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直线、平面平行的判定及其性质 习题


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2010 届高三数学一轮复习强化训练精品――直线、 平面平行的判定及性质

基础自测
1.下列命题中,正确命题的个数是 . ①若直线 l 上有无数个点不在平面 ? 内,则 l∥ ? ;②若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点. 答案 1 (填序号). 2.下列条件中,不能判断两个平面平行的是 ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面 ④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 答案 ①②③ (填序号). 3.对于平面 ? 和共面的直线 m、n,下列命题中假命题是 ①若 m⊥ ? ,m⊥n,则 n∥ ? ②若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n ③若 m ? ? ,n∥ ? ,则 m∥n ④若 m、n 与 ? 所成的角相等,则 m∥n 答案 ①②④ 4.已知直线 a,b,平面 ? ,则以下三个命题: ①若 a∥b,b ? ? ,则 a∥ ? ; ②若 a∥b,a∥ ? ,则 b∥ ? ; ③若 a∥ ? ,b∥ ? ,则 a∥b. 其中真命题的个数是 答案 0 .

5.如图所示,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,M、N 分别是 BC 和 A1B1 的中点. 求证:MN∥平面 AA1C1. 证明 设 A1C1 中点为 F,连接 NF,FC, ∵N 为 A1B1 中点, ∴NF∥B1C1,且 NF=
1 B1C1, 2

又由棱柱性质知 B1C1 ? BC, 又 M 是 BC 的中点, ∴NF ? MC, ∴四边形 NFCM 为平行四边形. ∴MN∥CF,又 CF ? 平面 AA1C1, MN ? 平面 AA1C1, ∴MN∥平面 AA1C1.

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例 1

如图所示,正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,侧面对角线 AB1,BC1 上分别有两点 E,F,且 方法一 分别过 E,F 作 EM⊥AB 于 M,FN⊥BC 于 N,连接 MN.

B1E=C1F.

求证:EF∥平面 ABCD. 证明 ∵BB1⊥平面 ABCD, ∴BB1⊥AB,BB1⊥BC, ∴EM∥BB1,FN∥BB1, ∴EM∥FN. 又∵B1E=C1F,∴EM=FN, 故四边形 MNFE 是平行四边形,∴EF∥MN. 又 MN ? 平面 ABCD,EF ? 平面 ABCD, 所以 EF∥平面 ABCD. 方法二 过 E 作 EG∥AB 交 BB1 于 G,

连接 GF,则

B1 E B1G , ? B1 A B1 B

∵B1E=C1F,B1A=C1B, ∴

C1 E B1G ,∴FG∥B1C1∥BC, ? C1 B B1 B

又 EG∩FG=G,AB∩BC=B, ∴平面 EFG∥平面 ABCD,而 EF ? 平面 EFG, ∴EF∥平面 ABCD. 例2 已知 P 为△ABC 所在平面外一点,G1、G2、G3 分别是△PAB、△PCB、△PAC 的重心. (1)求证:平面 G1G2G3∥平面 ABC; (2)求 S△ G1G2G3 ∶S△ABC. (1)证明 如图所示,连接 PG1、PG2、PG3 并延长分别与边 AB、BC、AC 交于点 D、E、F,

连接 DE、EF、FD,则有 PG1∶PD=2∶3, PG2∶PE=2∶3,∴G1G2∥DE. 又 G1G2 不在平面 ABC 内, ∴G1G2∥平面 ABC.同理 G2G3∥平面 ABC. 又因为 G1G2∩G2G3=G2, ∴平面 G1G2G3∥平面 ABC. (2)解 又 DE= 由(1)知
PG1 PG2 2 2 ? = ,∴G1G2= DE. PD PE 3 3

1 1 AC,∴G1G2= AC. 2 3 1 1 AB,G1G3= BC. 3 3

同理 G2G3=

∴△G1G2G3∽△CAB,其相似比为 1∶3, ∴S△ G1G2G3 ∶S△ABC=1∶9. 例 3 (16 分)如图所示,平面 ? ∥平面 ? ,点 A∈ ? ,C∈ ? ,点 B∈ ? ,D∈ ? ,点 E,F 分别在线段 AB,CD 上,且 AE∶ EB=CF∶FD.

