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2015-2016学年河北省邯郸市成安一中、永年二中联考高二(下)期中数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年河北省邯郸市成安一中、 永年二中联考高二 (下) 期中数学试卷(文科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.集合 M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则 M∩N=( ) A. (0,2] B. (0,2) C. (1,2] D. (1,2) 2.下列命题中是真命题的是( ) A.若 ac>bc,则 a>b B.“当 x=2 时,x2﹣3x+2=0”的否命题 C.“若 b=3,则 b2=9”的逆命题 D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 3.a∈R,|a|<3 成立的一个必要不充分条件是( ) 2 A.a<3 B.|a|<2 C.a <9D.0<a<2 4.复数 A.8 等于( B.﹣8 C.8i ) D.﹣8i ) (ρ∈R) D.θ= (ρ≤0)

5.与方程 θ= A.θ=

(ρ≥0)表示同一曲线的是( B.θ= (ρ≤0)

(ρ∈R)

C.θ=

6.在复平面中,满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2 的 z 所对应点的轨迹是( ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线 7.用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设( A.没有一个内角是钝角 B.至少有一个内角是钝角 C.至少有两个内角是锐角 D.至少有两个内角是钝角 8.如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于( )



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A.720 B.360 C.240 D.120 9.下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°归纳出所有三角形的内角和是 180°; ③一班所有同学的椅子都坏了,甲是一班学生,所以甲的椅子坏了; ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得出凸多边形 内角和是(n﹣2)?180°. A.①②④ B.①③④ C.②④ D.①②③④ 10.已知命题 p:? x∈[1,2],x2≥a;命题 q:? x∈R,x2+2ax+2﹣a=0,若命题 p∧q 是 真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤﹣2 或 a=1 B.a≤﹣2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.﹣2≤a≤1 11.在参数方程 (t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参数 )

值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是( A. B. C. D.

12.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则



类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径 为 R,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 R=( ) A. C. B. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若复数 z=m2+m﹣2+(m2﹣m﹣2)i 为实数,则实数 m 的值为 14. 直线 (t 为参数) 与曲线 (α 为参数) 的交点个数为

. .

15.经过点 P(2, 16.已知 ,

) ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 , , ,…,由此你猜想出第 n 个数为

. .

三.解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.已知 a>0,求证: ﹣ ≥a+ ﹣2.

18.已知 p:x∈[﹣2,10],q:1﹣m≤x≤1+m(m∈R) ,若 p 是 q 的必要不充分条件,求 实数 m 的取值范围.

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19.已知点 P(x,y)为曲线

+

=1(y≥0)上的任意一点,求 x+2y﹣12 的取值范围.

20.已知 21.已知 P 为半圆 C:

中至少有一个小于 2. (θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点 A 的坐标为(1,0) , 的长度均为 .

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

(1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. 22.在直角坐标系 xOy 中直线 l 过点 P( ,0)且倾斜角为 α,在极坐标系(与直角坐

标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中曲线 C 的方程 为 ρ2(1+sin2θ)=1,已知直线 l 与曲线 C 交于不同两点 M,N. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求 的取值范围.

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2015-2016 学年河北省邯郸市成安一中、 永年二中联考高 二(下)期中数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.集合 M={x|lgx>0},N={x|x2≤4},则 M∩N=( ) A. (0,2] B. (0,2) C. (1,2] D. (1,2) 【考点】交集及其运算. 【分析】根据集合的基本运算,进行求解即可. 【解答】解:M={x|lgx>0}={x|x>1},N={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}, 则 M∩N={x|1<x≤2}, 故选:C. 2.下列命题中是真命题的是( ) A.若 ac>bc,则 a>b B.“当 x=2 时,x2﹣3x+2=0”的否命题 C.“若 b=3,则 b2=9”的逆命题 D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 【考点】四种命题. 【分析】根据不等式的性质以及命题的关系分别对 A、B、C、D 各个选项进行判断即可. 【解答】解:对于 A:若 c<0,ac>bc,则 a<b,不成立, 对于 B:“当 x=2 时,x2﹣3x+2=0”的否命题是:“x2﹣3x+2=0 时,x=1 或 x=2”,是假命题; 对于 C:“若 b=3,则 b2=9”的逆命题是:“若 b2=9,则 b=±3”,是假命题; 对于 D:“相似三角形的对应角相等”的逆否命题是:“对应角不相等的三角形不是相似三角 形”,是真命题; 故选:D. 3.a∈R,|a|<3 成立的一个必要不充分条件是( ) 2 A.a<3 B.|a|<2 C.a <9D.0<a<2 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由|a|<3,解得﹣3<a<3.即可判断出结论. 【解答】解:由|a|<3,解得﹣3<a<3. ∴|a|<3 成立的一个必要不充分条件是 a<3. 故选:A.

