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第4课时 直线、平面平行的判定及其性质(教师)


第 4 课时

直线、平面平行的判定及其性质(教师)
基础梳理

1.平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况. 2.直线和平面平行的判定 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称直线平行于平面; (2)判定定理:a?α,b?α,且 a∥b?a∥α; (3)其他判定方法:α∥β;a?α?a∥β. 3.直线和平面平行的性质定理:a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l. 4.两个平面平行的判定 (1)定义:两个平面没有公共点,称这两个平面平行; (2)判定定理:a?α,b?α,a∩b=M,a∥β,b∥β?α∥β; (3)推论:a∩b=M,a,b?α,a′∩b′=M′,a′,b′?β,a∥a′,b∥b′?α∥β. 5.两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a?α?a∥β; (2)α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b. 6.与垂直相关的平行的判定 (1)a⊥α,b⊥α?a∥b; (2)a⊥α,a⊥β?α∥β.

一个关系
平行问题的转化关系:

两个防范
(1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内, 否则, 会出现错误. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交,则直线与交线 平行.

双基自测
1.(人教 A 版教材习题改编)下面命题中正确的是( ). ①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行,则这两个平面平行; ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行; ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行. A.①③ B.②④ C.②③④ D.③④ 答案 D 解析 ①②中两个平面可以相交,③是两个平面平行的定义,④是两个平面平行的判定定理. 2.平面 α∥平面 β,a?α,b?β,则直线 a,b 的位置关系是( ). A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 答案 D 3.(2012· 银川质检)在空间中,下列命题正确的是( ). A.若 a∥α,b∥a,则 b∥α B.若 a∥α,b∥α,a?β,b?β,则 β∥α C.若 α∥β,b∥α,则 b∥β D.若 α∥β,a?α,则 a∥β 解析 若 a∥α,b∥a,则 b∥α 或 b?α,故 A 错误;由面面平行的判定定理知,B 错误;若 α∥β, b∥α,则 b∥β 或 b?β,故 C 错误. 答案 D 4.(2012· 温州模拟)已知 m、n 为两条不同的直线,α、β 为两个不同的平面,则下列命题中正确的 是( ). A.m∥n,m⊥α?n⊥α B.α∥β,m?α,n?β?m∥n
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C.m⊥α,m⊥n?n∥α D.m?α,n?α,m∥β,n∥β?α∥β 解析 选项 A 中,如图①,n∥m,m⊥α?n⊥α 一定成立,A 正确;选项 B 中,如图②,α∥β,m?α,n?β?m 与 n 互为 异面直线,∴B 不正确;选项 C 中,如图③,m⊥α,m⊥n? n?α,∴C 不正确;选项 D 中,如图④,m?α,n?α,m∥β, n∥β?α 与 β 相交,∴D 不正确. 答案 A 5.(2012· 衡阳质检)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E 是 DD1 的 中点,则 BD1 与平面 ACE 的位置关系为________. 解析 如图. 连接 AC、BD 交于 O 点,连结 OE,因为 OE∥BD1,而 OE?平面 ACE, BD1?平面 ACE, 所以 BD1∥平面 ACE. 答案 平行

考向一

直线与平面平行的判定与性质

【例 1】?(2011· 天津改编)如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为 平行四边形,O 为 AC 的中点,M 为 PD 的中点. 求证:PB∥平面 ACM. [审题视点] 连接 MO,证明 PB∥MO 即可. 证明 连接 BD,MO.在平行四边形 ABCD 中,因为 O 为 AC 的中点, 所以 O 为 BD 的中点.又 M 为 PD 的中点,所以 PB∥MO.因为 PB?平 面 ACM,MO?平面 ACM,所以 PB∥平面 ACM. 利用判定定理时关键是找平面内与已知直线平行的直线.可 先直观判断平面内是否已有,若没有,则需作出该直线,常考虑三角形的中位 线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线. 【训练 1】 如图,若 PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 是矩形,E、F 分别是 AB、PD 的中点,求证:AF∥平面 PCE. 1 取 PC 的中点 M,连接 ME、MF,则 FM∥CD 且 FM=2CD.

证明

1 又∵AE∥CD 且 AE=2CD,∴FM 綉 AE,即四边形 AFME 是平行四边形. ∴AF∥ME,又∵AF?平面 PCE,EM?平面 PCE,∴AF∥平面 PCE.