taoti.tl100.com (1)求证:EF∥ ? ; (2)若 E,F 分别是 AB,CD 的中点,AC=4,BD=6,且 AC,BD 所成的角为 60°, 求 EF 的长. (1)证明 ①当 AB,CD 在同一平面内时, 2分 4分 由 ? ∥ ? ,平面 ? ∩平面 ABDC=AC, 平面 ? ∩平面 ABDC=BD,∴AC∥BD, ∵AE∶EB=CF∶FD,∴EF∥BD, 又 EF ? ? ,BD ? ? ,∴EF∥ ? . ②当 AB 与 CD 异面时, 设平面 ACD∩ ? =DH,且 DH=AC. ∵ ? ∥ ? , ? ∩平面 ACDH=AC, ∴AC∥DH,∴四边形 ACDH 是平行四边形, 在 AH 上取一点 G,使 AG∶GH=CF∶FD, 又∵AE∶EB=CF∶FD,∴GF∥HD,EG∥BH, 又 EG∩GF=G,∴平面 EFG∥平面 ? . ∵EF ? 平面 EFG,∴EF∥ ? .综上,EF∥ ? . (2)解 ∵E,F 分别为 AB,CD 的中点, ∴ME∥BD,MF∥AC, 且 ME=
1 1 BD=3,MF= AC=2, 2 2

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6分

8分

如图所示,连接 AD,取 AD 的中点 M,连接 ME,MF.

∴∠EMF 为 AC 与 BD 所成的角(或其补角) , ∴∠EMF=60°或 120°, ∴在△EFM 中由余弦定理得, EF= ME 2 ? MF 2 ? 2ME ? MF ? cos ?EMF = 32 ? 2 2 ? 2 ? 3? 2 ? 12 分

1 = 13 ? 6 , 2
16 分

即 EF= 7 或 EF= 19 .

1.如图所示,已知 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点,且 SA=SB=SC,SG 为△SAB 上的高, D、E、F 分别是 AC、BC、SC 的中点,试判断 SG 与平面 DEF 的位置关系,并给予证明. 解 SG∥平面 DEF,证明如下: 连接 CG 交 DE 于点 H, 方法一

如图所示. ∵DE 是△ABC 的中位线, ∴DE∥AB. 在△ACG 中,D 是 AC 的中点, 且 DH∥AG.

taoti.tl100.com ∴H 为 CG 的中点. ∴FH 是△SCG 的中位线, ∴FH∥SG. 又 SG ? 平面 DEF,FH ? 平面 DEF, ∴SG∥平面 DEF. 方法二 ∵EF 为△SBC 的中位线,∴EF∥SB. ∵EF ? 平面 SAB,SB ? 平面 SAB, ∴EF∥平面 SAB. 同理可证,DF∥平面 SAB,EF∩DF=F, ∴平面 SAB∥平面 DEF,又 SG ? 平面 SAB, ∴SG∥平面 DEF. 2.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F、G、H 分别是 BC、CC1、 C1D1、A1A 的中点.求证: (1)BF∥HD1; (2)EG∥平面 BB1D1D; (3)平面 BDF∥平面 B1D1H. 证明 (1)如图所示,取 BB1 的中点 M,易证四边形 HMC1D1 是平行四边形,∴HD1∥MC1. 又∵MC1∥BF,∴BF∥HD1. (2)取 BD 的中点 O,连接 EO,D1O, 则 OE 又 D1G
1 DC, 2 1 DC,∴OE ? D1G, 2

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∴四边形 OEGD1 是平行四边形, ∴GE∥D1O. 又 D1O ? 平面 BB1D1D,∴EG∥平面 BB1D1D. (3)由(1)知 D1H∥BF,又 BD∥B1D1,B1D1、HD1 ? 平面 HB1D1,BF、BD ? 平面 BDF,且 B1D1∩HD1=D1, DB∩BF=B,∴平面 BDF∥平面 B1D1H. 3.如图所示,四边形 EFGH 为空间四边形 ABCD 的一个截面,若截面为平行四边形. (1)求证:AB∥平面 EFGH,CD∥平面 EFGH. (2)若 AB=4,CD=6,求四边形 EFGH 周长的取值范围. (1)证明 ∵四边形 EFGH 为平行四边形,∴EF∥HG. ∵HG ? 平面 ABD,∴EF∥平面 ABD. ∵EF ? 平面 ABC,平面 ABD∩平面 ABC=AB, ∴EF∥AB.∴AB∥平面 EFGH. 同理可证,CD∥平面 EFGH. (2)解 则 设 EF=x(0<x<4) ,由于四边形 EFGH 为平行四边形,∴
CF x ? . CB 4

