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四川省绵阳市高三第三次诊断性考试理科数学试题 Word版含答案

流过多少 汗,流 下多少 泪,只 为高考 这一天 ;付出 多少时 间,付 出多少 努力, 只为高 考这一 刻;高 考这条 路就算 布满荆 棘也要 披荆而 过,请 相信天 道酬勤 ,请相 信付出 一定会 有回报 ,对自 己充满 信心, 加油, 祝高考 成功顺 利。
2016 届四川省绵阳市高三三诊考试理科数学试题(解析版)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.
1.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z ?1? i? ? i ,则复数 z 所对应的点在

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限

D. 第四象限

2. 已知U ? {x | y ? log 2 x}, M ?{y | y ? 2 x, x ?1} ,则 ?U M ?

A. [1, 2) B. (0, ??) C. [2, ??)

D. (0,1]

3.执行如图所示的程序框图,则输出的 n 为 A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
4、“ ?x ? 0 ,使 a ? x ? b ”是“ a ? b ”成立的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

?2x ? y ? 2 ? 0

5、已知实数 x ?[?1,1],

y ?[0,2]

,则点

P(x,

y)

落在区域

? ?

x

?

2

y

?

1

?

0

内的概率为

??x ? y ? 2 ? 0

3

1

1

3

A.

B.

C.

D.

4

4

8

8

6.甲、乙、丙、丁和戊 5 名同学进行数学应用知识比赛,决出第 1 名至第 5 名(没有重复

名次). 已知甲、乙均为得到第 1 名,且乙不是最后一名,则 5 人的名次排列情况可能有

A. 27 种

B. 48 种

C. 54 种

D. 72 种

7.若函数 f (x) 同时满足以下三个性质:① f (x) 的最小正周期为 ? ;②对于任意的 x?R ,

都有

f

(x

?

?) 4

?

f

(?x)

;③

f

(x)



? ??

3? 8

,? 2

? ??

上是减函数,则

f

(x)

的解析式可能是

A.

f

(x)

?

cos

? ??

x

?

? 8

? ??

B. f (x) ? sin 2x ? cos 2x

C. f (x) ? sin x cos x

D. f (x) ? sin 2x ? cos 2x

8.在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2AA1 , P、Q 分别是棱 CD、CC1 上的动点,

如图,当 BQ ? QD1 的长度取得最小值时,二面角 B1 ? PQ ? D1 的余弦值

的取值范围为

A. [0, 1] B.[0, 10 ] C. [1 , 10 ] D. [ 10 ,1]

5

10

5 10

10

9.设 M, N 是抛物线 y2 ? 4x 上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且 OM ON ? 0 ,过点 A?4,0?
作 MN 的垂线与抛物线交于点 P、Q 两点,则四边形 MPNQ 面积的最小值为

A. 80

B. 100

C. 120 D. 160

10.已知函数 f (x) ? ex ,关于 x 的方程 f 2 (x) ? 2af (x) ? a ?1 ? 0(m ? R) 有四个相异的实数 |x|

根,则 a 的取值范围是

A. (?1, e2 ?1) 2e ?1

B. (1, ??)

C. ( e2 ?1 , 2) D. ( e2 ?1 , ??)

2e ?1

2e ?1

第 II 卷(非选择题,共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.已知向量 a ? ?t,1? 与 b ? ?4,t ? 共线且方向相同,则 t ? ______.

12.若

? ?

3

?

x?

1 x

?n ? ?

的展开式各项系数之和为

64,则展开式的常数项为________.

13.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元,每桶水的进价是 5 元,销 售单价与日均销售量的关系如下表所示.

请根据以上数据分析,这个经营部定价在________元/桶才能获得最大利润
14.在平面直角坐标系 xOy 中,点 A?0,1? , B?0, 4? . 若直线 2x ? y ? m ? 0 上存在点 P ,使

得 PA ? 1 PB ,则实数 m 的取值范围是__________. 2

15.已知函数

f

(x)

?

?a? | x ? a |, ??| x ? a | ?a,

x x

? ?

0 0

,其中常数

a

?

0

,给出下列结论:

① f (x) 是 R 上的奇函数;

②当 a ? 4 时, f (x ? a2 ) ? f (x) 对任意的 x?R 恒成立;

③ f (x) 的图像关于 x ? a 和 x ? ?a 对称;

④若对 ?x1

?(??, ?2)



?x2

? ? ??, ?1?

,使得

f

( x1 )

f

(x2 )

?1

,则

a ?(1 ,1) 2

.

其中正确的结论有_________. (写出所有正确结论的序号)

三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分. 16.(本小题满分 12 分)
体育课上,李老师对初三(1)班 50 名学生

进行跳绳测试. 现测得他们的成绩(单位:个)全部介于 20 到 70 之间,将这些成绩数据进 行分组(第一组: (20,30] ,第二组: (30, 40] ,……,第五组: (60,70] ),并绘制成如右图

所示的频率分布直方图.