4.复数 A.8

等于( B.﹣8 C.8i

) D.﹣8i

【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】先化简复数,然后进行复数幂的运算即可.
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【解答】解:由 故选 D.



5.与方程 θ= A.θ=

(ρ≥0)表示同一曲线的是( B.θ= (ρ≤0)

) (ρ∈R) D.θ= (ρ≤0)

(ρ∈R)

C.θ=

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】方程 θ= (ρ≥0)表示过极点且与极轴的夹角为 的射线,进而得出答案. 的射线,而 (ρ

【解答】解:方程 θ= ≤0)也表示此曲线. 故选:B.

(ρ≥0)表示过极点且与极轴的夹角为

6.在复平面中,满足等式|z+1|﹣|z﹣1|=2 的 z 所对应点的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线



【考点】轨迹方程. 【分析】利用复数的几何意义,即可判断出等式|z+1|﹣|z﹣1|=2 的 z 所对应点的轨迹. 【解答】解:复数 z 满足|z+1|﹣|z﹣1|=2, 则 z 对应的点在复平面内表示的是到两个定点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0)的距离之差为常数 2, 所以 z 对应的点在复平面内表示的图形为以 F2(1,0)为起点,方向向右的一条射线. 故选:C. 7.用反证法证明命题“三角形的内角中最多有一个内角是钝角”时应先假设( A.没有一个内角是钝角 B.至少有一个内角是钝角 C.至少有两个内角是锐角 D.至少有两个内角是钝角 )

【考点】反证法与放缩法. 【分析】反证法即假设结论的反面成立,“最多有一个”的反面为“至少有两个”. 【解答】解:∵“最多有一个”的反面是“至少有两个”,反证即假设原命题的逆命题正确 ∴应假设:至少有两个角是钝角. 故选:D. 8.如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于( )

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A.720 B.360 C.240 D.120 【考点】程序框图. 【分析】执行程序框图,写出每次循环得到的 k,ρ 的值,当有 k=4,ρ=360 时不满足条件 k <m,输出 p 的值为 360. 【解答】解:执行程序框图,有 n=6,m=4 k=1,ρ=1 第一次执行循环体,ρ=3 满足条件 k<m,第 2 次执行循环体,有 k=2,ρ=12 满足条件 k<m,第 3 次执行循环体,有 k=3,ρ=60 满足条件 k<m,第 4 次执行循环体,有 k=4,ρ=360 不满足条件 k<m,输出 p 的值为 360. 故选:B. 9.下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°归纳出所有三角形的内角和是 180°; ③一班所有同学的椅子都坏了,甲是一班学生,所以甲的椅子坏了; ④三角形内角和是 180°,四边形内角和是 360°,五边形内角和是 540°,由此得出凸多边形 内角和是(n﹣2)?180°. A.①②④ B.①③④ C.②④ D.①②③④ 【考点】进行简单的合情推理. 【分析】欲判断推理是不是合情推理、演绎推理,主要看是不是符合合情推理、演绎推理的 定义, 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义, 即是否是由 特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程,类比推理的是看是否符合类比推理的定义. 【解答】解:①为类比推理,在推理过程由圆的性质类比出球的有关性质; ②为归纳推理,符合归纳推理的定义,即是由特殊到一般的推理过程; ③为演绎推理;
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④为归纳推理,符合归纳推理的定义,即是由特殊到一般的推理过程. 故选:A. 10.已知命题 p:? x∈[1,2],x2≥a;命题 q:? x∈R,x2+2ax+2﹣a=0,若命题 p∧q 是 真命题,则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤﹣2 或 a=1 B.a≤﹣2 或 1≤a≤2 C.a≥1 D.﹣2≤a≤1 【考点】复合命题的真假. 【分析】根据二次函数的最值,一元二次方程解的情况和判别式△的关系即可求出命题 p, q 下 a 的取值范围,再根据 p∧q 为真命题得到 p,q 都为真命题,所以对前面所求 a 的取值 范围求交集即可. 【解答】解:命题 p:x2 在[1,2]上的最小值为 1,∴a≤1; 命题 q:方程 x2+2ax+2﹣a=0 有解, ∴△=4a2﹣4(2﹣a)≥0,解得 a≥1,或 a≤﹣2; 若命题 p∧q 是真命题,则 p,q 都是真命题; ∴ ,∴a=1,或 a≤﹣2;

∴实数 a 的取值范围是{a|a≤﹣2,或 a=1}; 故选 A.

