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湖北省黄冈市黄冈中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理


湖北省黄冈中学 2016 年春季期中联考高二数学试题(理)
试卷满分:150 分 一、选择题:(共 12 题,每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的) 1.下列语句中是命题的是( )

A.你是鄂东南教学改革联盟学校高二的学生吗? B.x +5x+1>0 C.cos45°=1 D.请坐下
2

2.已知 A(2,3,-1),B(2,6,2),C(1,4,-1),则向量 A.45° C.30° B.90° D.60°

的夹角为( )

3.在平行六面体 ABCD—EFGH 中,若

,则 x+y+z 等于( )

A.

B.

C.

D.

1

4.己知条件 p:x +4x-5>0,条件 q:x>a,且 的取值范围是( ) A.(-∞,1] C.[-5,+∞) B.[1,+∞) D.(-∞,-5]

2

的一个充分不必要条件是

,则 a

5.已知曲线

上一点

,则

( )

A.

B.

C.

D.

6.下面的命题中是假命题的是( ) A.两个平面的法向量所成的角不一定是这两个平面所成的角 B.设空间向量 为非零向量,若 ,则 为锐角或零角

C.动点到两个定点的距离之和为定长,则动点的轨迹不一定是椭圆 D.若命题 p:存在 x0∈R,x0 +2x0+2<0,则
2



,x +2x+2>0

2

7.已知 F1、F2 为双曲线 C:x -y =4 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos ∠F1PF2=( )

2

2

A.

B.

C.

D.

2

8.已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍,且经过点 A(2,0),则椭圆的标准方程为( )

A.

B.

C.



D.



9.在函数 是( ) A.5 C.3

的图象上,其切线的倾斜角小于

的点中,坐标为整数的点的个数

B.4 D.0

10.一汽车沿直线轨道前进,刹车后汽车速度为 v(t)=20-2t,则汽车刹车后第二个 4s 内经过的路程是( ) A.27 C.81 B.32 D.13.5

11.已知函数 f(x)=2x +alnx,若对任意两个不等的正数 x1,x2(x1>x2),都有 f(x1) -f(x2)>8(x1-x2)成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≥4 C.a≥2 B.a≥3 D.以上答案均不对

2

3

12.已知 x,y 之间满足

,下列命题中正确的个数是( )

(1)方程

表示的曲线经过点

,则 b=2;

(2)动点(x,y)在曲线

上变化,则 x +2y 的最大值为

2



(3)由

能确定一个函数关系式 y=f(x);

(4)方程

表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆,点(1,2)在该椭圆外,

则 b 成立的等价范围是 A.0 个 C.2 个

. B.1 个 D.3 个

第Ⅱ卷

非选择题

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.在空间直角坐标系 O-xyz 中,已知平面α 的一个法向量是 ,且平面α 过

点A (2, 3, 1) . 若P (x, y, z) 是平面α 上任意一点, 则点 P 的坐标满足的方程是__________.

14.已知常数 a、b、c 都是实数,f(x)=ax +bx +2cx+5 的导函数为 f′(x),f′(x) ≤0 的解集为{x|-1≤x≤2},若 f(x)的极小值等于-105,则 a 的值是__________.

3

2

15.抛物线 x =my 的准线与直线 y=2 的距离为 3,则此抛物线的方程为__________.
4

2

16.在一个平行六面体中,以 A 为端点的三条棱长都相等,均为 2,且

的夹角

均为 30°,那么以这个顶点 A 为端点的平行六面体的体对角线的长度为__________.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)中心在原点,对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线与圆(x-5) +y =16 相切. (1)求双曲线的离心率; (2)P(3,-4)是渐近线上一点,F1,F2 是双曲线的左右两个焦点,若 PF1⊥PF2,求 双曲线的方程.
2 2

18.(12 分)己知命题 p:在 x∈[-2,-1]时,不等式 x +ax-2>0 恒成立;命题 q:存 在 x∈[-3,1]使得关于 x 的不等式 x -3x -9x+2≥a 成立,若命题“p∨q”是真命题, 求实数 a 的取值范围.
3 2

2

19. (12 分)如图,已知 AB⊥平面 ACD,DE⊥平面 ACD,△ACD 为等边三角形,AD=DE=4AB, F 为 CD 的靠近 C 的四等分点. (1)求证:AF∥平面 BCE; (2)请问:平面 BCE 与平面 CDE 是否互相垂直?请证明你的结论.