(I)求成绩在第四组的人数和这 50 名同学跳绳成绩的中位数;

(II)从成绩在第一组和第五组的同学中随机抽出 3 名同学进行搭档训练,设取自第一 组的人数为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望.

17.(本小题满分 12 分) 已知在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且满足 b ? acosC ? csin A .

(I)求 A 的大小;

(II)若 cos B ? 3 , BC ? 5 , BD ? 1 BA ,求 CD 的长

5

7

18.(本小题满分 12 分)

? ? ? ? 已知各项均为正数的数列

an

的前 n

项和为 Sn

满足 Sn

?

? ??

an

?

1

2
?

2 ??

n? N*

.

(I)求数列?an? 的通项公式;

(II)设 Tn

为数列

?1

? ?

an

an?1

? ? ?

的前

n

项和,若 Tn

?

?an?1 对 ?n ?

N*

恒成立,求实数

?



最小值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,图②为图①空间图形的主视图和侧视图,其中侧视图为正方形.在图①中,设平
面 BEF 与平面 ABCD 相交于直线 l .
(I)求证: l ? 平面 CDE ; (II)在图①中,线段 DE 上是否存在点 M ,使得直线 MC 与平面 BEF 所成的角的正
弦值等于 5 ?若存在,求出点 M 的位置;若不存在,请说明理由. 5

20.(本小题满分 13 分)

已知椭圆

E

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率为

2 ,过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭 2

圆 E 截得的线段长为 2.
(I)求椭圆 E 的方程;
(II)直线 y ? kx ?1与椭圆交于 A、B 两点,以 AB 为直径的圆与 y 轴正半轴交于点 C , 是否存在实数 k ,使得 ?ABC 的内切圆的圆心在 y 轴上?若存在,求出 k 的取值范围;若不
存在,请说明理由. 21.(本小题满分 14 分)

设函数 g(x) ? ln x , f (x) ? g[?x ? (1? ?)a] ? ?g(x) ,其中 a, ? 是正常数,且 0 ? ? ?1.

(I)求函数 f (x) 的最值;

(II)对于任意的正数

m

,是否存在正数

x0

,使不等式 |

g(x0 ?1) x0

? 1 |?

m

成立?并说明

理由;

(III)设 ?1

? 0,

?2

? 0 ,且 ?1

? ?2

? 1,证明:对于任意正数 a1,

a2

都有

a ?1 1

a ?2 2

? ?1a1

? ?2a2

.

参考答案

一、 选择题 AADCD CBBAD
二、 填空题

11. 2

12. -540

13. 11.5

14 ?2 5 ? m ? 2 5

三、 解答题
16. (I)第四组的人数为 16 人,中位数为 47.5 (II)据题意,第一组有 2 人,第五组有 4 人
于是 ? ? 0,1,2 , ?? 的分布列为

15.①②

?

0

1

2

1

3

1

P

5

5

5

?E(? ) ?1

17. (I)在 ?ABC 中,原式利用正弦定理可化简为 sin B ? sin AcosC ? sinCsin A

又 sin B ? sin ?? ? ? A ? C ?? ? sin ? A ? C ? ? sin AcosC ? cos Asin C

?cos AsinC ? sinCsin A 又 sinC ? 0

?sin A ? cos A

?A? ? 4

(II)在 ?ABC 中, sin B ? 1? cos2 B ? 4 5

由 AC ? BC ,即 AC ?

sin B sin A

4

5 ,解得 AC ? 4 2

2

52

又 cosC ? ?cos(A ? B) ? 2 10
? AB2 ? AC2 ? BC2 ? 2AC BC cosC ? 49 ?AB ? 7

由 BD ? 1 BA ,得 BD ?1 7
?CD2 ? BD2 ? BC2 ? 2BD BC cos B ? 20

?CD ? 2 5 18.

(I)当 n

?1时, a1

?

S1

?

? a1

? 1?2
4

,解得 a1

?1

当 n ? 2 时, an

?

Sn

?

Sn?1

?

? an

? 1?2
4

?

?an?1 ? 1?2
4

整理得 ?an ? an?1 ??an ? an?1 ? 2? ? 0

an ? 0?an ? an?1 ? 0

?an ? an?1 ? 2

?an ? 2n ?1

(II)

1 an an ?1

?

1? 2 ??

1? 2n ?1

1? 2n ?1 ??

?Tn

?

n 2n ?1

由题意得 ?

?

n
?2n ? 1?2

对 ?n ? N*

恒成立

令 bn

?

n
?2n ? 1?2

,则 bn?1 ? bn

?

??2n ?1?2 ? 2 ?2n ? 3?2 ?2n ?1?2

?0

即 bn?1 ? bn 对 ?n ? N* 恒成立

即数列 ?bn ?

为单调递减数列,最大值为

b1

?