11.在参数方程

(t 为参数)所表示的曲线上有 B、C 两点,它们对应的参数 )

值分别为 t1、t2,则线段 BC 的中点 M 对应的参数值是( A. B. C. D.

【考点】圆的参数方程;中点坐标公式. 【分析】根据 B,C 两个点在圆上,可以写出两个点对应的坐标,根据中点的坐标公式,表 示出中点的坐标,得到要求的中点对应的参数值. 【解答】解:xB=a+t1cosθ xC=a+t2cosθ 对于中点 M 有 xM= (xB+xC)= (a+t1cosθ+a+t2cosθ) =a+ (t1+t2)cosθ 同理 yM=b+ (t1+t2)sinθ ∴线段 BC 的中点 M 对应的参数值是 (t1+t2) 故选 B.

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12.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则



类比这个结论可知:四面体 S﹣ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径 为 R,四面体 S﹣ABC 的体积为 V,则 R=( ) A. C. B. D.

【考点】类比推理. 【分析】根据平面与空间之间的类比推理,由点类比点或直线,由直线 类比 直线或平面, 由内切圆类比内切球, 由平面图形面积类比立体图形的体积, 结合求三角形的面积的方法类 比求四面体的体积即可. 【解答】解:设四面体的内切球的球心为 O, 则球心 O 到四个面的距离都是 R, 所以四面体的体积等于以 O 为顶点, 分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 则四面体的体积为 ∴R= 故选 C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.若复数 z=m2+m﹣2+(m2﹣m﹣2)i 为实数,则实数 m 的值为 2 或﹣1 . 【考点】复数的基本概念. 【分析】由虚部为 0 求解关于 m 的一元二次方程得答案. 【解答】解:∵复数 z=m2+m﹣2+(m2﹣m﹣2)i 为实数, ∴m2﹣m﹣2=0, 解得:m=2 或﹣1. 故答案为:2 或﹣1.

14.直线

(t 为参数)与曲线

(α 为参数)的交点个数为 2 .

【考点】圆的参数方程;直线与圆的位置关系;直线的参数方程. 【分析】将参数方程化为普通方程,利用圆心到直线的距离与半径比较,即可得到结论.
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【解答】解:直线

(t 为参数)化为普通方程为 x+y﹣1=0

曲线

(α 为参数)化为普通方程为 x2+y2=9

∵圆心(0,0)到直线 x+y﹣1=0 的距离为 d= ∴直线与圆有两个交点 故答案为:2

15.经过点 P(2,

) ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是



【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】在直角坐标系中,求出直线的方程,利用极坐标与直角坐标的互化公式求得直线极 坐标方程. 【解答】解:在直角坐标系中,过点 P(2, 其极坐标方程为 ρcosθ= , 故答案为: . ) ,且垂直于极轴的直线 x= ,

16.已知

, .





,…,由此你猜想出第 n 个数为

【考点】归纳推理. 【分析】根号下由两个数组成,前一个数是首项为 2,公差为 1 的等差数列,后一个数是分 数,分子与前一项相同,分母是分子的平方减 1,从而可猜想第 n 个数. 【解答】解:∵ , , , ,…,

∴前一个数是首项为 2,公差为 1 的等差数列,后一个数是分数,分子与前一项相同,分母 是分子的平方减 1, ∴由此猜想第 n 个数为 故答案为: ,

三.解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤. 17.已知 a>0,求证: 【考点】不等式的证明. ﹣ ≥a+ ﹣2.