FG BF BC ? CF x = = =1- . 6 BC BC 4 3 x. 2 3 x )=12-x. 2

从而 FG=6-

∴四边形 EFGH 的周长 l=2(x+6-

taoti.tl100.com 又 0<x<4,则有 8<l<12, ∴四边形 EFGH 周长的取值范围是(8,12).

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一、填空题 1.下列命题,其中真命题的个数为 ②若直线 a 在平面 ? 外,则 a∥ ? ; ③若直线 a∥b,直线 b ? ? ,则 a∥ ? ; ④若直线 a∥b,b ? ? ,那么直线 a 就平行于平面 ? 内的无数条直线. 答案 1 (写出一个你认为正 2.写出平面 ? ∥平面 ? 的一个充分条件 确的即可). 答案 存在两条异面直线 a,b,a ? ? ,b ? ? ,a∥ ? ,b∥ ? 3.对于不重合的两个平面 ? 与 ? ,给定下列条件: ①存在平面 ? ,使得 ? , ? 都垂直于 ? ; ②存在平面 ? ,使得 ? , ? 都平行于 ? ; ③存在直线 l ? ? ,直线 m ? ? ,使得 l∥m; ④存在异面直线 l、m,使得 l∥ ? ,l∥ ? ,m∥ ? ,m∥ ? . 其中,可以判定 ? 与 ? 平行的条件有 答案 ②④ . (写出符合题意的序号). . ①直线 l 平行于平面 ? 内的无数条直线,则 l∥ ? ;

4.(2008·海南,宁夏文,12)已知平面 ? ⊥平面 ? , ? ∩ ? =l,点 A∈ ? ,A ? l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l,直线 m∥ ? ,m∥ ? , 则下列四种位置关系中,一定成立的是 ①AB∥m ③AB∥ ? 答案 ①②③ (填序号). ②AC⊥m ④AC⊥ ?

5.(2008·湖南理,5)设有直线 m、n 和平面 ? 、 ? .下列命题不正确的是 ①若 m∥ ? ,n∥ ? ,则 m∥n ②若 m ? ? ,n ? ? ,m∥ ? ,n∥ ? ,则 ? ∥ ? ③若 ? ⊥ ? ,m ? ? ,则 m⊥ ? ④若 ? ⊥ ? ,m⊥ ? ,m ? ? ,则 m∥ ? 答案 ①②③ 6.下列关于互不相同的直线 m,l,n 和平面 ? , ? 的四个命题: ①若 m ? ? ,l∩ ? =A,点 A ? m,则 l 与 m 不共面; ②若 m,l 是异面直线,l∥ ? ,m∥ ? ,且 n⊥l,n⊥m,则 n⊥ ? ; ③若 l∥ ? ,m∥ ? , ? ∥ ? ,则 l∥m; ④若 l ? ? ,m ? ? ,l∩m=A,l∥ ? ,m∥ ? ,则 ? ∥ ? . 其中假命题的序号是 答案 ③ 7.考察下列三个命题,在“ .

”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中 l,m 为不同的直线,? 、



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? 为不重合的平面) ,则此条件为
m ??? ? ① l m ? ? l∥ ? ? ?
答案 l? ?

.

l m? ? ②m ? ? ? l∥ ? ∥ ? ?

l?? ? ? ③ ? ? ? ? ? l∥ ? ? ?

