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指数函数及其性质的应用


第2课时 指数函数及其性质的应用

类型 一

指数函数的图象变换问题

【典型例题】
x xa 1.(2013·吉林高一检测)函数 y ? (0<a<1)的图象的大致形 |x|

状是(

)

2.画出下列函数的图象,并说明它们是由函数y=2x的图象经

过怎样的变换得到的.
(1)y=2x-1.(2)y=2x+1.(3)y=2|x|.(4)y=-2x.

【解题探究】1.当函数解析式中含有绝对值符号时,处理函
数图象问题的一般思路是什么?

2.已知函数f(x)的图象,如何用变换的方法画出函数
f(x〒a)(a>0),f(x)〒b(b>0),f(|x|),-f(x)的图象?

探究提示: 1.一般思路:去绝对值符号,化为分段函数处理 . 2.由函数f(x)的图象画函数f(x〒a)(a>0)的图象,遵循“左 加右减”的法则;画函数f(x)〒b(b>0)的图象,遵循“上加 下减”的法则;画函数f(|x|)的图象,可将函数y=f(x),y轴

右侧的图象沿y轴翻折到y轴左侧替代y轴左侧的图象,并保留
y=f(x)在y轴右侧部分的图象;画函数-f(x)的图象,根据f(x)

的图象与-f(x)的图象关于x轴对称画出.

【解析】1.选D.当x>0时,y=ax(0<a<1); 由此可以画出函数在y轴右侧的图象. 当x<0时,y=-ax(0<a<1).另外,函数y=-ax与y=ax的图象关 于x轴对称,由此可以画出函数在y轴左侧的图象.故选D.

2.如图所示.

(1)y=2x-1的图象是由y=2x的图象向右平移1个单位得到; (2)y=2x+1的图象是由y=2x的图象向上平移1个单位得到; (3)y=2|x|的图象是由y=2x的y轴右侧的图象和y轴右侧的图象 关于y轴对称的图象组成的; (4)y=-2x的图象与y=2x的图象关于x轴对称.

【互动探究】根据题2中的条件,画出函数y=|2x-1|的图象,
并说明它是由函数y=2x的图象经过怎样的变换得到.

【解析】如图所示,

函数y=2x的图象向下平移1个单位得到函数y=2x-1的图象,再 将所得图象x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下 方部分,并保留x轴上方部分即可得到函数y=|2x-1|的图象.

【拓展提升】

1.指数函数y=ax(a>0,a≠1)常见的两种图象变换
(1)平移变换(φ>0),如图1所示.

(2)对称变换,如图2所示.

2.两类常见的翻折变换 (1)函数y=|f(x)|的图象可以将函数y=f(x)的图象的x轴下方 部分沿x轴翻折到x轴上方,去掉原x轴下方部分,并保留 y=f(x)的x轴上方部分即可得到. (2)函数y=f(|x|)的图象可以将函数y=f(x)的图象右侧部分沿 y轴翻折到y轴左侧替代原y轴左侧部分并保留y=f(x)在y轴右 侧部分即可得到.

【变式训练】要得到函数y=8·2-x的图象,只需将函数y=( 的图象( ) B.向左平移3个单位 D.向左平移8个单位
1 x-3 1 -3 1 x ) ( ) =( ) , 2 2 2

1 x ) 2

A.向右平移3个单位 C.向右平移8个单位 【解析】选A.≧y=8·2-x=(

1 x ?将函数y=( ) 的图象向右平移3个单位可以得到函数 2 1 x-3 y=( ) ,即函数y=8·2-x的图象. 2

类型 二

指数函数单调性的综合应用

【典型例题】 1.函数 y ?
3
2x-1

1 的定义域为______. - 9

2.比较下列各组数的大小:
1 - 5 5 -0.24 (1)( ) 与( ) 4 . 6 6

(2)1.90.3与1.92.3.
? 3 ?1 (3) ( ) 2 与(11) 3 . 5 9 1

【解题探究】1.利用指数函数的单调性求解不等式的依据是 什么? 2.利用函数的单调性比较两个数的大小的根据是什么?

探究提示:

1.对于形如af(x)>ag(x)(或af(x)<ag(x))的不等式,当a>1时,转
化为f(x)>g(x)(或f(x)<g(x));当0<a<1时,转化为 f(x)<g(x)(或f(x)>g(x)). 2.若函数y=f(x)在区间D上是增函数,则对于任意的x1,x2∈D, 由x1<x2可得f(x1)<f(x2),反之亦然;若函数y=f(x)在区间D上 是减函数,则对于任意的x1,x2∈D,由x1<x2可得 f(x1)>f(x2),反之亦然.