考向二

平面与平面平行的判定与性质

【例 2】 ?如图, 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中, M、 N、 P 分别为所在边的中点. 求 证:平面 MNP∥平面 A1C1B; [审题视点] 证明 MN∥A1B,MP∥C1B. 证明 连接 D1C,则 MN 为△DD1C 的中位线,∴MN∥D1C. 又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B. 而 MN 与 MP 相交, MN, MP 在平面 MNP 内, A1B, C1B 在平面 A1C1B 内. ∴平面 MNP∥平面 A1C1B. 证明面面平行的方法有:
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(1)面面平行的定义; (2)面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面 平行; (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行; (4)两个平面同时平行于第三个平面,那么这两个平面平行; (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化. 【训练 2】 如图,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,E,F,G,H 分别是 AB,AC, A1B1,A1C1 的中点,求证: (1)B,C,H,G 四点共面; (2)平面 EFA1∥平面 BCHG. 证明 (1)∵GH 是△A1B1C1 的中位线,∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC, ∴B,C,H,G 四点共面. (2)∵E、F 分别为 AB、AC 的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面 BCHG,BC?平面 BCHG, ∴EF∥平面 BCHG. ∵A1G 綉 EB,∴四边形 A1EBG 是平行四边形,∴A1E∥GB.∵A1E?平面 BCHG,GB?平面 BCHG. ∴A1E∥平面 BCHG. ∵A1E∩EF=E,∴平面 EFA1∥平面 BCHG.

考向三

线面平行中的探索问题

【例 3】?如图所示,在三棱柱 ABCA1B1C1 中,A1A⊥平面 ABC,若 D 是棱 CC1 的中点,问在棱 AB 上是否存在一点 E,使 DE∥平面 AB1C1?若存在, 请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. [审题视点] 取 AB、BB1 的中点分别为 E、F,证明平面 DEF∥平面 AB1C1 即 可. 解 存在点 E,且 E 为 AB 的中点.下面给出证明:如图,取 BB1 的中点 F, 连接 DF,则 DF∥B1C1. ∵AB 的中点为 E,连接 EF,则 EF∥AB1. B1C1 与 AB1 是相交直线, ∴平面 DEF∥平面 AB1C1. 而 DE?平面 DEF,∴DE∥平面 AB1C1. 解决探究性问题一般要采用执果索因的方法,假设求解的结果 存在,从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,如果找到了符 合题目结果要求的条件, 则存在; 如果找不到符合题目结果要求的条件(出 现矛盾),则不存在. 【训练 3】 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面是平行四边形,PA⊥平面 ABCD,点 M、N 分别为 BC、PA 的中点.在线段 PD 上是否存在一点 E, 使 NM∥平面 ACE?若存在,请确定点 E 的位置;若不存在,请说明理由. 解 在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE. 证明如下:如图,取 PD 的中点 E,连接 NE,EC,AE, 1 因为 N,E 分别为 PA,PD 的中点,所以 NE 綉2AD. 1 又在平行四边形 ABCD 中,CM 綉2AD.所以 NE 綉 MC, 即四边形 MCEN 是平行四边形. 所以 NM 綉 EC. 又 EC?平面 ACE,NM?平面 ACE,所以 MN∥平面 ACE, 即在 PD 上存在一点 E,使得 NM∥平面 ACE.

