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最新-第7章第1节平面向量的概念及线性运算-PPT文档资料_图文



考纲要求 ①了解向量的实际背景,理解平面向量的概念和 向量相等的含义,理解向量的几何表示. ②掌握向量加、减法及向量数乘运算,并理解其 几何意义,以及两个向量共线的含义.了解向量 的线性运算性质及其几何意义. ③了解平面向量基本定理及其意义,掌握平面向 量的正交分解及其坐标表示,会用坐标表示平面 向量的加、减法运算与数乘运算,理解用坐标表 示的平面向量共线的条件. ④理解平面向量数量积的含义及其物理意义,了 解平面向量的数量积与向量投影的关系.掌握数 量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运 算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系. ⑤会用向量方法解决某些简单的平面几何问题, 会用向量方法解决某些简单的力学问题和其他一 些实际问题.

高考展望 近几年的高考数学试题 中,平面向量每年都考,题 型多以选择题为主,有时也 与三角函数、解析几何知识 综合在一起进行考查,特别 是向量数量积的概念,几乎 年年考查,预计今后几年仍 然会保持这种命题趋势.预 计2019年的高考,一是以选 择、填空题的形式考查平面 向量的基本概念及运算,此 类题一般难度不大,用以解 决有关长度、夹角、平行、 垂直等问题;二是有可能出 现以平面向量为工具,在三 角函数、解析几何、数列等 知识交汇点处命题的题目.

1 1 . 设 四 边 形 A B C D 中 , 有 D C ?A B 且 A D ? B C , 则 这 个 2 四 边 形 是 ?C ? A . 平 行 四 边 形 B . 矩 形 C . 等 腰 梯 形 D . 菱 形

1 解 析 : 因 为 D C ?A B , 所 以 D C / / A B , 且 D C ? A B . 2 又 A D ? B C , 所 以 四 边 形 A B C D 为 等 腰 梯 形 .

2 . 点 P 在 平 面 上 作 匀 速 直 线 运 动 , 速 度 向 量 v ?(4 , ?3 ) ( 即 点的 P 运 动 方 向 与相 v 同 , 且 每 秒 移 动 的 距 离 为 | v| 个 单 位 长 度 ) , 设 开 始 时 点的 P 坐 标 为 1 0 ,1 0?, 则秒 5 ?? 后 点的 P 坐 标 为 ?C A . 2 ,4? ??

?
C( ., 1 0 ?5 ) D(5 . , ?1 0 )

B . 3 0 ,2 5? ??

解 析 : 横 向 移 动 4 ? 5 ? 2 0 , 纵 向 移 动 ? 3 ? 5 ? ? 1 5 .

3.已知 a ? ?1, 0 ? , b ? ? 2,1? , 且向 量 m ? k a ? b与 n ? a ? 3 b 平 行 , 则 下列 说法 中 正确 的是 ? A 1 A . k ? ? , 向量 m 与 n方向 相反 3 1 B. k ? ? , 向 量 m 与 n方向 相 同 3 17 C . k ? , 向量 m 与 n方 向相 反 7 17 D . k ? ,向 量 m 与 n方 向相 同 7

?

1 7 解 析 : 当 k ? ?时 , m ? k a ? b ?? ( , ? 1 ) , n ? a ? 3 b ? 7 , 3 . ? ? 3 3 1 因 为 m ? ?n , 所 以 mn , 方 向 相 反 . 3

4 . 若 a ? " 向 东 走, 8 k m "b ? " 向 北 走, 8 k m " 8 2 k 东北方向 则 a ? b ? m , a ? b 的 方 向 是

.

5 . 已 知 等 差 数 列 a 的 前 n 项 和 为 S , 若 O B ? a O A ? a O C , ? ? n n 1 2 0 0

1  0 0 . 且 A 、 B 、 C 三 点 共 线 ( 该 直 线 不 过 原 点 O ) , 则 S ? 2 0 0

解 析 : 因 为 A 、 B 、 C 三 点 共 线 , 且 O B ? a O A ? aO , 1 2 0 0C ? aa ? ? ? 2 0 0 1 2 0 0 所 以 aa ? ? 1 , 所 以 S ? ? 1 0 0 . 1 2 0 0 2 0 0 2

平面向量的基本概念

例1:下列各命题中,真命题的个数为(   ) ①若:AB ? DC,则四边形ABCD是平行四边形; ②若| a |?| b | ,则a ? b或a ? ?b; ③若a ? b,b ? c,则a ? c; ④若a//b,b//c,则a//c. A.1 B.2 C.3 D.4

解 析 : ② 不 正 确 , 因 为 两 向 量 相 等 必 须 大 小 相 同 且 ④ 不 正 确 , 当 b ? 0 时 , a / / c 不 一 定 成 立 . 所 以 只 有 ① ③ 正 确 , 应 选 B . 答 案 : B

方 向 相 同 , 而 模 相 等 是 向 量 相 等 的 必 要 不 充 分 条 件 .

