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2016全国高中数学联赛广西省预赛及答案


2016 年全国高中数学联赛广西赛区预赛试题
(考试时间:2016 年 5 月 22 日上午 8:30—11:00) 考试形式:闭卷 考试时间:150 分钟 满分:150 分 一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 8 分,共 80 分) 1. 函数 f ? x ? ?

1 ? ? lg x ? ? 3 lg x ? 2
2

的定义域是_________________.

?x ? y ? ? ? ? ? 2. 设实数 x,y 满足 ? y ? 6 ? 2 x ,向量 a ? ? 2 x ? y, m ? , b ? ? ?1,1? ,若 a / / b , ?x ? 1 ?
则实数 m 的最小值为_____. 3. 设 a、b 都为大于零的常数,0<x<1,则

a2 b2 的最小值为___________. ? x 1? x

4. 运行右侧的程序框图,输出的结果 S 的值为________.
3 5. 已知函数 f ? x ? ? x 对应的曲线在点 ak , f ? ak ?

?

? ? k ? N ? 处的切线与 x 轴
*

的焦点为 ak ?1 ,0 ,若 a1 ? 1 ,则

?

?

f

? a ?? f ?
3 1

3

a2 ? ? ? f
10

?

?

3

a10

? 2? 1? ? ? ? 3?

? = _____.

6. 已知点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln x 上,则 PQ 的最小值是_________. 7. 设 m∈N*, log 2 m 的整数部分用 F(m)表示,则 F ?1? +F ? 2? ? ? ? F ?1024? ? ________. 8. 强一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色, 并使同一条棱上的两个端点异色, 若只有 4 种颜色可供使用, 则不同的染色方法总数有________种. 9. 设函数 f ? x ? 的定义域为 R,若存在常数 ? ? 0 使 f ? x ? ? ? x 对一切实数 x 均成立,则称 f ? x ? 为 “条件的束函数”. 现给出下列函数: ① f ? x ? =4 x ; ② f ? x ? =x ? 2 ; ③ f ? x? ?
2

2x ; ④ f ? x? x ? 2x ? 5
2

是定义在实数集 R 上的奇函数,且对一切 x1 , x2 均有 f x1 ? f x2 ? 4 x1 ? x2 . 其中是“条件约束函 数”的序号是__________.(写出符合条件的全部序号). 10. 已知线段 AB 是半径为 2 的球 O 的直径, C、 D 两点在球 O 的球面上, CD=2, AB⊥CD, 45°≤∠AOC ≤135°,则四面体 ABCD 的体积的取值范围是___________. 二、解答题(本大题共 3 小题,共 70 分) 11. (本小题满分 20 分)已知数列 an 中, a1 ? 1, a2 ?

? ?

? ?

? ?

? n ? 1? an 1 ,且 an?1 ? ? n ? 2? . 4 n ? an

(1)设 bn ?

n 1 7 2 ,求数列 ?bn ? 的通项公式;(2)求证:对一切 n∈N*,有 ? ak ? . 6 ? n ? 1? an k ?1

12.(本小题满分 25 分)如图,点 H 为△ABC 的垂心,以 AB 为直径的 ? O1 和△ BCH 的外接圆 ? O2 相交于 点 D,延长 AD 交 CH 于点 P,求证:点 P 为 CH 的中点.

A

O1

H

D P

B O2

C

13.(本小题满分 25 分)已知抛物线 C : y 2 ? 4 x , 以 M(1, 2)为直角顶点作该抛物线的内接直角三角形 MAB. (1)求证:动直线 AB 过定点;(2)过点 M 作 AB 的垂线交 AB 于点 N,求点 N 的轨迹方程.



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