规范解答 13——怎样证明线线、线面、面面平行与垂直的综合性问题 【问题研究】 高考对平行、垂直关系的考查主要以线面平行、线面垂直为核心,以多面体为载体 结合平面几何知识,考查判定定理、性质定理等内容,难度为中低档题目.
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【解决方案】 利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征,尤其注意对正棱柱、正棱 锥等特殊几何体性质的灵活运用,进行空间线面关系的相互转化. 【 示 例 】 ? ( 本 题 满 分 12 分 )(2011· 山东)如图,在四棱台 ABCDA1B1C1D1 中, D1D⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是平行四边形, AB=2AD,AD=A1B1,∠BAD=60° . (1)证明:AA1⊥BD; (2)证明:CC1∥平面 A1BD. 第(1)问转化为证明 BD 垂直 A1A 所在平面;第(2)问在平 面 A1BD 内寻找一条线与 CC1 平行. [解答示范] 证明 (1)因为 D1D⊥平面 ABCD,且 BD?平面 ABCD,所以 D1D⊥BD. 又因为 AB=2AD,∠BAD=60° , 在△ABD 中,由余弦定理得 BD2=AD2+AB2-2AD· ABcos 60° =3AD2,所以 AD2+BD2=AB2, 因此 AD⊥BD. 又 AD∩D1D=D,所以 BD⊥平面 ADD1A1. 又 AA1?平面 ADD1A1,故 AA1⊥BD. (2)如图,连结 AC,A1C1, 设 AC∩BD=E,连结 EA1, 1 因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 EC=2AC. 由棱台定义及 AB=2AD=2A1B1 知 A1C1∥EC 且 A1C1=EC,所以 四边形 A1ECC1 为平行四边形,因此 CC1∥EA1. 又因为 EA1?平面 A1BD,CC1?平面 A1BD,所以 CC1∥平面 A1BD.(12 分) 证明线面关系不能仅仅考虑线面关系的判定和性质,更要注意对几何体的几何特征的灵 活应用.证明的依据是空间线面关系的判定定理和性质定理.另外根据几何体的数据,通过计算 也可得到线线垂直的关系,所以要注意对几何体中的数据的正确利用. 【试一试】 (2010· 安徽)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90° ,BF= FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 BDEF 的体积. [尝试解答] (1)证明 设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点. 1 连 EG,GH,由于 H 为 BC 的中点,故 GH 綉2AB. 1 又 EF 綉2AB,∴EF 綉 GH. ∴四边形 EFHG 为平行四边形. ∴EG∥FH,而 EG?平面 EDB,∴FH∥平面 EDB. (2)证明 由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC. 又 EF∥AB,∴EF⊥BC. 而 EF⊥FB,∴EF⊥平面 BFC,∴EF⊥FH. ∴AB⊥FH.又 BF=FC,H 为 BC 的中点, ∴FH⊥BC.∴FH⊥平面 ABCD. ∴FH⊥AC.又 FH∥EG,∴AC⊥EG. 又 AC⊥BD,EG∩BD=G,∴AC⊥平面 EDB. (3)解 ∵EF⊥FB,∠BFC=90° ,∴BF⊥平面 CDEF. ∴BF 为四面体 BDEF 的高. 1 1 1 又 BC=AB=2,∴BF=FC= 2. VB-DEF=3×2×1× 2× 2=3.

