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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学模块学习评价课后知能检测新人教b版选修4-5

模块学习评价
(时间 120 分钟,满分 150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.不等式|3x-2|>4 的解集是( A.{x|x>2} 2 C.{x|x<- ,或 x>2} 3 ) 2 B.{x|x<- } 3 2 D.{x|- <x<2} 3

2 【解析】 因为|3x-2|>4,所以 3x-2>4 或 3x-2<-4.所以 x>2 或 x<- . 3 【答案】 C 2.不等式-3x +7x-2>0 的解集是( 1 A.{x| <x<2} 3 1 C.{x|-2<x<- } 3
2 2

)

1 B.{x|x< ,或 x>2} 3 D.{x|x>2}
2

【解析】 ∵-3x +7x-2>0,∴3x -7x+2<0, 1 ∴(x-2)(3x-1)<0,∴ <x<2, 3 1 即不等式的解集为{x| <x<2}. 3 【答案】 A 4 3.(2013·西安模拟)函数 y=2-9x- (x>0)的最大值是(

x

)

A.-10 C.-11

B.10 D.11

4 【解析】 y=2-(9x+ )≤2-2 36=-10.

x

【答案】 A 4.已知 a,b 为非零实数,且 a<b,则下列命题成立的是( A.a <b C. 1
2 2 2

)

B.ab <a b D. < 1 -

2

2

ab a b
1
2

<

1
2

b a a b

【解析】 对于 C 中,

ab

2

a-b <0 a b a2b2

1



1

ab a2b

2

<

1

.

【答案】 C

?1 1? 5. 已知不等式(x+y)? + ?≥a 对任意正实数 x, y 恒成立, 则实数 a 的最大值为( ?x y?
A.2 C. 2 B.4 D.16

)

?1 1? 2 【解析】 由(x+y)? + ?≥(1+1) =4. ?x y? ?x y? ?1 1? 因此不等式(x+y)·? + ?≥a 对任意正实数 x,y 恒成立,即 a≤4.
【答案】 B 1 1 1 9 6.已知 A,B,C 是△ABC 的三内角的弧度数,则 + + 与 的大小关系为( A B C π 1 1 1 9 A. + + ≥ A B C π 1 1 1 9 C. + + > A B C π 1 1 1 9 B. + + ≤ A B C π 1 1 1 9 D. + + < A B C π )

1 1 1 【解析】 由柯西不等式,得( + + )(A+B+C)

A B C
2

≥(

1

A

× A+

1

B

× B+

1

C

× C) ,

1 1 1 9 又∵A+B+C=π ,∴ + + ≥ . A B C π π 当且仅当 A=B=C= 时,等号成立. 3 【答案】 A 7.若 A=x1+x2+…+xn,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,其中 x1,x2,…,xn 都是正 数,则 A 与 B 的大小关系为( A.A>B C.A≥B ) B.A<B D.A≤B
2 2 2 2 2 2

【解析】 不论 x1,x2,…xn 的大小顺序如何变化,其中 A=x1+x2+…+xn一定是顺序 和,∴A≥B. 【答案】 C 8.(2013·日照模拟)对任意实数 x,若不等式|x+1|-|x-2|>k 恒成立,对 k 的取值 范围是( A.k<3 ) B.k<-3
2

C.k≤3

D.k≤-3

【解析】 ∵|x+1|-|x-2|≥-|(x+1)-(x-2)|=-3, ∴|x+1|-|x-2|的最小值为-3. ∴不等式恒成立,应有 k<-3. 【答案】 B 9 .用数学归纳法证明“(n + 1)(n +2)·…·(n + n) = 2 ·1·3·…·(2n - 1)(n ∈ N


n

)”时,从 n=k 到 n=k+1 时应增添的式子是( A.2k+1 C. 2k+1 k+1 B. D.