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【分析】用分析法,证明不等式成立的充分条件成立,要证原命题,只要证

+2≥

a+ +

,即只要证(

+2)2≥(a+ +

)2,进而展开化简,可得只要证明: (a

﹣ )2≥0,易得证明,

【解答】证明:要证



≥a+ ﹣2,

只要证 ∵a>0, 故只要证(

+2≥a+ +



+2)2≥(a+ +

)2,

即 a2+

+4

+4≥a2+2+

+2

(a+ )+2,

从而只要证 2 只要证 4(a2+ 即 a2+ ≥2,



(a+ ) ,

)≥2(a2+2+

) ,

即: (a﹣ )2≥0, 而上述不等式显然成立, 故原不等式成立. 18.已知 p:x∈[﹣2,10],q:1﹣m≤x≤1+m(m∈R) ,若 p 是 q 的必要不充分条件,求 实数 m 的取值范围. 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】设 A={x|﹣2≤x≤10},B={x|1﹣m≤x≤1+m},根据 p 是 q 的必要不充分条件, 可得 B 是 A 的真子集,对 B 分类讨论即可得出. 【解答】解:设 A={x|﹣2≤x≤10},B={x|1﹣m≤x≤1+m}, ∵p 是 q 的必要不充分条件, ∴B 是 A 的真子集, ①若 B=?,则 1﹣m>1+m,∴m<0,符合;

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②若 B≠?,则

,∴m∈[0,3].

综上可得:m∈(﹣∞,3].

19.已知点 P(x,y)为曲线 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】由椭圆的参数方程为

+

=1(y≥0)上的任意一点,求 x+2y﹣12 的取值范围.

,可设

,t=x+2y﹣

12,运用两角和的正弦公式,结合 y≥0,可得 θ∈[0,π],运用正弦函数的图象和性质, 即可得到所求范围. 【解答】解:由椭圆 + =1,

可得椭圆的参数方程为 可设 则 由 y≥0,可得 θ∈[0,π], 即有 ,则

, ,t=x+2y﹣12, ,



可得 t∈[﹣8,﹣4], 故 x+2y﹣12 的取值范围[﹣20,﹣4].

20.已知

中至少有一个小于 2.

【考点】反证法与放缩法. 【分析】 本题证明结论中结构较复杂, 而其否定结构简单, 故可用反证法证明其否定不成立, 即证明 不可能都不小于 2, 假设 都不小于 2, 则

得出 2≥a+b,这与已知 a+b>2 相矛盾,故假设不成立,以此来证明结论成立. 【解答】证明:假设 都不小于 2,则

因为 a>0,b>0,所以 1+b≥2a,1+a≥2b,1+1+a+b≥2(a+b) 即 2≥a+b,这与已知 a+b>2 相矛盾,故假设不成立 综上 中至少有一个小于 2.

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21.已知 P 为半圆 C:

(θ 为参数,0≤θ≤π)上的点,点 A 的坐标为(1,0) , 的长度均为 .

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧

(1)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (2)求直线 AM 的参数方程. 【考点】极坐标系;直线的参数方程;圆的参数方程. 【分析】 (1)利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,进行 代换即得. (2)先在直角坐标系中算出点 M、A 的坐标,再利用直角坐标的直线 AM 的参数方程求得 参数方程即可. 【解答】解: (Ⅰ)由已知,M 点的极角为 故点 M 的极坐标为( , ) . ) ,A(1,0) , ,且 M 点的极径等于 ,

(Ⅱ)M 点的直角坐标为(

故直线 AM 的参数方程为

(t 为参数)

22.在直角坐标系 xOy 中直线 l 过点 P(

,0)且倾斜角为 α,在极坐标系(与直角坐

标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中曲线 C 的方程 为 ρ2(1+sin2θ)=1,已知直线 l 与曲线 C 交于不同两点 M,N. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求 的取值范围.

【考点】简单曲线的极坐标方程. 【分析】 (1)把极坐标与直角坐标互化公式代入极坐标方程即可得出直角坐标方程. (2)设直线 l 参数方程为 ,代入曲线 C 的直角坐标方程得

,利用根与系数的关系、弦长公式可得|MN|. 利用△>0.可得得 ,即可得出结论.

【解答】解: (1)将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入 ρ2(1+sin2θ)=1 得 x2+2y2=1, 即曲线 C 的直角坐标方程为 x2+2y2=1.

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(2)设直线 l 参数方程为

,代入曲线 C 的直角坐标方程得















由题设知 , 故 .



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2016 年 9 月 1 日

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