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数学:新人教B版必修一 3.2.2对数函数(三) 教案


东北师范大学附属实验学校高中部数学教案

3.2.2 对数函数(三)
一、教学目标 (一)知识与技能目标
理解指数函数与对数函数的依赖关系,了解反函数的概念,加 深对函数的模型化思想的理解.

(二)过程与方法目标
通过作图,体会两种函数的单调性的异同.

(三)情感、态度与价值观
对体会指数函数与对数函数内在的对称统一.

二、教学重点
两种函数的内在联系,反函数的概念。

三、教学难点
反函数的概念。

五、教学过程

① 在同一坐标系中画出 x=log2y 与 y=2x 与

y=log2x 的函数图象。
y=2x 与 x=log2y

x
y

… …

-3

-2

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

… …

1 8

1 4

1 2

y ? log2 x .

x
y

… …

-3

-2

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

… …

1 8

1 4

1 2

图象:

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5

4

3

x=log y
2
2

g?x? = 2x
1

y=log x
2
2 4 6

-6

-4

-2

-1

-2

-3

-4

②通过图象探索在指数函数 y=2x 中,x 为自变量,y 为因变量, 如果把 y 当成自变量,x 当成因变量,那么 x 是 y 的函数吗? 在指数函数 y=2x 中,x 为自变量,y 是 x 的函数(x∈R,y∈R+) , 而且其在 R 上是单调递增函数。过 y 轴的正半轴上任意一点作 x 轴 的平行线,与 y=2x 的图象有且只有一个交点,即对任意的 y 值都有 唯一的 x 相对应,可以把 y 为自变量,x 作为 y 的函数。 ③如果是,那么对应关系是什么?如果不是,请说明理由。 由指数式与对数式关系,y=2x 得 x=log2y,即对于每一个 y,在 关系式 x=log2y 的作用之下,都有唯一的确定的值 x 和它对应,所 以,可以把 y 作为自变量,x 作为 y 的函数,即 x=log2y。这时我们 把函数 x=log2y(y∈(0,+∞))叫做函数 y=2x 的反函数,但习惯上, 通常以 x 表示自变量,y 表示函数,对调 x=log2y 中的 x,y 写成

y ? log2 x ,这样 y ? log2 x (x∈(0,+∞))是指数函数 y=2x(x∈
R)的反函数。由上述讨论可知,对数函数 y ? log2 x (x∈(0,+∞)) 是指数函数 y=2x(x∈R)的反函数;同时,指数函数 y=2x(x∈R) 也是对数函数 y ? log2 x (x∈(0,+∞))的反函数。因此,指数函数 y=2x(x∈R)与对数函数 y ? log2 x (x∈(0,+∞))互为反函数。 ④探索 y=2x 与 x=log2y 的图象间的关系 从列表中知道,y=2x 与 x=log2y 是同一个函数图象。
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⑤探索 y=2x 与 y ? log2 x 的图象间的关系 通过观察图象可知,y=2x 与 y ? log2 x 的图象关于直线 y=x 对 称。 ⑥结合②与⑤推测函数 y=ax 与函数 y=loga x 的关系 通过②与⑤类比,归纳知道,y=ax (a ? 0, 且 a ? 1) 的反函数是 y=loga x (a ? 0, 且 a ? 1) ,且它们的图象关于直线 y=x 对称。 由反函数的概念可知,同底的指数函数和对数函数互为反函 数,它们的图象关于直线 y=x 对称。

六、补充练习(建议处理章末复习参考题之后选讲)
△ 1 . 已 知 函 数

f ?x? ? lg a 2 ? 1 x 2 ? ?a ? 1?x ? 1 , 若f ?x?的定义域为 ,求实数 R
a 的取值范围. 解:依题意: a 2 ? 1 x 2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 对一切 x∈R 均成立, 当 a ? 1 ? 0时,其充要条件是:
2

??

?

?

?

?

又a ? ?1,f ?x ? ? 0满足题意,a ? 1,不合题意,
∴a∈ ?? ?, 1? ? ? , ? ? ? ? △ 2 . 已 知 函 数

?a 2 ? 1 ? 0 5 ? 解得a ? ?1或a ? , ? 2 2 3 ?? ? ?a ? 1? ? 4 a ? 1 ? 0 ?

?

?

?5 ?3

? ?

求实数 a f ?x? ? lg a 2 ? 1 x 2 ? ?a ? 1?x ? 1,若f ?x?的值域为 R, 的取值范围. 解: △3.已知函数 f(x)=logax 在 x∈(3,+∞)上恒有|f(x)|>1,求 实数 a 的取值范围. 答案:

??

?

?

1 ? a ? 3, 且a ? 1 3
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七、作业布置
1.已知 y ? logm (? ? 3) ? logn (? ? 3) ? 0 , 为不等于 1 的正数, m,n 则下列关系中正确的是( ) (A)1<m<n (B)m<n<1 (C)1<m<n (D)n<m<1

2.写出函数 y ? log2 ( x 2 ? 2 x) 的单调递增区间

y ? log1 ( x 2 ? x ? 2)
3.写出函数
2

的单调递减区间

4.函数 y ? log2 ( x ?

x 2 ? 1)(x ? R) 的奇偶性为[

]

A.奇函数而非偶函数 C.非奇非偶函数

B.偶函数而非奇函数 D.既奇且偶函数

5.若定义在区间(-1,0)内的函数 f ( x) ? log2a ( x ? 1) 满足

f ( x) ? 0 ,
则 a 的取值范围
( A)(1, 1 ) 2 ( B )(1,


1 ] 2 (C )(


1 ,?? ) 2
( D)(0,??)

6.画出下列函数的图象 (1) y ?| lg x | (2) y ? lg | x |

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