反 思 小 结 : 向 量 的 相 关 概 念 较 多 , 且 容 易 混 淆 , 所 以 在 学 习 中 要 分 清 , 理 解 各 概 念 的 实 质 . 注 意 向 量 相 等 应 满 足 的 两 个 条 件 : ① 模 相 等 ; ② 方 向 相 同 . 还 要 注 意 零 向 量 的 特 殊 性 , 尤 其 是 判 定 向 量 共 线 时 不 要 忽 略 零 向 量 .

拓 展 练 习 1 : 下 列 命 题 中 正 确 的 是 ?D A . 单 位 向 量 都 相 等

?

B . 长 度 相 等 且 方 向 相 反 的 两 个 向 量 不 一 定 是 共 线 向 量 C . 若 a , b 满 足 a ? b且与 a b 同 向 , 则 a?b D . 对 于 任 意 向 量、 a b , 必 有 | a?b|? a ?| b|

向量的线性表示

例 2 : 如 图 所 示 , D 、 E 分 别 是 ? A B C 的 边 A BA 、 C 的 试 用 a 、 b 分 别 表 示 D E 、 C EM 和 N .

中 点 , M 、 N 分 别 是 D EB 、 C 的 中 点 . 已 知 B C ? a , B D ? b ,

1 解 析 : 由 三 角 形 的 中 位 线 知 DE// BC , 2 1 1 故 DE ? BC , 即 DE ? a. 2 2 所 以 CE ? CB? BD? DE

1 1 ? ?a ? b ? a ? ? a ? b, 2 2 1 1 MN ? MD ? DB ? BN ? ED ? DB ? BC 2 2 1 1 1 ? ? a ? b ? a ? a ? b. 4 2 4

反思小结:用已知向量来表示另外一些向量,是用 向量解题的基本功,除综合利用向量的加、减法及 数乘运算外,还需要充分利用平面几何中的一些定 理.

拓 展 练 习 2 : 平 行 四 边 形 A B C D 中 , M 、 N 分 别 为 D C 、 B C 的 中 点 . 已 知, A M ? c A N ? d , 试 用 c , d 表 示 A B 和 A D .

解析: 如图.设AB ? a, AD ? b, 则由M、N分别为DC、BC的中点, 1 1 可得DM ? a, BN ? b. 2 2 在?ABN和?ADM中,

2 ? ? 1 a ? ?2d ? c? a? b?d ? ? ? 2 ? 3 可得? ,解得? ,   ?b ? 1 a ? c ?b ? 2 ?2c ? d ? ? ? ? 2 3 ? 2 2 所以, AB ? ? 2d ? c? , AD ? (2c ? d ). 3 3

向量共线

例 3 : 如 图 , G 是 ? O A B 的 重 心 ,P 、 Q 分 别 是 边 O A 、 O B 上 的 动 点 , 且、 P G 、 Q 三 点 共 线 . P G??P Q , 将 O G 用、、 ?O PO Q 表 示 ; ?1 ?设 1 1 O P?x O A , O Q? y O B , 证 明 : ? 是 定 值 . ?2?设 x y

解 析 : 1 O G ? O PP ?G ? O P ? ? P Q ?? ? O P ? ? ( O Q ? O P ) ?? ( 1? ) O P ? ? O Q

?2?证 明 : 一 方 面 , 由 ? 1 ? 得 O G ? (1 ? ? ) O P

? ?OQ

? (1 ? ? ) x O A ? ? y O B ; ① 另 一 方 面 , 因 为 G 是 ? O A B的 重 心 , 2 2 1 所 以 O G ? O M ? ? (O A ? O B ) 3 3 2 1 1 ? O A ? O B .② 3 3

而 O A、 O B不 共 线 , 1 ? ?1 ? ? ? x ? ? ? 3 所以由①②得 ? , ?? y ? 1 ? 3 ? ?1 ? 3 ? 3? ? 1 1 ?x 解得 ? , 所 以 ? ? 3 ( 定 值 ). 1 x y ? ? 3? ? ?y