5

20.(12 分)2016 年 2 月 8 日深夜,香港发生“旺角暴乱”,给香港经济造成很大损失, 为了挽回经济损失, 某厂家拟在新年举行大型的促销活动, 经测算某产品销售价格 x (单位:

元/件)与销售量 y(单位:万件)满足关系式 常数.己知销售价格为 3 元时,销售量 10 万件. (1)求 a 的值;

,其中 2<x<5,a 为

(2)若该商品的成本为 2 元/件,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大.

21.(12 分)已知△ABC 的三个顶点均在椭圆 正半轴上,由方程

上,且点 A 在 y 轴的

可得出 y 的增长速度与 x 的增长速度之比为 a,椭圆短

轴长为



(1)试求椭圆的方程; (2)若以 BC 为直径的圆过点 A,求证:直线 BC 恒过定点.

22.(12 分)已知函数

,g(x)=lnx,

(1)如果函数 y=f(x)在[2,+∞)上是单调减函数,求 a 的取值范围; (2)若 a=24 时,求证: ;

6

(3)是否存在实数 a>0,使得方程

在区间

内有且只有

两个不相等的实数根?若存在,请求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

7

答案与解析: 1、C 解析:只有 C 语句能判断真假,故选 C. 2、D

解析:



,选 D. 3、D 解析: ,

. 4、B 解析:p:x<-5 或 x>1, :-5≤x≤1.q:x>a, :x≤a.

, 5、D

,∴a≥1.

解析: 6、D 解析: 7、C 解析: 为 ,x +2x+2≥0.
2



8



8、D

解析:①若 a=2,则 b=1,此时方程为

;②若 b=2,则 a=4,此时方程为

. 9、D

解析: x <7,不存在这样的整数 x. 10、B
2

.∴0≤x -6<1,∴6≤

2

解析:



11、A 解析:令 g(x)=f(x)-8x,依题意有只要 g(x)在 x∈(0,+∞)上单调递增即可,

∴g(x)=2x +alnx-8x, 恒成立,∴a≥4.

2

,∴a≥-4x +8x=-4(x-1) +4

2

2

9

12、B

解析:对于(1)来说将

代入方程得

,故错误;

对于(2),

.∵-b≤y≤b,

①若

时,



②若

时,

,故错误,

对于(3),

不是一个函数;

对于(4), 13、x+y-2z-3=0 解析: ∴x+y-2z-3=0. 14、11

,故选 B.



解析: f′(x)=3ax +2bx+2c=3a(x+1) (x-2)=3a(x -x-2)=3ax -3ax-6a,

2

2

2

, f (x) (2) =8a+4b+4c+5=8a-6a-12a+5=-10a+5=-105. ∴ min=f a=11. 15、x =4y 或 x =-20y 解析:设准线方程为 y=a,∴|a-2|=3,∴a=5 或 a=-1,∴x =-20y 或 x =4y. 16、
2 2 2 2

10

解析:

17、解:(1)设位于一、三象限内的渐近线的倾斜角为α ,则



,(2 分)

若双曲线焦点在 x 轴上,



若双曲线焦点在 y 轴上,



故所求的

.(5 分)

(2)由题意设 F1(-c,0),F2(c,0),由 PF1⊥PF2 有



∴(3+c)(3-c)+16=0,∴c=5,又由(1)知:

,a +b =c =25,

2

2

2

∴a=3,b=4,双曲线的方程为:

.(10 分)

18、解:若命题 p 为真命题,则由 x +ax-2>0 得

2

在 x∈[-2,-1]上恒成立,

设 分)

,f(x)在[-2,-1]上是减函数,则-1≤f(x)≤1,所以 a<-1.(3

若命题 q 为真命题,设 y=x -3x -9x+2,则 y′=3x -6x-9,令 y′=3x -6x-9=0, 得 x1=-1,x2=3,∵3 [-3,1],∴x2=3(舍),(5 分),

