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第二章 2.2 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布


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2.2
2.2.1

用样本估计总体

用样本的频率分布估计总体分布

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1.了解分析数据的方法,知道估计总 体频率分布的方法. 2.了解频率分布折线图和总体密度曲 线,会画频率分布直方图和茎叶图. 3.理解频率分布直方图和茎叶图及其 应用.

重点:掌握列频率分布表、 画频率分布直方图、 频率分布折线图、 茎 叶图的方法. 难点: 理解用样本的频率分 布估计总体分布的 方法.

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01 课前 自主梳理

02 课堂 合作探究

03 课后 巩固提升

课时作业

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[自主梳理]
一、用样本估计总体的两种情况 1.用样本的 频率分布 估计总体分布. 2.用样本的 数学特征 估计总体数字特征.

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二、数据分析的基本方法 1.借助于图形 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,此法可以达到两个目的,一是从 数据中 提取信息 ,二是利用图形 传递信息 . 2.借助于表格 分析数据的另一方法是用紧凑的表格改变数据的排列方式,此法是通过改变数据 的构成形式,为我们提供解释数据的新方式.

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三、绘制频率分布直方图的步骤:

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四、频率分布折线图和总体密度曲线 连接各小长方 频率分布直方图 ――――――――→ 频率分布折线图 形上端的 中点 样本容量不断增大,频率 ―――――――――――――→ 总体密度曲线 光滑曲线 折线图接近于一条__________ 五、茎叶图的定义 顾名思义,茎是指 中间 的一列数,叶就是从茎的 旁边 生长出来的数.一般地, 中间的数字表示数据的十位数,旁边的数字分别表示两组数据得分的个位数.

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[双基自测]
1.要了解全市高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小, 需知道相应样本的 ( ) B.方差 D.频率分布

A.平均数 C.众数

解析: 频率分步直方图是用来显示样本在某一范围所占的比例大小,故要了解全市 高一学生身高在某一范围的学生所占比例的大小,需知道相应样本的频率分布.

答案:D

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2.在 2010 年第十六届亚运会中,各个国家和地区代表队金牌获得情况的条形统计 图,如图所示. 第十六届亚运会各个国家和地区代表队金牌获得情况统计图

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从图中可以看出中国队所获得金牌数占全部金牌数的比例约是( A.41.7% C.67.3% B.59.8% D.94.8%

)

199 解析:金牌总数为 477,我国获得 199 块金牌,所占比例为 ≈41.7%. 477

答案:A

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3.对于频率分布折线图与总体密度曲线的关系,下列说法中正确的是( A.频率分布折线图与总体密度曲线无关 B.频率分布折线图就是总体密度曲线 C.样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线

)

D.如果样本容量无限增大,分组的组距无限缩小,那么频率分布折线图就会无 限接近于一条光滑曲线,即为总体密度曲线

答案:D

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4.在画频率分布直方图时, 某组的频数为 10,样本容量为 50, 总体容量为 600, 则该组的频率是( 1 A. 5 1 C. 10 ) 1 B. 6 D.不确定

10 1 解析:该组频率是 = . 50 5

答案:A

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探究一

频率分布直方图的绘制

[典例 1] 抽查 100 袋洗衣粉,测量它们的净重如下(单位:g): 494 498 493 505 496 492 485 483 508 511 495 494 483 485 511 493 505 488 501 491 493 509 509 512 484 509 510 504 498 483 510 503 497 502 493 509 510 493 491 497 515 495 497 498 511 497 500 503 515 518

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510 514 509 499 493 499 509 494 501 509 498 502 500 508 499 495 493 509 496 509 505 492 496 499 508 485 498 496 499 505 496 501 510 496 487 (1)列出样本的频率分布表;

492 505 489 491 509 509 499 486 491 495 496 505 511 501 496

(2)画频率分布直方图及频率分布折线图; (3)估计净重在 494.5~506.5 g 之间的频率.