)

k+ k+1
2k+2 k+1

k+

【解析】 当 n=k 时,有 f(k)=(k+1)·(k+2)·…·(k+k), 当 n=k+1 时,有 f(k+1) =(k+2)(k+3)·…·(k+k)(k+k+1)(k+k+2), ∴f(k+1)=f(k)· 【答案】 B 10.已知 a,b 是不相等的正数,x=

k+ k+1

k+

.

a+ b
2

,y= a+b,则 x,y 的关系是 ( )

A.x>y C.x> 2y

B.y>x D.y> 2x
2

【解析】 因为 a,b 是不相等的正数,所以 x = 即 x <y ,故 x<y. 【答案】 B
2 2

a+b
2

+ ab<

a+b a+b
2 + 2

=a+b=y ,

2

11.设 f(x)是定义在正整数集上的函数,有 f(k)满足:当“f(k)≥k 成立时,总可推 出 f(k+1)≥(k+1) 成立”.那么下列命题总成立的是( A.若 f(3)≥9 成立,则当 k≥1,均有 f(k)≥k 成立 B.若 f(5)≥25 成立,则当 k<5,均有 f(k)≥k 成立 C.若 f(7)<49 成立,则当 k≥8,均有 f(k)≥k 成立 D.若 f(4)=25 成立,则当 k≥4,均有 f(x)≥k 成立 【解析】 由题意设 f(x)满足:“当 f(k)≥k 成立时,总可推出 f(k+1)≥(k+1) 成 立.” 因此,对于 A,不一定有 k=1,2 时成立.
2 2 2 2 2 2 2

2

)

3

对于 B、C 显然错误. 对于 D,∵f(4)=25>4 , 因此对于任意的 k≥4, 有 f(k)≥k 成立. 【答案】 D 12. (2012·锦州模拟)记满足下列条件的函数 f(x)的集合为 M, 当|x1|≤1, |x2|≤1 时, |f(x1)-f(x2)|≤4|x1-x2|.令 g(x)=x +2x-1,则 g(x)与 M 的关系是( A.g(x C.g(x)?M
2 2 2 2

)

M

B.g(x)∈M D.不能确定
2

【解析】 g(x1)-g(x2)=x1+2x1-x2-2x2 =(x1-x2)(x1+x2+2), 所以|g(x1)-g(x2)|=|x1-x2|·|x1+x2+2| ≤|x1-x2|(|x1|+|x2|+2)≤4|x1-x2|,所以 g(x)∈M. 【答案】 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在题中横线上) 13. (2013·陕西高考)设 a, b∈R, |a-b|>2, 则关于实数 x 的不等式|x-a|+|x-b|>2 的解集是________. 【解析】 因为 a,b∈R,则|a-b|>2,其几何意义是数轴上表示数 a,b 的两点间距 离大于 2,|x-a|+|x-b|的几何意义为数轴上任意一点到 a,b 两点的距离之和,当 x 处 于 a,b 之间时|x-a|+|x-b|取最小值,距离恰为 a,b 两点间的距离,由题意知其恒大于 2,故原不等式解集为 R. 【答案】 (-∞,+∞) 4 14.函数 y=3x+ 2(x>0)的最小值是________.

x

【解析】 ∵x>0, 3 3 4 3 3 4 3 4 3 ∴y=3x+ 2= x+ x+ 2≥3 x· x· 2=3 9. x 2 2 x 2 2 x 3 3 4 2 9 当且仅当 x= 2,即 x= 时取等号. 2 x 3 3 【答案】 3 9 15.对于实数 x,y,若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为________. 【解析】 由|x-1|≤1 知 0≤x≤2. 由|y-2|≤1 知 1≤y≤3.

4

∴2≤2y≤6,-6≤-2y≤-2. 则 x-2y+1∈[-5,1]. ∴|x-2y+1|max=5. 【答案】 5 16.设 a,b,c,d,m,n∈R+,P= ab+ cd,Q= am+nc· 小关系为________. 【解析】 由柯西不等式 P= ≤ am+nc· ∴P≤Q. 【答案】 P≤Q 三、 解答题(本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)设 a、b、c 是不全相等的正数,证明 a +b +c >ab+bc+ca. 【解】 ∵a、b、c 是不全相等的正数. ∴a +b ≥2ab,a +c ≥2ac,b +c ≥2bc, 且三个不等式不能同时取到等号. ∴2(a +b +c )>2(ab+bc+ca), 因此 a +b +c >ab+bc+ca. 3 * 18. (本小题满分 12 分)(2013·福建高考)设不等式|x-2|<a(a∈N )的解集为 A, 且 ∈ 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b d + ,则 P,Q 的大 m n

