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山东省济南外国语学校2013届高三9月入学考试 理科数学试题


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供“高中试卷网(http://sj.fjjy.org) ”

高三数学(理)试题
考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。 2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题;每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是最符合题目要求的.
1.

(1 ? 2i ) 2 ( 2 ? i ) 2 ? 等于( 1? i 1? i
A. 3 ? 4i

) C. 3 ? 4i ( D. ? 3? 4i )

B. ? 3? 4i

x2 y2 ? ? 1的右焦点到直线 y ? 3x 的距离是 2、椭圆 4 3
A.

1 2

B.

3 2

C.1

D. 3

3、在△ABC 中,边 a、b、c 所对角分别为 A、B、C,且 为 A.等边三角形 C.等腰直角三角形 4、已知 a>0,b>0,a、b 的等差中项是 A.3 B.4

sin A cos B cosC ,则△ABC 的形状 ? ? a b c

( ) B.有一个角为 30°的直角三角形 D.有一个角为 30°的等腰三角形

1 1 1 ,且 α =a+ , β =b+ ,则 α +β 的最小值是( 2 a b
C.5 D.6 )



5、在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30°、60°,则塔高为( A.

400 m 3

B.

200 3 m 3

C.

400 3 m 3

D.

200 m 3

6、对下列命题的否定,其中说法错误的是 A.P:能被 3 整除的整数是奇数; ?P:存在一个能被 3 整除的整数不是奇数 B.P:每一个四边形的四个顶点共圆; ?P:每一个四边形的四个顶点不共圆 C.P:有的三角形为正三角形: ?P:所有的三角形都不是正三角形
?1?

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D.P: ?x ? R, x 2 ? 2x ? 2 ? 0; ?p : ?x ? R, x 2 ? 2x ? 2 ? 0 7 、如右图,阴影部分的面积是 ( )

A. 2 3

B. 2 ? 3 C.

32 3

D.

35 3

8、若命题甲为: ( ) x , 是乙的 A.充分非必要条件

1 2

2 x ,2 成等比数列,命题乙为: lg x, lg( x ? 1), lg( x ? 3) 成等差数列, 则甲 2x

B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

? x ? y ? 10 ? 9、已知 x 和 y 是正整数,且满足约束条件 ? x ? y ? 2 , 则z ? 2 x ? 3 y 的最小值是 ?2 x ? 7 ?
A.24 B.14 C.13 D.11.5

x2 y2 x2 y2 ? ? 1( k ? 9) 之间具有的等量关系 ? ? 1 与曲线 10、曲线 25 ? k 9 ? k 25 9
( A) 有相等的长、短轴 (C ) 有相等的离心率
11、 P 是椭圆

( B ) 有相等的焦距 ( D ) 有相同的准线

x2 y2 ? ? 1 上的一点, F1 和 F2 是焦点,若∠F1PF2=30°,则△F1PF2 的面积 5 4

等于
( A)


16 3 3


(C ) 16( 2 ? 3 )
2 2

( B ) 4( 2 ? 3 )

(D)

16

12、已知椭圆 线方程是(

x y y2 x2 ? 2 ? 1 和双曲线 ? 2 =1 有公共的焦点,那么双曲线的渐近 2 2 3m 5n 2m 3n

?2?

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A.x=±

15 y 2

B.y=±

15 x 2

C.x=±

3 y 4

D.y=±

3 x 4

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)

二、填空题: (本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分) 13 、 在 数 列 {an }中, an ? 为 ;
1 ? k 恒成立,则实数 x ?1

1 2 n 2 ? ??? , 又bn ? , 则 数 列 {bn} 的 前 n 项 和 n ?1 n ?1 n ?1 an an?1

14.若 x>1 时,不等式 x+

k 的取值范围是_________________.

15 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0)的焦点的直线 ? my ? m ? 0 与抛物线交于 A、B 两点,且 x
6 4 △OAB(O 为坐标原点)的面积为 2 2 , 则m ? m =

.

x2 y2 3 16、 若双曲线 =1 的渐近线方程为 y=± x, 则双曲线的焦点坐标是 ? 4 m 2
三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分)



在△ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a,b,c,已知 tan A ? 求: (1)角 C 的大小; (2)△ABC 最短边的长.

1 1 , tan B ? ,且最长边边长为 l. 2 3

18. (本小题满分 12 分)已知数列

{an }的前n项和为 n , 且有a1 ? 2,3Sn ? 5an ? an?1 ? 3Sn?1 (n ? 2). S
?3?

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Ⅰ)求数列 a n 的通项公式;Ⅱ)若 b n ? (2n ? 1)an , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .

19(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 2(a ? R)且曲线 ? f ( x)在点 2, f (2)) 处切线斜率为 0.求: (Ⅰ)a y ( 的值; (Ⅱ) f ( x)在区间[?1,3]上的最大值和最小值 .