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[解析] (1)在样本数据中,最大值是 518,最小值是 483,所以极差为 35.取组距为 4, 35 由于 =8.75,故要分成 9 组.使分点比数据多一位小数,且把第 1 组的起点稍微减小 4 一点,得分组如下:[482.5,486.5),[486.5,490.5),[490.5,494.5),…,[514.5,518.5].列 出频率分布表如下:
分组 [482.5,486.5) [486.5,490.5) [490.5,494.5) [494.5,498.5) 频率累计 频数 8 3 17 21 频率 0.08 0.03 0.17 0.21

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分组 [498.5,502.5) [502.5,506.5) [506.5,510.5) [510.5,514.5) [514.5,518.5] 合计

频率累计 正

频数 14 9 19 6 3 100

频率 0.14 0.09 0.19 0.06 0.03 1.00

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(2)频率分布直方图及频率分布折线图如图:

(3)净重在 494.5~506.5 g 之间的频率为 0.21+0.14+0.09=0.44.

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1.在列频率分布表时,极差、组距、组数有如下关系: 极差 极差 (1)若 为整数,则 =组数. 组距 组距 极差 极差 (2)若 不为整数,则 的整数部分+1=组数. 组距 组距 2.组距和组数的确定没有固定的标准,将数据分组时,组数力求合适,以使数据 的分布规律能较清楚地呈现出来,组数太多或太少,都会影响我们了解数据的分 布情况,若样本容量不超过 100,按照数据的多少常分为 5~12 组,一般样本容 量越大,所分组数越多.

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1.为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛”, 共有 900 名学生参加了这次竞赛.为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的 成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计.请你根据尚未完成并有局部污损的频 率分布表和频率分布直方图解答下列问题:

人教A版数学 ·必修3 分组 [50.5,60.5) [60.5,70.5) [70.5,80.5) [80.5,90.5] [90.5,100.5] 合计 50 10 16 0.32 频数 4 频率 0.08 0.16

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(1)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内); (2)补全频率分布直方图; (3)学校决定成绩在[75.5,85.5]分的学生为二等奖,问该校获得二等奖的学生约为多 少人?

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解析:(1) 分组 [50.5,60.5) [60.5,70.5) [70.5,80.5) [80.5,90.5) [90.5,100.5] 合计 频数 频率 4 8 10 16 12 50 0.08 0.16 0.20 0.32 0.24 1.00

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(2)频率分布直方图如图所示:

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5 (3) 成 绩 在 [75.5,80.5) 的 学 生 人 数 占 [70.5,80.5) 的 学 生 人 数 的 , 因 为 成 绩 在 10 [70.5,80.5)的学生频率为 0.2,所以成绩在 [75.5,80.5)的学生频率为 0.1,成绩在 5 [80.5,85.5)的学生人数占在[80.5,90.5)的学生人数的 , 因为成绩在[80.5,90.5)的学 10 生频率为 0.32,所以成绩在[80.5,85.5)的学生频率为 0.16. 所以成绩在[75.5,85.5]的学生频率为 0.26, 由于有 900 名学生参加了这次竞赛,所以该校获得二等奖的学生约为 0.26×900 =234(人).

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探究二

茎叶图及其应用

[典例 2] 某中学高一(2)班甲、乙两名同学自入高中以来每场数学考试成绩情况如下: 甲同学得分:95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110; 乙同学得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101,107. 画出两人数学成绩的茎叶图,并根据茎叶图对两人的成绩进行比较.

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[解析] 甲、乙两人数学成绩的茎叶图如图所示.

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从这个茎叶图上可以看出,乙同学的得分情况是大致对称的,中位数是 98;甲同学的得 分情况除一个特殊得分外,也大致对称,中位数是 87,因此乙同学发挥较稳定,总体得 分情况比甲同学好.

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1.画茎叶图的步骤: 第一步,将数据分为“茎”(高位)和“叶”(低位)两部分. 第二步,将表示“茎”的数字按大小顺序由上到下排成一列. 第三步,将各个数据的“叶”按次序写在其茎的左、右两侧. 2.利用茎叶图比较两组数据反映的情况.可以从数据分布的对称性、中位数、稳 定性等方面对样本进行比较.

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2.在某电脑杂志的一篇文章中,每个句子的字数如下: 10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22,11,24,27,17 在某报纸的一篇文章中,每个句子的字数如下: 27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23,18,46,32,22 (1)将这两组数据用茎叶图表示; (2)将这两组数据进行比较分析,你会得到什么结论?

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解析:(1)

(2)电脑杂志上每个句子的字数集中在 10~30 之间;而报纸上每个句子的字数集 中在 20~40 之间.还可以看出电脑杂志上每个句子的平均字数比报纸上每个句 子的平均字数要少.说明电脑杂志作为科普读物需要通俗易懂、简明.