3

2

2

2

11

令 f′(x)>0 得-3<x<-1,令 f′(x)<0 得-1<x<1,故 f(x)在(-3,-1) 上递增,在(-1,1)上递减,∴f(x)的极大值为 f(-1)=-1-3+9+2=7.(7 分) ∵f(-3)=-27-27+27+2=-25,f(1)=1-3-9+2=-9,∴y=x -3x -9x+2 在 x∈[-3,1]上的最大值为 7,最小值为-25,∴a≤7.(9 分)
3 2

当命题 p 与 q 同时为假命题时有

解得 a>7.(11 分)

则命题 p 与 q 至少有一个命题是真命题,即命题“p∨q”是真命题时有 a≤7.(12 分) 19、解:方法一:设 AD=DE=4AB=4a. 建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,

则 A(0,0,0),B(0,0,a),C(4a,0,0), 分)

,(2

∵F 为 CD 的靠近 C 的四等分点,



.(4 分)

(1)证明:





,AF

平面 BCE,∴AF//平面 BCE.

(2)平面 BCE 与平面 CDE 不垂直.证明如下:

证明:

,取 CD 中点 T,
12

易得



,(9 分)

即平面 BCE 不垂直于平面 CDE.(12 分) 方法二:(1)取 CE 的靠近 C 的四等分点 N,连 BN、FN 即可. (2)同方法一一样取 CD 中点 T,再证明 AT⊥面 ECD,易得 AF∥BN,而 AF 与 AT 相交不平 行,易证平面 BCE 不垂直于平面 CDE. 方法三:求出 BCE 的一个法向量 ,再求出平面 CDE 的一个法向量 ,易得

,由此得平面 BCE 不垂直于平面 CDE.

20、解:(1)因为 x=3 时,y=10,

,a=2.(4 分)

(2)由(1)可知,该商品每日的销售量 所获利的利润

,所以商场每日销售该商品

.(6 分) 从而,f′(x)=2[(x-5) +2(x-2)(x-5)]=6(x-5)(x-3).(8 分) 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
2

13

由上表可得,x=3 是函数 f(x)在区间(2,5)内的极大值点,也是最大值点.(10 分) 所以,当 x=3 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 10.(11 分) 答:当销售价格为 3 元/件时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.(12 分) 21、(Ⅰ)由方程 可得 y 与 x 的增长速度之比为 .(2 分)

由椭圆短轴长为

得 b=4,(4 分)

故所求的椭圆方程为

,即 4x +5y =80.(5 分)

2

2

(Ⅱ)由 AB⊥AC,得 设直线 BC 方程为 y=kx+t,代入 4x +5y =80,得
2 2

(6 分)

(4+5k )x +10tkx+5t -80=0,

2

2

2

.(8 分)

,(9 分)

.(8 分)

代入(2)式得:

,解得 t=4(舍)或

,适合△>0.(11 分)

故直线 BC 过定点

.(12 分)

22、(1)当 a=0 时,f(x)=2x 在[2,+∞)上是单调增函数,不符合题意,舍去,显 然 a>0 不符合题意,舍去.

14

当 a<0 时 y=f(x)的对称轴方程为

,由于 y=f(x)在[2,+∞)上是单调减函

数,所以

,由 a<0,解得 a≤-1,所以 a≤-1.(3 分)

(2)当 x>0 时,令 h(x)=12x +2x-lnx,则

2



时, h′ (x) <0;

时, h′ (x) > 0, ∴h (x) 在

上递减, 在

上递增,∴h(x)的最小值为

,即

,移项,两

边取指数得

,即



当 x≤0 时,

.(7 分)

(3)把方程
2

整理为



即为方程 ax +(1-2a)x-lnx=0.(8 分)

设 H(x)=ax +(1-2a)x-lnx(x>0),原方程在区间

2

内有且只有两个不相等

的实数根,即函数 H(x)在区间

内有且只有两个零点.(9 分)

令 H′(x)=0,因为 a>0,解得 x=1 或

(舍),当 x∈(0,1)时,H′(x)

<0,H(x)是减函数;当 x∈(1,+∞)时,H′(x)>0,H(x)是增函数.

15

H(x)在

内有且只有两个不相等的零点,只需

(11 分)

,故 a 的范围为

.(12 分)

16


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