b am· + m

d nc· n

b d + =Q. m n

A, ?A.
(1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值. 3 1 3 1 1 3 【解】 (1)因为 ∈A,且 ?A,所以| -2|<a,且| -2|≥a,解得 <a≤ . 2 2 2 2 2 2 又因为 a∈N ,所以 a=1. (2)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当(x+1)(x-2)≤0,即-1≤x≤2 时取到等号, 所以 f(x)的最小值为 3. 19.(本小题满分 12 分) 如图 1 所示,要设计一张矩形广告,该广告含有大小相等的左 右两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏目的面积之和为 18 000 cm ,四周空白的宽度为 10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm,怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位:cm),能
2 *

1 2

5

使矩形广告面积最小?

图1 【解】 设广告的高和宽分别为 x cm,y cm,则每栏的高和宽分别为 x-20, 其中 x>20,y>25. 两栏面积之和为 2(x-20) 18 000 由此得 y= +25, x-20 18 000 18 000x 广告的面积 S=xy=x( +25)= +25x, x-20 x-20 360 000 整理得 S= +25(x-20)+18 500. x-20 因为 x-20>0, 所以 S≥2 360 000 x-20

y-25
2

.

y-25
2

=18 000,

x-

+18 500=24 500.

360 000 当且仅当 =25(x-20)时等号成立, x-20 此时有(x-20) =14 400(x>20), 18 000 解得 x=140,代入 y= +25,得 y=175. x-20 即当 x=140,y=175 时,S 取得最小值 24 500, 故当广告的高为 140 cm,宽为 175 cm 时,可使广告的面积最小. 20.(本小题满分 12 分)设 a,b,c 为正数.求证: 2(
2

a2

b+c c+a a+b



b2



c2

)≥

b2+c2 c2+a2 a2+b2 + + . b+c c+a a+b

【证明】 由对称性,不妨设 a≥b≥c>0. 于是 a+b≥a+c≥b+c, 故 a ≥b ≥c , 1 1 1 ≥ ≥ . b+c c+a a+b 由排序原理知:
2 2 2

6

a2 a2

b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b




b2 b2

+ +

c2 c2

≥ ≥

c2 b2

+ +

a2 c2

+ +

b2 a2

, ,

将上面两个同向不等式相加,得

b2+c2 c2+a2 a2+b2 2( + + )≥ + + . b+c c+a a+b b+c c+a a+b
21.(本小题满分 12 分)(2012·课标全国卷)已知函数 f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当 a=-3 时,求不等式 f(x)≥3 的解集; (2)若 f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求 a 的取值范围. -2x+5,x≤2, ? ? 【解】 (1)当 a=-3 时,f(x)=?1,2<x<3, ? ?2x-5,x≥3. 当 x≤2 时,由 f(x)≥3 得-2x+5≥3,解得 x≤1; 当 2<x<3 时,f(x)≥3 无解; 当 x≥3 时,由 f(x)≥3 得 2x-5≥3,解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|. 当 x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a| ?4-x-(2-x)≥|x+a| ?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1 且 2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的 a 的取值范围为[-3,0]. 22.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 Sn+an=2n+1. (1)写出 a1,a2,a3,并推测 an 的表达式. (2)用数学归纳法证明所得结论. 3 7 15 【解】 (1)a1= ,a2= ,a3= . 2 4 8 1 猜想:an=2- n. 2 3 1 (2)证明:①当 n=1 时,a1= =2- ,猜想成立. 2 2 1 ②假设 n=k(k∈N+,且 k≥1)时,ak=2- k成立. 2 当 n=k+1 时,a1+a2+…+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,且 a1+a2+…+ak=2k+1-
7

a2

b2

c2

ak,
∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3. 1 ∴2ak+1=2+ak=2+2- k, 2 ∴ak+1=2- 1 2
k+1

.

∴当 n=k+1 时,猜想成立. 1 综合①②知,an=2- n(n∈N+)成立. 2

8



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