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椭圆的几何性质教案 2017-2018学年高中数学选修1-1苏教版


一.课题:椭圆的几何性质(1) 二.教学目标:1.熟悉椭圆的几何性质(对称性、范围、顶点、离心率); 2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响. 三.教学重、难点:目标 1;数形结合思想的贯彻,运用曲线方程研究几何性质. y 四.教学过程: (一)复习: B2 1.椭圆的标准方程. A2 A1 (二)新课讲解: F O x 2 1.范围: 由标准方程知,椭圆上点的坐标 ( x, y ) 满足不等式 2 2 A2 x2 y2 ? 1, ? 1, a2 b2 ∴ x ? a , y 2 ? b 2 ,∴ | x |? a , | y |? b , 说明椭圆位于直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的矩形里. 2.对称性: 在曲线方程里, 若以 ? y 代替 y 方程不变, 所以若点 ( x, y ) 在曲线上时, 点 ( x, ? y ) 也在曲线上, 所以曲线关于 x 轴对称, 同理, 以 ?x 代替 x 方程不变, 则曲线关于 y 轴 对称。若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称. 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是 对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3.顶点: 确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标. 在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则 B1 (0, ?b ) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴 的两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 A1 (?a, 0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个 交点. 所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点. 同时,线段 A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2 a 和 2b , a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长. 由椭圆的对称性知: 椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ; 在 Rt ?OB2 F2 中, | OB2 |? b , | OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? c 2 . 4.离心率: c 叫椭圆的离心率. a ∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 , c 就越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭 圆越扁;反之, e 越接近于 0 , c 就越接近于 0 ,从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接 椭圆的焦距与长轴的比 e ? 近于圆。 2 2 2 当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a . (三)例题分析: 例 1.求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描 点法画出图形. 2 2 解:把已知方程化为标准方程 ∴c ? x2 y 2 ? ? 1, a ? 5 , b ? 4 , a 2 b2 25 ? 16 ? 3, c 3 ? , a 5 焦点坐标 F1 (?3, 0) , F2 (3,0) ,顶点 A1 (?5, 0) , A2 (5,0) , B1 (0, ?4) , B2 (0, 4) . ∴椭圆长轴和短轴长分别为 2a ? 10 和 2b ? 8 ,离心率 e ? 练习、过适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过点 P(?3, 0) 、 Q(0, ?2) ; (2)长轴长等于

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