20(本小题满分 12 分)

如图,ABCD 是菱形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=2,∠BAD=60°. (Ⅰ)求证:平面 PBD⊥平面 PAC; (Ⅱ)求点 A 到平面 PBD 的距离; (Ⅲ)求二面角 A—PB—D 的余弦值.
?4?

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21(本小题满分 12 分)为了让更多的人参与 2010 年在上海举办的“世博会” ,上海某旅游公司面向 国内外发行总量为 2000 万张的旅游优惠卡,其中向境外人士发行的是世博金卡(简称金卡) , 向境内人士发行的是世博银卡(简称银卡) 。现有一个由 36 名游客组成的旅游团到上海参观旅 游,其中 卡. (I)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (II)在该团的境内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量 ? ,求 ? 的分布列 及数学期望 E? .

3 1 2 是境外游客,其余是境内游客。在境外游客中有 持金卡,在境内游客中有 持银 4 3 3

22(本小题满分 14 分)已知定点 F(1,0) ,动点 P 在 y 轴上运动,过点 P 做 PM 交 x 轴于点 M, 并延长 MP 到点 N,且 PM ? PF ? 0, | PM |?| PN | . (Ⅰ)求点 N 的轨迹方程; (Ⅱ)直线 l 与点 N 的轨迹交于 A、B 不同两点,若 OA?OB ? ?4 ,且 4 6 ?| AB |? 4 30 ,求 直线 l 的斜率 k 的取值范围.

?5?

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高三数学(理科)参考答案: 一选择题:BBCC ADCC BBBD 二、填空题:13:

8n , 14: (??,3] ,15: 2 n ?1

16: 7 ,0), ( ? 7 ,0) (

1 1 ? tan A ? tan B 17. 1)tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B) ? ? ? 2 3 ? ?1 1 1 1 ? tan A tan B 1? ? 2 3 3? ∴C ? (5 分) 4
(2)∵0<tanB<tanA,∴A、B 均为锐角且 B<A 又 C 为钝角,∴最短边为 b 由 tan B ? 由 18.解: (Ⅰ) 3Sn ? 3Sn?1 ? 5an ? an?1 (7 分) (9 分)

10 1 ,解得 sin B ? 10 3
(10 分)

b c ? sin B sinC

(n ? 2) ????????2 分

? 2an ? an?1 ,
又? a1 ? 2 ,

an 1 ? ??????????????????????3 分 an?1 2

1 ?{an }是以2为首项公比为 的等比数列????????????4 分 . 2 1 1 ? an ? 2 ? ( ) n?1 ? ( ) n?2 ? 2 2?n ????????5 分 2 2
2?n (Ⅱ) bn ? ( 2n ? 1) 2

Tn ? 1 ? 21 ? 3 ? 2 0 ? 5 ? 2 ?1 ? ? (2n ? 1) ? 2 2? n ??????????7 分

1 Tn ? 1? 2 0 ? 3 ? 2 ?1 ? ? ? (2n ? 3) ? 2 2?n ? (2n ? 1) ? 21?n ????????8 分 2
?6?

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1 ? Tn ? 2 ? 2(2 0 ? 2 ?1 ? ? ? 2 2?n ) ? (2n ? 1) ? 21?n ????????9 分 2
? 2? 2[1 ? (2 ?1 ) n ?1 ] ? (2n ? 1)21?n ?1 1? 2

? 6 ? (2n ? 3) ? 21?n ??????????????????11 分
? Tn ? 12 ? (2n ? 3) ? 2 2? n ??????????????12 分

c ? sin B ∴b ? ? sin C
19.解:

1?

10 10 ? 5 5 2 2

(12 分)

(Ⅰ)? f ' ( x) ? 3x 2 ? 2ax 曲线 y ? f ( x)在点(2, f (2)) 处切线斜率为 0

? f ' (2) ? 0 ??????4 分

?3 ? 4 ? 4a ? 0 ?a ? ?3 ????????6 分
(Ⅱ) f ( x) ? x3 ? 3x 2 ? 2, f ' ( x) ? 3x 2 ? 6x 令 f ' ( x) ? 0得x1 ? 0, x2 ? 2 ????????9 分 当 x 变化时, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表

x
f ' ( x) f (x )

-1

(-1, 0) +

0 0 2

(0,2) - ↘

2 0 —2

(2,3) + ↗

3

-2



2

??????????????????????11 分 从上表可知,最大值是 2,最小值是-2.??????12 分 20 、设 AC 与 BD 交于 O 点

?7?

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? 底面是菱形 ? AC ? BD.
以 OA、OB 所在直线分别 x 轴,y 轴. 以过 O 且垂直平面 ABCD 的直线为 z 轴,建立 如图的空间直角坐标系,则

A( 3 ,0,0), B(0,1,0), C (? 3 ,0,0), D(0,?1,0), P( 3 ,0,2)

? DB ? (0,2,0), AP ? (0,0,2) ??????????2 分

DB ? AP ? 0 ? DB ? AP

又AC ? DB

? DB ? 平面PAC , 又DB ? 平面PDB
? 平面PBD ? 平面PAC ????????(4 分)
(Ⅱ)设平面 PDB 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 )

DP ? ( 3,1,2)
由?