8.如图所示,ABCD—A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体,M,N 分别是下底面的棱 A1B1, B1C1 的中点,P 是上底面的棱 AD 上的一点,AP= 底面于 PQ,Q 在 CD 上,则 PQ= 答案 .
a ,过 P,M,N 的平面交上 3

2 2 a 3

二、解答题 9.如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,O 为底面 ABCD 的中心,P 是 DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位 置时,平面 D1BQ∥平面 PAO? 解 当 Q 为 CC1 的中点时, 平面 D1BQ∥平面 PAO. ∵Q 为 CC1 的中点,P 为 DD1 的中点,∴QB∥PA. ∵P、O 为 DD1、DB 的中点,∴D1B∥PO. 又 PO∩PA=P,D1B∩QB=B, D1B∥平面 PAO,QB∥平面 PAO, ∴平面 D1BQ∥平面 PAO. 10.正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB,在 AE、BD 上各有一点 P、Q,且 AP=DQ. 求证:PQ∥平面 BCE. 证明 方法一 如图所示,作 PM∥AB 交 BE 于 M,作 QN∥AB 交 BC 于 N,连接 MN. ∵正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB,∴AE=BD. 又∵AP=DQ,∴PE=QB, 又∵PM∥AB∥QN, ∴
QN BQ PM PE PM QN ? ? ? , , ,∴PM DC BD AB DC AB AE

QN,

∴四边形 PMNQ 为平行四边形,∴PQ∥MN. 又 MN ? 平面 BCE,PQ ? 平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE. 方法二 如图所示,连接 AQ,并延长交 BC 于 K,连接 EK, ∵AE=BD,AP=DQ, ∴PE=BQ, ∴
AP DQ = PE BQ



又∵AD∥BK,∴ 由①②得

DQ AQ = BQ QK



AP AQ = ,∴PQ∥EK. PE QK

又 PQ ? 平面 BCE,EK ? 平面 BCE, ∴PQ∥平面 BCE.

taoti.tl100.com 方法三 如图所示,在平面 ABEF 内,过点 P 作 PM∥BE,交 AB 于点 M, 连接 QM. ∵PM∥BE,PM ? 平面 BCE, 即 PM∥平面 BCE, ∴
AP AM = PE MB

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又∵AP=DQ,∴PE=BQ, ∴
AP DQ = PE BQ



由①②得

AM DQ = ,∴MQ∥AD, MB BQ

∴MQ∥BC,又∵MQ ? 平面 BCE,∴MQ∥平面 BCE. 又∵PM∩MQ=M,∴平面 PMQ∥平面 BCE, PQ ? 平面 PMQ,∴PQ∥平面 BCE. 11.(2008·海南、宁夏文,18)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和左视 图在下面画出(单位:cm).

(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连接 BC′,证明:BC′∥平面 EFG. (1)解 如图(1)所示.

图(1) (2)解 所求多面体体积 V=V 长方体-V 正三棱锥 1 1 284 3 =4×4×6- ×( ×2×2)×2= (cm ). 3 3 2 (3)证明 如图(2),在长方体 ABCD—A′B′C′D′中,

taoti.tl100.com 连接 AD′,则 AD′∥BC′. 因为 E,G 分别为 AA′,A′D′的中点, 所以 AD′∥EG,从而 EG∥BC′. 又 BC ′

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?





EFG,

图(2)

所以 BC′∥面 EFG. 12.如图所示,正四棱锥 P—ABCD 的各棱长均为 13,M,N 分别为 PA,BD 上的点,且 PM∶MA=BN∶ND=5∶8. (1)求证:直线 MN∥平面 PBC; (2)求线段 MN 的长. (1)证明 连接 AN 并延长交 BC 于 Q, 连接 PQ,如图所示. ∵AD∥BQ,∴△AND∽△QNB, ∴

AN DN AD 8 = = = , NQ NB BQ 5
PM BN 5 = = , MA ND 8

又∵ ∴

AM AN 8 = = ,∴MN∥PQ, MP NQ 5

又∵PQ ? 平面 PBC,MN ? 平面 PBC, ∴MN∥平面 PBC. (2)解
2 2

在等边△PBC 中,∠PBC=60°,
2

在△PBQ 中由余弦定理知 PQ =PB +BQ -2PB·BQcos∠PBQ
65 1 8 281 2 ? 65 ? =13 + ? ? -2×13× × = , 8 64 2 ? 8 ?
2

∴PQ=

91 , 8

∵MN∥PQ,MN∶PQ=8∶13, ∴MN=
91 8 × =7. 13 8



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