1 9

?? ? 1 ,即 ? 的最小值为 1

9

9

19.

(I)证明:由题意, AD / /EF

EF ?面 BEF , AD ? 面 BEF

?AD / / 面 BEF

又 AD ?平面 ABCD ,面 ABCD

面 BEF ? l

?AD / /l 由主视图可知, AD ? CD ,由侧视图可知 DE ? AD ,

AD CD ? D

?AD ? 面 CDE ?l ? 面 CDE (II)建立如图所示空间直角坐标系,

则 A?1,0,0?、B?1,1,0?、C ?0, 2,0?、E ?0,0,1?、F ?1,0,1?

? EF ? ?1,0,0?, BF ? ?0, ?1,1?

则面 BEF 的一个法向量为 n ? ?0,1,1? 设 M ?0,0, m? ,则 MC ? ?0, 2, ?m?

?cos ? MC, n ?? 2 ? m ? 5 2 4 ? m2 5

解得 m ? 2 或 m ? 6 (舍) 3
即存在满足题意的点 M ,此时 M 的位置在线段 DE 的 2 处(靠近 E 点) 3
20.
(I)设焦点 F ?c,0? ,则 c ? 2 ,从而 a2 ? 2c2
a2

由题意得,

? ??

c a

? ??

2

?

1 b2

? 1 ,解得 b2

? 2 ,又 a2

? b2

? c2 ,?a2

?4

故椭圆的方程为 x2 ? y2 ? 1 42
(II)依题意可知 BC ? AC ,且 ?BCO ? ?ACO ? 45
于是直线 BC 的斜率 kBC ? 1,直线 AC 的斜率 kAC ? ?1

设 A? x1, y1 ?, B ? x2 , y2 ?, C ?0, y0 ?

则 kBC

?

y2 ? y0 x2

? 1, kAC

?

y1 ? y0 x1

? ?1

联立可得 x1 ? x2 ? k ? x2 ? x1 ? ①

? ? 联立

? ? ?

y ? kx x2 ? 2

? y2

1 ?

4

,可得

1? 2k2

x2 ? 4kx ? 2 ? 0

? x1

?

x2

?

?

1

4k ? 2k

2

,

x1x2

?

?

1

2 ? 2k

2



将①式平方,并将②式代入可得 4k2 ?1 ? 2 或者 k2 ? 0

故存在满足条件的 k 值,分别为 k ? ? 1 或 k ? 0 2

21.

(I) f ' (x) ? ?(1 ? ?)? x ? a? [? x ? ?1 ? ? ? a]x

a ? 0, 1? ? ? 0, ? ? 0, x ? 0

?当 x ? a 时, f ' (x) ? 0;0 ? x ? a 时, f ' (x) ? 0

? f (x) 在 (0, a) 上单调递减,在 (a, ??) 上单调递增。

? f (x) 有最小值 f (a) ? ?1? ? ?ln a ,没有最大值

(II)对

?m

?

0,

?x0

?

0

使得 |

g(x0 ?1) x0

? 1 |?

m

成立,其理由如下

令 h(x) ? ln(x ?1) ? x ,则 h' ? x? ? 0 ,所以 h(x) 在[0,??) 单调递减

于是可得当 x ? 0 时, ln ? x ?1? ? x ? 0 , ln ? x ?1? ?1 ? 0
x 故 | g(x ?1) ?1|? m ? ln(x ?1) ? (m ?1)x ? 0
x
设?(x) ? ln ? x ?1? ? ?m ?1? x, m ? 0, x ? 0

则?' (x) ?

1

?m ?1? x ? m
? m ?1?

x ?1

x ?1

当 m ?1时,?' (x) ? 0 ,? ? x? 在 (0,??) 上单调递增,

?对于 ?x0 ? 0 均有? ? x0 ? ? ? ?0? ? 0 恒成立

当 0 ? m ?1时,由?' (x) ? 0 可得 0 ? x ? m ,由?' (x) ? 0 可得 x ? m

1? m

1? m

于是?(x) 在 (0, m ) 是增函数,在 ( m , ??) 是减函数,

1? m

1? m

?

对于

?x0

?

(0,

1

m ?m

)

均有

?

?

x0

?

?

?

?

0

?

?

0

恒成立

综上,对于任意的正数 m ,都存在正数 x0 满足条件
(III)证明:由(I)知,对 ?x ? 0, a ? 0, 0 ? ? ?1时, 都有 ln[?x ? (1? ?)a] ? ? ln x ? (1? ?)ln a

即 ln x? ? ln a1?? ? ln[? x ? (1? ?)a]

? ? 令 ?1 ? ?,?2 ? 1? ?, a1 ? x, a2 ? a ,则 ln

a a ?1 ?2 12

? ln ?a1?1 ? a2?2 ?

y ? ln x 在 (0,??) 上是增函数

?

a ?1 1

a ?2 2

? ?1a1

? ?2a2



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