反 思 小 结 : 本 题 从 正 反 两 方 面 考 查 了 向 量 共 线 的 充 要 条 件 , 即 b 与 非 零 向 量 a 共 线 , 则 必 存 在 唯 一 实 数 ? , 使 可 利 用 向 量 共 线 的 充 要 条 件 来 解 决 .

b ? ? a ; 若 b ? ? a ( ? ? R ) , 则 b 与 a 共 线 . 三 点 共 线 问 题

拓 展 练 习 3 : 已 知 向 量 a ? 2 e ? 3 e , b ? 2 e ? 3 e , 其 中 1 2 1 2 数 ?? 、 , 使 向 量 d ? ? a ? ? b 与 c 共 线 ? 解析: d ? ?a ? ?b ? ? ?2e1 ? 3e2 ? ? ? ?2e1 ? 3e2 ?
? (2? ? 2?)e1 ? (?3? ? 3?)e2. 要使d与c共线,则应有实数k,使d ? kc, 即 (2? ? 2?)e1 ? (?3? ? 3?)e2 ? k ?2e1 ? 9e2 ?. ?2? ? 2? ? 2k 由? ,得? ? ?2?. ??3? ? 3? ? ?9k

e 、 e 不 共 线 , 向 量 c ? 2 e ? 9. e 问 是 否 存 在 这 样 的 实 1 2 1 2

故存在这样的实数?、?,只要? ? ?2?,就能使d与c共线.

向量的坐标运算

例 4 : 已 知 O 为 坐 标 原 点 , A 0 , 2 , B 4 , 6 , O M ? t O A ? tA . ? ? ? ? 1 2 B

1 求 点 M 在 第 二 或 第 三 象 限 的 充 要 条 件 ; ?? 2 求 证 : 当时 t ? 1, 不 论 t 为 何 实 数 , A 、 B 、 M 三 点 都 共 线 . ?? 1 2

解 析 : ?1?OM ? t1OA?t2 AB ? t1 ?0,2? ?t2 ?4,4? ?4t2 ? 0 有? . ?2t1 ? 4t2 ? 0

? ?4t2, 2t1 ? 4t2 ?.当 点 M在 第 二 或 第 三 象 限 时 ,

故 所 求 的 充 要 条 件 为 "t2 ? 0 , 且 t1 ? 2t2 ? 0".

明 : 当 t 1 时 , 由 O M??4 t2,4 t2 ? 2 ?2 ?证 ?1 ?知 ?. 1? 因 为 A B?O B ? O A ??4 ,4 ?, A M?O M ? O A ??4 t2,4 t2??t2?4 ,4 B , ??t2A 所 以 A 、、 B M 三 点 都 共 线 .

反 思 小 结 : 本 题 主 要 考 查 向 量 的 坐 标 表 示 和 向 量 的 坐 标 熟 、 快 、 准 .

运 算 , 这 些 均 属 基 础 知 识 、 基 本 方 法 , 做 此 类 题 要 做 到

拓 展 练 习 4 : 已 知 A ( 2 , ? 1 ) , B ? 1 , 1 , O 为 坐 标 原 点 , 动 点 M ? ? 求 点 M 的 轨 迹 方 程 . 解析:设M ( x,y ), 则OM ? ( x,y ).
又OA ? (2, ? 1), OB ? ? ?1,1?,由OM ? mOA ? nOB, 得( x,y ) ? (2m, ? m) ? (? n,n), ? x ? 2m ? n ?m ? x ? y 于是 ? ,则 ? . ? y ? ?m ? n ?n ? x ? 2 y 2 2 故由2m ? n ? 2消去m,n, 得点M 的轨迹方程为x 2 ? 2y 2 ? 2.

2 2 满 足 O M ? m O An ? O B , 其 中 m , n ? R 且 2 mn ? ? 2 ,

本节内容主要从四个方面考查 , 一是向量的有关概 念 , 二是向量加法、减法及数乘 , 平面向量基本定 理的应用 , 三是共线向量与三点共线问题 , 四是平 面向量的坐标运算 . 在这些方面注意使用数形结合 思想解决问题. 1.常用定理与公式: ?1? 三点共线定理 :平面上三点 A、 B、 C 共线的充要条件是:存在实数 ? 、 ? ,使 OA ?

? OB ? ? OC,其中 ? ? ? ? 1, O 为平面内的任意一点.