1 2x - 1 【解析】1.由3 - ≥0得32x-1≥3-2. 9

因为函数y=3x在R上是增函数,
1 所以2x-1≥-2故x≥- . 2 所以函数 y ? 32x-1-1 的定义域为[- 1 , +≦). 2 9 1 答案:[ - , +≦) 2

5 -0.24 5 5 -1 2.(1)( ) 与 ( ) 4 可以看作函数y=( )x的两个函数值.由 6 6 6 5 5 于0< <1,所以指数函数y=( )x在R上是减函数. 6 6 5 -0.24 1 5 -1 因为-0.24>- , 所以( ) < ( ) 4. 6 4 6

(2)1.90.3与1.92.3可以看作函数y=1.9x的两个函数值.由于底数
1.9>1,所以指数函数y=1.9x在R上是增函数.

因为0.3<2.3,所以1.90.3<1.92.3.

3 x (3)因为函数y=( ) 在R上是减函数, 5 3 3 ?1 所以 ( ) 2 >( )0=1, 5 5 11 因为函数y=( )x在R上是增函数, 9 1 1 1 11 0 ? ? ? 11 3 11 所以 ( ) 3 <( ) =1,所以 ( ) 2>( ) 3 . 9 9 5 9

【拓展提升】

1.指数型不等式的解法和注意事项
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)的解法:

当a>1时,f(x)>g(x);
当0<a<1时,f(x)<g(x).

(2)注意将不等式两边的底数进行统一:
如果不等式的形式不是同底指数式的形式,要首先进行变形, 此时常用到以下结论:1=a0(a>0,且a≠1),a-x=( (a>0且a≠1)等. )x
1 a

2.比较幂值大小的三种类型及处理方法

【变式训练】(2013·漳州高一检测)设a=20.3,b=0.32, c=(
1 -1.5 ) ,则a,b,c的大小关系是( 2

)

A.a<b<c C.c<b<a

B.b<c<a D.b<a<c

【解题指南】解答本题首先要注意选用中间量“1”,然后 要注意将c=( )-1.5进行恰当的变形.
1 2

【解析】选D.c=( )-1.5=21.5,

1 2

20.3与21.5可以看作函数y=2x的两个函数值.由于底数2>1,
所以指数函数y=2x在R上是增函数. 因为0<0.3<1.5,所以1=20<20.3<21.5,即a<c. 又b=0.32=0.09<1,所以b<a<c.

类型 三

指数函数性质的综合应用问题

【典型例题】
x m 2 1.已知函数 f ? x ? ? x -1 为奇函数,则m的值等于______. 2 ?1 x 3 2.(2013·福州高一检测)已知函数 f ? x ? ? x ? 1 . 3 ?1

(1)证明f(x)为奇函数. (2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明. (3)求f(x)的值域.

【解题探究】1.若函数f(x)是奇函数且f(0)有意义,则f(0) 的值是多少? 2.(1)判断函数奇偶性的基本步骤是什么? (2)定义法证明函 数单调性的基本步骤是什么?(3)分式型函数如何进行恰当变 形后可以更容易求值域?

探究提示: 1.若函数f(x)是奇函数且f(0)有意义,则f(0)=0. 2.(1)先求定义域,再判断f(-x)与f(x)是否相等或互为相反 数. (2)定义法证明函数单调性的基本步骤 : 设元、作差、变形、判号、下结论 . (3)采用恰当的方法将分式型函数变形为只有分子 (或分母)含 有未知数的形式更容易求值域.

x m 2 【解析】1.≧函数 f ? x ? ? x -1 为定义在R上的奇函数, 2 ?1 0 m - 1 ? 0, ? f ? 0 ? ? m 02 -1 ? 0, 即 ?m=1. 1 ? 1 2 ?1

答案:1

2.(1)由题知f(x)的定义域为R,
3? x ? 1 (3? x ? 1) 3x 1 ? 3x f ? ?x ? ? ? x ? ?x ? ? ?f ? x ?, x x 3 ? 1 (3 ? 1) 3 1 ? 3

所以f(x)为奇函数.
(2)f(x)在定义域上是增函数.证明如下:任取x1,x2∈R,且x1<x2,
3 ?1 3 ?1 2 2 f ? x 2 ? ? f ? x1 ? ? x 2 ? x1 ? (1 ? x 2 ) ? (1 ? x1 ) ? x . x2 1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ?1 ≧x1<x2,? 3x2 ? 3x1>0,3x1 ? 1 >0,3x2 ? 1 >0,
x2 x1

2 3x 2 ? 3x1

?