DB ? (0,2,0)

?n1 ? DP ? 0 ? 3x ? y ? 2 z ? 0 2 3 ? 1 1 1 得? 令z1 ? 1得n1 ? (? ,0,1) ????6 分 3 ?n1 ? DB ? 0 ?2 y1 ? 0 ?
点A到平面 PDB的距离 d ? | n1 ? DA | 2 21 = ????8 分 7 | n1 |

DA ? ( 3 ,1,0)

(Ⅲ)设平面 ABP 的法向量 n 2 ? ( x2 , y 2 , z 2 )

AP ? (0,0,2), AB ? (? 3,1,0)

? 3 ? x2 ? 3 ? AP ? n 2 ? 0 ?2 x 2 ? 0 ? ? ? 由? 得? 令y 2 ? 1得? y 2 ? 1 ? AB ? n 2 ? 0 ?? 3 x 2 ? y 2 ? 0 ?z ? 0 ? ? 2 ? ?

? n2 ? (

3 ,1,0) ????????10 分 3

?8?

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?2 3 3 ,0,1)( ,1,0) n ?n 3 3 ? cos ? n1 , n2 ?? 1 2 ? 3 4 | n1 || n2 | ? 7 3 (
所以二面角 A—PB—D 的余弦值为

?

7 ????11 分 7

7 ??????????????12 分 7

21、 (I)由题意得,境外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;境内游客有 9 人,其中 6 人持银卡.设事 件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” , 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” , 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡” 。


P(B) ? P( A ) ? P( A2 ) ? 1

1 2 1 1 1 C9C21 C9C6C21 ? 3 3 C36 C36

?

9 27 36 ? ? 34 170 85

(II) ? 的可能取值为 0,1,2,3

P(? ? 0) ?

3 C3 1 ? , 3 C9 84

P (? ? 1) ?

1 C6C32 3 ? 3 C9 14



1 3 C62C3 15 C6 15 P (? ? 2) ? ? , P (? ? 3) ? 3 ? , 3 C9 28 C9 21


所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

3

3 15 14 28 1 3 15 5 所以 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 2 , 84 14 28 21
22.解: (Ⅰ)由于 | PM |?| PN |, 则 P 为 MN 的中心,????????????1 分
?9?

1 84

5 21

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设 N(x,y) ,则 M(-x,0),P(0, 由 PM ? PF ? 0, 得 (? x,? ) ? (1,? ) ? 0,

y ) ,????????2 分 2

y 2

y 2

y y ? (? x) ? 1 ? (? ) ? (? ) ? 0, 2 2

? y 2 ? 4x,
所以点 N 的轨迹方程为 y 2 ? 4x, ??????????5 分 (Ⅱ)设直线 l 的方程是 y ? kx ? m(k ? 0), 与 y 2 ? 4x联立消去 得 : y

(kx ? m) 2 ? 4x整理得 2 x 2 ? (2km ? 4) x ? m2 ? 0, ????????6 分 k
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则: x1 ? x 2 ? ?

2km ? 4 m2 , x1 x2 ? 2 , k2 k

? y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 ,
? m2 ? km(2km ? 4) 4m ? m2 ? , ????????7 分 2 k k

由 OA ? OB ? ?4得x1 x2 ? y1 y 2 ? ?4,

?

m 2 4m ? ? ?4, k k2

即(

m ? 2) 2 ? 0, k

? m ? ?2k , ??????????9 分
由于直线与 N 的轨迹交于不同的两点, 则 ? ? (2km ? 4) 2 ? 4k 2 m2 ? 0,即km ? 1, 把 m ? ?2k代入上式得 2k 2 ? 1, ?
?10?

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?当k ? R且k ? 0时直线l与N的轨迹恒有两个不同交 点, ??????10 分
而 | AB |? (1 ? k 2 )[(x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ]

? (1 ? k 2 )[

( 2km ? 4) 2 4m 2 ? 2 ] k4 k

16 ? 16km ? (1 ? k 2 )( ) k4
16 ? 32 k 2 ? (1 ? k 2 )( ) k4

?

4 (1 ? k 2 )(2k 2 ? 1) ??????????????11 分 k2

又因为 4 6 ?| AB |? 4 30 ,

(1 ? k 2 )(2k 2 ? 1) ?6 ? ? 30, k4
解得 ? 1 ? k ? ? 或

1 2

1 ? k ? 1, 2 1 2 1 ? k ? 1} .????????14 分 2

综上可知 k 的取值范围是 {k | ?1 ? k ? ? 或

?11?



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