? 2 ? ①平面内有任意三个点O、A、B,若M 是线段AB的
1 中点,则OM ? (OA ? OB);②?ABC中,M 为BC边的 2 中点,G为重心,则 AB ? BC ? CA ? 0; GA ? GB ? GC ? 0; ③有限个向量a1,a2, ?,an相加,可以从点O出发,逐 一作向量OA1 ? a1, A1 A2 ? a2, ?, An ?1 An ? an,则向量即这 些向量的和,即a1 ? a2 ??? an ? OA1 ? A1 A2 ??? An ?1 An ? OAn (向量加法的多边形法则).

x1 ? x2 ? x0 ? ? ? 2 ( M ( x0, y 0 )是线段 AB的 ? 3 ? 中点坐标公式: ? ? y ? y1 ? y 2 0 ? ? 2 中点,其中 A( x1, y1 ), B ( x2, y 2 )). 当 An 和 O 重合时 (即上述折线 OA1 A2 ? An 成封闭折线时 ), 则和向量为零向量.注意:反用以上向量的和式,即 把一个向量表示为若干个向量和的形式,是解决向量 问题的重要手段.

2. 根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 , 在 同 一 平 面 内 任 一 向 量 都可以表示为两个不共线向量的线性组合.在实际解 题中的指导意义在于找到表示一个平面内所有向量的 一 组 基 底 ( 不 共 线 向 量 e 1 与 e 2 ), 这 样 , 平 面 上 的 任 何 一 个 向 量 a 都 可 以 用 e 1、 e 2 唯 一 表 示 为 a ? ? 1 e 1 ? ? 2 e 2, 这 样 几 何 问 题 就 转 化 为 代 数 问 题 , 转 化 为 只 含 有 e 1、 e 2的 代数运算.为了降低问题的难度,可以应用方程的思 想将问题转化. 3. 基 底 建 模 是 向 量 法 解 决 几 何 图 形 有 关 证 明 和 求 解 的 一 种 重 要 方 法 , 关 键 在 于 选 取 的 基 底 是 否 合 适 ,注 意与已知条件联系.

1   . ( 2 0 1 0 全 国 卷 Ⅱ ) ? A B C 中 , 点 D 在 边上 A B, C D 平 分 ? A C B . 若 C B ? a , C A ? ba , ? 1 , b? 2 , 则 C D ? (     ) 1 2 2 1 3 4 4 3 A . a ?b B . a ?b C . a ?b D . a ?b 3 3 3 3 5 5 5 5 解 析 : 因 为 CD 平 分 ? ACB ,

AD CA 由 角 平 分 线 定 理 得 ? ? 2,所 以 D 为 AB D B CB 2 2 的 三 等 分 点 , 且AD ? AB ? (CB?CA), 3 3 2 1 2 1 所 以 CD ? CA? AD ? CB? CA ? a ? b.答 案 : B 3 3 3 3

2 . ( 2 0 1 0 湖 北 卷 ) 已 知 ? A B C 和 点 M 满 足 M A ? M B ? M C ? 0 . A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

若 存 在 实 数 m 使 得 A B ? A C ? m A M 成 立 , 则 m ? (     )

解析:方法 1:取?ABC为正三角形,可迅速得到m ? 3. 排除A,C,D,选B. 方法2:由条件可知,M为?ABC的重心. 2 连接AM并延长交BC于D ,则AM ? AD.① 3 因为AD为中线,则AB ? AC ? 2AD ? mAM, 即2AD ? mAM.②:联立①②可得m ? 3.答案:B

3 . ( 2 0 1 0 江 西 卷 ) 已 知 向 量 a , b 满 足, a ? 1 b ? 2 , a 与 b 的 夹 角 为 6 0 ? , 则 a ? b ? _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .

解 析 : 如 图 , aO ? A , bO ? B , a ? bO ? A ? O B ? B A . 在 ? O A B 中 , 由 余 弦 定 理 得 a ?? b 3 .   答 案 : 3

选 题 感 悟 : 本 节 内 容 高 考 主 要 考 查 向 量 的 有 关 概 念 , 向 量 加 法 、 减 法 的 应 用 , 共 线 向 量 与 三 点 共 线 问 题 , 基 底 建 模 问 题 , 用 坐 标 进 行 向 量 的 线 性 运 算 , 向 量 平 行 等 问 题 . 题 型 以 选 择 、 填 空 题 为 主 , 属 容 易 题 ,



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