?

??

?

?

?f(x2)>f(x1),?f(x)为R上的增函数.

3x ? 1 2 (3) f ? x ? ? x ? 1 ? x , 3 ?1 3 ?1

≧3x>0?3x+1>1?0<

?-1<1-

2 <1,即f(x)的值域为(-1,1). x 3 ?1

2 2 < 2 ? -2 < <0, ? x x 3 ?1 3 ?1

【拓展提升】

1.判定函数奇偶性要注意的问题
(1)坚持“定义域优先”的原则 如果定义域不关于原点对称,可立刻判定此函数既不是奇函数 也不是偶函数. (2)正确利用变形技巧 耐心分析f(x)和f(-x)的关系,必要时可利用f(x)〒f(-x)=0判 定.

(3)巧用图象的特征 在解答有图象信息的填空题时,可根据奇函数的图象关于原 点对称,偶函数的图象关于y轴对称,进行快速判定. 2.函数奇偶性的应用 (1)图象特征的应用 根据函数的奇偶性,可画出函数在定义域中关于原点对称的 区间上的图象. (2)奇函数f(x)满足f(0)=0(当0属于定义域时),偶函数f(x)

满足f(x)=f(|x|).

3.函数单调性的判定
(1)解答题中通常利用定义法进行证明 .

(2)选择题、填空题中可利用函数图象,也可以利用已知函数
单调性进行分析,例如由y=2x是增函数可知y=2-2x是减函数,

y=x+2x是增函数等.

【变式训练】已知函数 f ? x ? ?

a ? 2 x ? 1? ? 2 2 ?1
x

.

(1)是否存在实数a使得f(x)为奇函数?若存在,求出a的值并 证明;若不存在,说明理由. (2)在(1)的条件下判断f(x)的单调性,并用定义加以证明.

【解析】(1)假设存在a使得f(x)为奇函数. 由f(x)定义域为R知f(0)=0,?a=1.
2x ? 1 证明:a=1时, f ?x? ? x , 2 ?1 ?x x 2 ?1 1 ? 2 f ? ?x ? ? ? x ? ? ?f ? x ? , 2 ? 1 1 ? 2x

?a=1时,f(x)为奇函数.

(2)f(x)在R上为增函数.证明如下:任取x1,x2∈R,且x1<x2,
x1 x2 2 2x1 ? 2x 2 2 ? 1 2 ? 1 则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ? x ? x2 ? x . x2 1 1 2 ?1 2 ?1 2 ?1 2 ?1

≧ 2x ? 1 >0,2x ? 1 >0,2x ? 2x <0,
1 2 1 2

?

?

??

?

?

?f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ?函数f(x)在R上单调递增.

指数型复合函数的单调性问题 【典型例题】 1.函数 y ?

?

2- 1

?

? x ?1?(3-x)

的单调递增区间是( B.(-∞,1) D.(-1,1)

)

A.(1,+∞) C.(1,3)

2.求下列函数的定义域、值域、单调区间: (1)y=4 +2
x x+1

1 x 2 ?3x ? 2 . +1.(2)y= ( 3 )

【解析】1.选A.由定义域为R,令t=(x+1)(3-x)=-x2+2x+3=

-(x-1)2+4,此函数在(-≦,1)上为增函数;在(1,+≦)上为减函数, 又0<
y?

<1, 则y=( 2 ?1
2- 1

t ) 2在 ? 1R上为减函数,故函数

?

?

? x ?1?(3-x)

在(1,+≦)上为增函数.

2.(1)定义域为R.令t=2x(t>0),y=t2+2t+1=(t+1)2>1,

? 值域为{y|y>1}.
t=2x的底数2>1,故t=2x在x∈R上单调递增;而y=t2+2t+1

在t∈(0,+≦)上单调递增,故函数y=4x+2x+1+1在R上单调递
增.

(2)定义域为R.令t=x2-3x+2= (x ? ) 2 ? , t∈[? , +≦). ?值域为(0, 4 3].
1 t ≧y=( ) 在R上为减函数, 3 3 3 1 x 2 ?3x ? 2 ?y= ( ) 在(-≦, )上为增函数,在( , +≦)上为减函数. 2 2 3

3 2

1 4

1 4

【拓展提升】 1.指数型复合函数的单调性的求解步骤 (1)求定义域:依据题意明确研究范围. (2)拆分: 把原函数拆分成几个基本函数. (3)定性质:分层逐一求单调性. (4)下结论:根据复合函数的单调性法则,即“同增异减”, 得出原函数的单调性.

