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数学知识点人教A版高中数学必修四 1.4《三角函数的图像与性质》教案4-总结

初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 三角函数的图象与性质 一、知识网络 二、高考考点 (一)三角函数的性质 1、三角函数的定义域,值域或最值问题; 2、三角函数的奇偶性及单调性问题;常见题型为:三角函数为奇函数(或偶函数)的充要条 件的应用;寻求三角函数的单调区间;比较大小的判断等. 3、三角函数的周期性; 寻求 三角函数的周期. (二)三角函数的图象 1、基本三角函数图象的变换; 型三角函数的周期以及难度较高的含有绝对值的 2、 型三角函数的图象问题;重点是“五点法”作草图的逆用:由给出的一 段函数图象求函数解析式; 3、三角函数图象的对称轴或对称中心:寻求或应用; 4、利用函数图象解决应用问题. (三)化归能力以及关于三角函数的认知变换水平. 三、知识要点 (一)三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性 (1)基本函数的奇偶性 奇函数:y=sinx,y=tanx; 偶函数:y=cosx. (2) 型三角函数的奇偶性 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 (ⅰ)g(x)= g(x)为偶函数 (x ∈R ) 由此得 同理, (ⅱ) 为偶函数 . 3、周期性 (1)基本公式 (ⅰ)基本三角函数的周期 周期为 . (ⅱ) ; 为奇函数 . ; 为奇函数 y=sinx,y=cosx 的周期为 ; y=tanx,y=cotx 的 型三角函数的周期 的周期为 ; 的周期为 (2)认知 (ⅰ) 型函数的周期 . 的周期为 ; 的周期为 (ⅱ) 的周期 的周期为 ; . 的周期为 均同它们不加绝对值时的周期相同,即对 y= 的周期不变.注意这一点与(ⅰ)的区别. . 的解析式施加绝对值后,该函数 (ⅱ)若函数为 型两位函数之和,则探求周期适于“最小公倍数法”. (ⅲ)探求其它“杂”三角函数的周期,基本策略是试验――猜想――证明. (3)特殊情形研究 (ⅰ)y=tanx-cotx 的最小正周期为 ; 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 (ⅱ) 4 4 的最小正周期为 ; (ⅲ)y=sin x+cos x 的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型,以防施错对象. 4、单调性 (1)基本三角函数的单调区间(族) 依从三角函数图象识证“三部曲”: ①选周期:在原点附近选取那个包含全部锐角,单调区间完整,并且最好关于原点对称的一个 周期; ②写特解:在所选周期内写出函数的增区间(或减区间); ③获通解:在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍,即得这一函数的增 区间族(或减区间族) 循着上述三部曲,便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示:上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. (2)y= 型三角函数的单调区间 此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解:令 u= ,将所给函数分解为内、外两层:y=f(u),u= ; ②套用公式:根据对复合函数单调性的认知,确定出 f(u)的单调性,而后利用(1)中公式 写出关于 u 的不等式; ③还原、结论:将 u= 代入②中 u 的不等式,解出 x 的取值范围,并用集合或区间形 成结论. (二)三角函数的图象 1、对称轴与对称中心 (1)基本三角函数图象的对称性 (ⅰ) 正弦曲线 y=sinx 的对称轴为 心为( ,0) . ; 余弦曲线 y=cosx 的对称中心 ; 正弦曲线 y=sinx 的对称中 (ⅱ) 余弦曲线 y=cosx 的对称轴为 (ⅲ)正切曲线 y=tanx 的对称中心为 认知: ①两弦函数的共性: x= 为两弦函数 f(x)对称轴 ; 正切曲线 y=tanx 无对称轴. 为最大值或最小值;( ,0)为两弦函数 f(x)对 称中心 =0. ②正切函数的个性: ( (2) ,0)为正切函数 f(x)的对称中心 =0 或 不存在. 型三角函数的对称性(服从上述认知) 或 g(x)= 为最值(最大值或最小值);( 的图象 ,0)为两弦函数 g(x)对 (ⅰ)对于 g(x)= x= 为 g(x)对称轴 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 初中数学、数学课件、数学综合练习题、数学教学教案、试卷数学 称中心 =0. 的图象( ,0)为两弦函数 g(x)的对称中心 (ⅱ)对于 g(x)= =0 或 不存在. 2、基本变换 (1)对称变换 (2)振幅变换(纵向伸缩)(3)周期变换(横向伸缩)(4)相位变换(左右 平移)(5)上、下平移 3 、y = (1)五点作图法 (2)对于 A,T, 距离; 距离. ② 距离. :图象的相邻对称轴(或对称中心)间的距离; :图象的对称轴与相邻对称中心间的 的图象 , 的认知与寻求: ①A:图像上最高点(或最低点)到平衡位置的 2A:图像上最高点与最低点在 y 轴上投影 间的 : 由 T= 得出. ③ : 解法一:运用“代点法”求解,以图象的最高点(或最低点)坐标代入为上策,若以图象与 x 轴交点坐标代入函数式求 ,则须注意检验,以防所得 值为增根; 解法二:逆用“五点作图法”的过程(参见经典例题). 四、经典例题 例 1、求下列函数的值域: (1) (4) (2) (5) (3) (6) 分析:对于形如(1)(2)(3)的函数求值域,基本策略是(ⅰ)化归为 的 值域;(ⅱ)转化为 sinx(或 cosx)的二次函数;对于(4)(5)(6)之类含有绝对值的函数求 2 值域,基本策略则是(ⅰ)在适当的条件下考察 y ;(ⅱ)转化为分段函数来处理;(ⅲ)运用其 周期性、奇偶性或函数图象对称性转化. 解: (1) ∵ ∴ , 即所求函数的值域为 . (2)由


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