 偶 函 数 , 当

x ?? ?1,0? 时, f ? x ? ? ?x2 ?1 ,若方程 f ? x ? ? a x 至少有 4 个相异实根,则实数 a 的
取值范围是___________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已 知 ?ABC 的 内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c, 向 量 m ? ? 2 s i n

? ?

A ? , co As ?, 2 ?

A ? ? n ? ?1 ? 2sin 2 , ? 15 ? , 且m ? n . 4 ? ?
(I)求角 A 的余弦值; (II)若 a ?

6 ,求 ?ABC 的面积最大值.
3

17. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形,M,N 分 别为 PB,CD 的中点,二面角 P ? CD ? A 的大小为 60 °, AC=AD= 2 ,CD=PN=2,PC=PD. (I)求证: PA ? 平面 ABCD; (II)求直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值. 18. (本小题满分 12 分) 2015 年中国男子国家足球队再度征战世界杯亚洲区预选赛, 中国队与卡塔尔、 马尔代夫、 不丹、中国香港同处一组.比赛采取主客场积分制,既任意两队分别在自己的国家或地区 (主场)和对方的国家或地区(客场)各比赛一场,规定每场胜者得 3 分,负者得 0 分, 战平各得 1 分,按积分多少排名.卡塔尔队是中国队最主要的竞争对手,假设中国队与卡 塔尔队在对阵其他三队的主客场比赛中都全部获胜;中国队在对阵卡塔尔队主场战胜的 概率为

1 1 1 ,战平的概率为 ,在客场胜、平、负的概率均为 ,各场比赛结果相互独立. 2 3 3

(I)求中国队在主场不败的情况下积分大于卡塔尔队积分的概率; (II)求比赛结束时中国队积分 X 的分布列与数学期望. 19. (本小题满分 12 分)
? 若? a 已知数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足: a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ? ? an ?log 2 b n n ?N . n? 为等差数

?

?

列,且 a1 ? 2, b3 ? 64b2 . (I)求 an与bn ; (II)设 cn ? ? an ? n ? 1? ? 2 n ,数列?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn 并比较
a ?2
* 的大小 n ? N .

n 1 与 Tn 3n ? 10

?

?

20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 6 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,点 O a b 3
为坐标原点, 椭圆 C 与曲线 y ? x 的交点分别为 A,B (A 在 第四象限) ,且 OB ? AB ?

3 . 2
4

(I)求椭圆 C 的标准方程;

x2 y 2 (II)定义:以原点 O 为圆心, a ? b 为半径的圆称为椭圆 2 ? 2 ? 1 的“伴随圆”. a b
2 2

若直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,交其“伴随圆”于 P,Q 两点,且以 MN 为直径的圆过原 点 O. 证明: PQ 为定值. 21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? ln x ? ax ?? a ? R ? , g ? x ? ? f ? ? x ? . (I) 若曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 3x ? y ? 1 ? 0 平行, 求实数 a 的值; (II)若 a ? 0 ,求函数 g ? x ? 在 ?1, e? 上的最大值; ( III ) 若 函 数 F ? x ??

?

?

g ?? x ?

1 2

2

x 个 极 值 点 x1 , x2,且x1 ? x2 , 求 证 : 两

f ? x2 ? ? ?1 ? f ? x1 ? .

5

6

7

8

9

10



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