2.形如y=af(x)的函数的单调性 (1)当a>1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相同. (2)当0<a<1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相反.

【规范解答】指数函数性质的综合问题
【典例】 【条件分析】

(1)求f(x)的定义域. (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. (3)求证:f(x)>0.

【规范解答】(1)由2x-1≠0得2x≠20,故x≠0,
所以函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.① ……………… 2分

(2)函数f(x)是偶函数. 理由如下:

……………………

3分

由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,
1 1 x 2x ? 1 ≧ f ? x ? ? x( x ? ) ? 2- 1 2 2 2 x- 1 -x x 2 ?1 ? f (-x) ? - 2 2-x- 1




……………………

4分

x (2? x ? 1) 2 x ?? 2 (2? x ? 1) 2 x



x 1 ? 2x x 2x ? 1 ?- ? ? f ? x ?, x x 2 1-2 2 2- 1

?f(x)为偶函数.

……………………

7分

x x 2 ?1 (3)由(2)知 f ? x ? ? . x 2 2- 1

……………………

8分

对于任意x∈R,都有2x+1>0, 若x>0,则2x>20,所以2x-1>0③,
x 2x ? 1 于是 >0,即f(x)>0, x 2 2 -1

……………………

9分

若x<0,则2x<20,所以2x-1<0③,
x 2x ? 1 于是 > 0, x 2 2 -1

即f(x)>0,

……………………

11分

综上知:f(x)>0.

……………………

12分

【失分警示】

【防范措施】 1.明确求定义域的依据 求定义域的依据有:分式的分母不为0,偶次根式的被开方数 非负,0指数幂的底数不为0,如本例中的分母不为0,即 2x-1≠0. 2.重视常用代数变形方法的应用 如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变
1 1 形技巧的应用.如本例中对 x ? 的变形用到了通分,对 2 ?1 2 ?x 2 ?1 的变形用到了分子分母同乘以2x. ?x 2 ?1

3.强化定义域优先的意识
解答函数问题始终是在定义域内进行的,如本例中定义域为

{x∈R|x≠0},所以第(3)问要分别证明x>0,x<0时都有
f(x)>0.

【类题试解】已知函数f(x)=2ax+2(a为常数), (1)求函数f(x)的定义域. (2)若a>0,试证明函数f(x)在R上是增函数. (3)当a=1时,求函数y=f(x),x∈(-1,3]的值域.

【解析】(1)函数f(x)=2ax+2对任意实数都有意义,所以定义

域为实数集R.
(2)任取x1,x2∈R,且x1<x2,

由a>0得ax1+2<ax2+2.
因为y=2x在R上是增函数.

所以有 2ax ?2<2ax ?2, 即f(x1)<f(x2).
1 2

所以函数f(x)在R上是增函数.

(3)由(2)知 当a=1时,f(x)=2x+2在(-1,3]上是增函数. 所以f(-1)<f(x)≤f(3),即2<f(x)≤32. 所以函数f(x)的值域为(2,32].

1.若0<a<1,则函数f(x)=ax-2的图象不经过(

)

A.第一象限
C.第三象限

B.第二象限
D.第四象限

【解析】选A.画函数y=ax的图象(过第一、二象限),向下平 移2个单位得函数y=ax-2的图象.由此可知,函数f(x)=ax-2 的图象不经过第一象限.

2.已知0.5m<0.5n,则m,n的大小关系是( A.m>n C.m<n B.m=n D.不能确定

)

【解析】选A.≧y=0.5x在R上是减函数, 且0.5m<0.5n,?m>n.

3.f(x)=(

1 |x| ) ,x∈R,那么f(x)是( 2

)

A.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数且在(0,+∞)上是减函数
1 |x| 【解析】选D.因为函数f(x)=( ) 图象如图. 2

由图象可知答案显然是D.

4.函数 f ? x ? ? x1 的定义域为______.
3 -1

【解析】由3x-1≠0得3x≠30. ≧y=3x在R上是增函数,?x≠0. ?函数 f ? x ? ?
1 的定义域为{x|x≠0}. 3x-1

答案:{x|x≠0}

5.函数f(x)是定义在R上的奇函数,并且当x∈(0,+∞)时,
f(x)=2x,那么f(-1)=______.

【解析】≧函数f(x)是定义在R上的奇函数,
?f(-1)=-f(1)=-2.

答案:-2

6.解不等式(

1 3x+2 1 -2x-3 ) >( ) . 2 2

【解析】原不等式可化为3x+2<-2x-3,解得x<-1. 原不等式的解集为{x|x<-1}.



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