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统计问题中的数形结合思想 [典例] 某良种培育基地正在培育一种小麦新品种 A, 将其与原有的一个优良品种 B 进行对照试验.两种小麦各种植了 25 亩,所得亩产数据(单位:千克)如下: 品种 A:357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430, 430,434, 443,445,445,451,454

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品种 B:363,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403, 406,407, 410,412,415,416,422,430 (1)完成数据的茎叶图; (2)用茎叶图处理现有的数据,有什么特点? (3)通过观察茎叶图,对品种 A 与 B 的亩产量及其稳定性进行比较,写出统计结论.

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[解析] (1)

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(2)由于每个品种的数据都只有 25 个,样本不大,画茎叶图很方便;此时茎叶图不仅 清晰明了地展示了数据的分布情况,便于比较,没有任何信息损失,而且还可以随时 记录新的数据. (3)通过观察茎叶图可以看出:①品种 A 的亩产量比品种 B 高;②品种 A 的亩产量比 较分散,故品种 A 的亩产稳定性较差.

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[感悟提高] 数形结合思想是中学教学很重要的方法之一,是高考的重要 内容之一,是根据数的结构特征,构造出与之相应的几何图形,并利用图 形的特性和规律,解决数的问题.

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[随堂训练]
1. 某班学生在一次数学考试中各分数段以及人数的成绩分布为: [0,80), 2 人; [80,90), 6 人;[90,100),4 人;[100,110),8 人;[110,120),12 人;[120,130),5 人;[130,140), 6 人;[140,150],2 人.那么分数在[100,130)中的频数以及频率分别为( A.25,0.56 C.25,0.50 B.20,0.56 D.13,0.29 )

25 解析:由[100,130)中的人数为 8+12+5=25,得频数为 25,频率为 ≈0.56. 45

答案:A

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2.如图是甲、乙两名运动员某赛季一些场次得分的茎叶图,据图可知(

)

A.甲运动员的成绩好于乙运动员 B.乙运动员的成绩好于甲运动员 C.甲、乙两名运动员的成绩没有明显的差异 D.甲运动员的最低得分为 0 分
解析:由茎叶图可以看出甲的成绩都集中在 30~40 分,且高分较多.而乙的成绩只有 一个高分 52 分,其他成绩比较低,故甲运动员的成绩好于乙运动员的成绩. 答案:A

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3.如图是一个班的语文成绩的茎叶图(单位:分),则优秀率(90 分以上)是________, 最低分是________.

1 解析:由茎叶图知,样本容量为 25,90 分以上的有 1 人,故优秀率为 =4%,最低分 25 为 51 分.

答案:4%

51

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4.某地为了了解该地区 10 000 户家庭的用电情况,采用分层抽样的方法抽取了 500 户家庭的月平均用电量,并根据这 500 户家庭的月平均用电量画出频率分布直方图如 图所示,则该地区 10 000 户家庭中月平均用电度数在[70,80)的家庭有________户.

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解析:根据频率分布直方图得该地区 10 000 户家庭中月平均用电度数在[70,80)的家 庭有 10 000×0.012×10=1 200(户).

答案:1 200

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5. 随机抽取 100 名学生, 测得他们的身高(单位: cm), 按照区间[160,165), [165,170), [170,175),[175,180),[180,185]分组,得到样本身高的频率分布直方图如图所示.

(1)求频率分布直方图中 x 的值及身高在 170 cm 以上的学生人数; (2)将身高在[170,175),[175,180),[180,185]区间内的学生依次记为 A,B,C 三个组, 用分层抽样的方法从这三个组中抽取 6 人,求这三个组分别抽取的学生人数.

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解析: (1)由频率分布直方图可知 5×(0.01+0.02+0.04+x+0.07)=1 解之得 x=0.06. 身高在 170 cm 以上的学生人数为 100×(0.06×5+0.04×5+0.02×5)=60(人). (2)A 组人数为 100×0.06×5=30(人), B 组人数为 100×0.04×5=20(人), C 组人数为 100×0.02×5=10(人), 6 1 由题意可知抽样比 k= = , 60 10 1 故应从 A,B,C 三组中分别抽取 30× =3(人), 10 1 1 20× =2(人),10× =1(人). 10 10

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