一、选择题 1.若直线 a⊥b,且直线 a∥平面 α,则直线 b 与平面 α 的位置关系是( ) A.b?α B.b∥α C.b?α 或 b∥α D.b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α 解析:b 与 α 相交或 b?α 或 b∥α,都可以. 答案:D
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2.设 α、β 是两个平面,l、m 是两条直线,下列命题中,可以判断 α∥β 的是( ) A.l?α,m?α,且 l∥β,m∥β B.l?α,m?β,且 m∥α C.l∥α,m∥β,且 l∥m D.l⊥α,m⊥β,且 l∥m 解析:条件 A 中,增加 l 与 m 相交才能判断出 α∥β,A 错.由条件 B、C 都有可能 α 与 β 相交,排除 B 和 C. 而垂直于同一直线的两个平面平行,D 成立. 答案:D 3.(2012· 长春模拟)a、b、c 为三条不重合的直线,α、β、γ 为三个不重合的平面,现给出四个命题 ? α∥c? α∥γ? α∥c? a∥γ ? ? ? ? ??α∥β ② ??α∥β ??a∥α ④ ??α∥a 其中正确的命题是( ① ③ ) ? ? ? ? β∥c ? β∥γ ? a∥c ? α∥γ? A.①②③ B.①④ C.② D.①③④ 解析:②正确.①错在 α 与 β 可能相交.③④错在 a 可能在 α 内. 答案:C 4.下列命题中正确的个数是( ) ①若直线 a 不在 α 内,则 a∥α;②若直线 l 上有无数个点不在平面 α 内,则 l∥α; ③若直线 l 与平面 α 平行,则 l 与 α 内的任意一条直线都平行; ④若 l 与平面 α 平行,则 l 与 α 内任何一条直线都没有公共点;⑤平行于同一平面的两直线可以相交. A.1 B.2 C.3 D.4 解析:a∩α=A 时,a?α,故①错; 直线 l 与 α 相交时,l 上有无数个点不在 α 内,故②错; l∥α 时,α 内的直线与 l 平行或异面,故③错; l∥α,l 与 α 无公共点,所以 l 与 α 内任一直线都无公共点,④正确; 长方体中的相交直线 A1C1 与 B1D1 都与面 ABCD 平行,所以⑤正确.答案:B 5. (2012· 天津模拟)如图边长为 a 的等边三角形 ABC 的中线 AF 与中位线 DE 交于点 G, 已知△A′DE 是△ADE 绕 DE 旋转过程中的一个图形,则下列命题中正确的是( ) ①动点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上; ②BC∥平面 A′DE;③三棱锥 A′ -FED 的体积有最大值. A.① B.①② C.①②③ D.②③ 解析:①中由已知可得平面 A′FG⊥平面 ABC,∴点 A′在平面 ABC 上的射影在线段 AF 上.②BC∥DE, ∴BC∥平面 A′DE.③当平面 A′DE⊥平面 ABC 时,三棱锥 A′-FED 的体积达到最大.答案:C 二、填空题 6.如图所示, ABCD-A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体, M, N 分别是下底面的棱 A1B1, B1C1 a 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= ,过 P,M,N 的平面交 3 上底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ=________. 解析:如图所示,连接 AC,易知 MN∥平面 ABCD,∴MN∥PQ. 又∵MN∥AC,∴PQ∥AC. a PD DQ PQ 2 2 2 2 2 2 又∵AP= , ∴AD=CD=AC= . ∴PQ= AC= a. 答案: 3 3 3 3 3 a 7.如图所示,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、 DC 的中点, N 是 BC 的中点, 点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动, 则 M 满足条件________ 时,有 MN∥平面 B1BDD1. 解析: 由平面 HNF∥平面 B1BDD1 知当 M 点满足在线段 FH 上有 MN∥面 B1BDD1.答案: M∈线段 FH 三、解答题 8.(2012· 潍坊模拟)如图,在七面体 ABCDMN 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,MD⊥ 平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,且 MD=2,NB=1,MB 与 ND 交于 P 点,点 Q 在 AB 上,且 2 BQ= . 3 (1)求证:QP∥平面 AMD; (2)求七面体 ABCDMN 的体积. 解:(1)证明:∵MD⊥平面 ABCD,NB⊥平面 ABCD,∴MD∥NB.
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BP NB 1 QB QB BP 1 ∴PM=MD= .又QA= = , ∴QA=PM. 2 2 2 2- 3 ∴在△MAB 中,QP∥AM. 又 QP?平面 AMD,AM?平面 AMD, ∴QP∥平面 AMD. (2)连接 BD,AC 并交于点 O,则 AC⊥BD,又 MD⊥平面 ABCD,∴MD⊥AC, 又 BD∩MD=D. ∴AC⊥平面 MNBD. ∴AO 为四棱锥 A-MNBD 的高. 1 1 又 S 四边形 MNBD= ×(1+2)×2 2=3 2, ∴VA-MNBD= ×3 2× 2=2. 2 3 又 VC-MNBD=VA-MNBD=2, ∴V 七面体 ABCDMN=2VA-MNBD=4. 9.(2011· 广东汕头一模)直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90° , AB=2AD=2CD=2. (1)求证:AC⊥平面 BB1C1C; (2)若 P 为 A1B1 的中点,求证:DP∥平面 BCB1,且 DP∥平面 ACB1. 证明:(1)直棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,BB1⊥平面 ABCD, ∴BB1⊥AC. 又∵∠BAD=∠ADC=90° ,AB=2AD=2CD=2, ∴AC= 2,∠CAB=45° .∴ BC= 2.∴BC⊥AC. 又 BB1∩BC=B,BB1,BC?平面 BB1C1C, ∴AC⊥平面 BB1C1C. 1 (2)由 P 为 A1B1 的中点,有 PB1∥AB,且 PB1= AB. 2 1 又∵DC∥AB,DC= AB,∴DC∥PB1,且 DC=PB1.∴DCB1P 为平行四边形. 2 从而 CB1∥DP. 又 CB1?面 ACB1,DP?面 ACB1,所以 DP∥面 ACB1. 同理,DP∥平面 BCB1.

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